3. 聚焦中考过程性学习「2026湖北黄冈期中」南南同学发现这样一个规律:两个顶角相等的等腰三角形,如果具有公共的顶角的顶点,并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形,南南把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.
(1)问题发现:如图1,若$△ ABC$和$△ ADE$均是顶角为$40°$的等腰三角形,$BC$,$DE$分别是底边,求证:$BD=CE$.
(2)拓展探究:如图2,若$△ ABC$和$△ ADE$均为等边三角形,点$B$,$D$,$E$在同一条直线上,连接$CE$,则$∠ BEC$的度数为,线段$CE$与$BD$之间的数量关系是.
(3)解决问题:如图3,若$△ ABC$和$△ ADE$均为等腰直角三角形,$∠ BAC=∠ DAE=90°$,点$B$,$D$,$E$在同一条直线上,$AM$为$△ ADE$中$DE$边上的高,连接$CE$.若等式$BE=aCE+bAM$成立,请求出$a$的值和$b$的值.

(1)证明:
∵ △ABC和△ADE均为顶角为40°的等腰三角形,BC,DE分别是底边,
∴ AB=AC,AD=AE,
∠BAC = ∠DAE = 40°,
∴ ∠BAC − ∠CAD = ∠DAE − ∠CAD,即∠BAD=∠CAE,
在△ABD和△ACE中,$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠BAD=∠CAE, \\ AD=AE, \end{cases}$
∴ △ABD≅△ACE(SAS),
∴ BD=CE.
(2)60°;BD=CE.
(3)同(1)可证△ABD≅△ACE,
∴ BD=CE,
∵ △ADE为等腰直角三角形,∠DAE=90°,
∴ ∠ADE=∠AED=45°,
∵ AM⊥DE,
∴ ∠DAM=∠MAE=45°,
∴ AM=DM=EM,
∴ BE=BD+DE=CE+2AM,
∵ 等式BE=aCE+bAM成立,
∴ a=1,b=2.

4.「2026湖北孝感期中」已知,在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC.
(1)【特殊情况,探索结论】
如图1,当点E为AB的中点时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:AE DB(填“＞”“＜”或“=”).
(2)【特例启发,解答题目】
如图2,当点E为AB边上任意一点时,请判断线段AE与DB的大小关系,并说明理由(提示:过点E作EF//BC,交AC于点F).
(3)【拓展结论,设计新题】
在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在线段CB的延长线上,且ED=EC,若$△ ABC$的边长为1,$AE=2$,求线段CD的长(请你画出相应图形,并直接写出结果).

(1)=.
(2)AE=DB.理由如下:
如图1,过点E作EF//BC,交AC于点F,
则∠AEF=∠ABC,∠AFE=∠ACB,∠FEC=∠ECD,
∵ △ABC是等边三角形,
∴ ∠A=∠ABC=∠ACB=60°,
∴ ∠AEF=∠AFE=60°,∠DBE=120°,
∴ △AEF为等边三角形,∠EFC=120°,
∴ AE=EF,
∵ ED=EC,
∴ ∠D=∠ECD,
∴ ∠D=∠FEC,
在△DBE和△EFC中,$\begin{cases} ∠DBE=∠EFC=120°, \\ ∠D=∠FEC, \\ ED=EC, \end{cases}$
∴ △DBE≅△EFC(AAS),
∴ DB=EF,
∴ AE=DB.
(3)如图2所示,CD=3.
详解:如图3,过点E作EF//BC,交AC的延长线于点F,
同(2)可得△AEF是等边三角形,△DBE≅△EFC,
∴ DB=EF,
∵ AE=2,
∴ EF=AE=2,
∴ DB=EF=2,
∵ △ABC的边长为1,
∴ BC=1,
∴ CD=BC+DB=1+2=3.