11. 新素养 推理能力
(1) 如图①,$△ ABC$是$\odot O$的内接正三角形,$P$为劣弧$BC$上的动点,连接$PA$,$PB$,$PC$. 求证:$PA = PB + PC$;
(2) 如图②,四边形$ABCD$是$\odot O$的内接正方形,$P$为劣弧$BC$上的动点,连接$PA$,$PB$,$PC$. 求证:$PA = PC + \sqrt{2}PB$.

类题精讲

11. (1) 如图①,延长 $BP$ 至点 $E$,使 $PE = PC$,连接 $EC$. 因为 $△ ABC$ 是等边三角形,所以 $∠ ACB = ∠ BAC = 60°,AC = BC$. 因为四边形 $ABPC$ 内接于$\odot O$,所以 $∠ BAC + ∠ BPC = 180°$. 因为 $∠ BPC + ∠ CPE = 180°$,所以 $∠ CPE = ∠ BAC = 60°$,所以 $△ PCE$ 是等边三角形,所以 $EC = PC,∠ PCE = 60°$.因为$∠ BCE = ∠ BCP + ∠ PCE,∠ ACP = ∠ BCP + ∠ ACB$,所以$∠ BCE = ∠ ACP$. 在$△ BEC$ 和 $△ APC$ 中,$\begin{cases}EC=PC,\\∠ BCE=∠ ACP,\\BC=AC,\end{cases}$ 所以 $△ BEC≌△ APC$, 所以 $EB = PA$. 因为 $EB = PB + PE = PB + PC$,所以 $PA = PB + PC$.

(2) 如图②,连接 $OA,OB$,过点 $B$ 作 $BE⊥ PB$ 交 $PA$ 于点 $E$,则$∠ PBE = 90°$. 因为四边形 $ABCD$ 是正方形,所以 $BA = BC,∠ ABC = 90°$,所以 $∠ ABE + ∠ CBE = 90°$. 又$∠ CBP + ∠ CBE = ∠ PBE = 90°$,所以 $∠ ABE = ∠ CBP$. 因为 $∠ AOB = \dfrac{1}{4}×360° = 90°$,所以 $∠ APB = \dfrac{1}{2}∠ AOB = 45°$,所以 $∠ BEP = 90° - ∠ APB = 45°$,所以 $∠ APB = ∠ BEP$,所以 $EB = PB$,所以 $PE = \sqrt{EB^2 + PB^2} = \sqrt{2}PB$. 在$△ ABE$ 和 $△ CBP$ 中,$\begin{cases}EB=PB,\\∠ ABE=∠ CBP,\\BA=BC,\end{cases}$ 所以 $△ ABE≌△ CBP$, 所以 $EA = PC$,所以 $PA = EA + PE = PC + \sqrt{2}PB$.

12. (2026·江苏宿迁期中)如图，$\odot O$ 是正方形$ABCD$ 的外接圆，$AB=2$，$E$ 是劣弧 $AD$ 上任意一点，$CF ⊥ BE$ 于点 $F$，当点 $E$ 从点 $A$出发按顺时针方向运动到点 $D$ 时，$AF$ 长的取值范围是.

类题精讲

12. $\sqrt{5}-1≤ AF≤2$
解析:如图, 因为 $CF⊥ BE$, 所以 $∠ CFB = 90°$, 所以点 $F$ 的运动轨迹是以 $BC$ 为直径的$\odot O'$ 的一部分. 连接 $AO'$ 交$\odot O'$ 于点 $M$, 则当点 $F$ 运动到点 $M$ 处时, $AF$ 的长取最小值, 且最小值即为 $AM$ 的长. 因为四边形 $ABCD$ 是正方形, 所以 $∠ ABC = 90°,BC = AB = 2$, 所以 $O'M = O'B = \dfrac{1}{2}BC = 1$, 所以 $AO' = \sqrt{AB^2 + O'B^2} = \sqrt{5}$, 所以 $AM = AO' - O'M = \sqrt{5} - 1$, 所以 $AF$ 长的最小值为 $\sqrt{5} - 1$. 观察可知当点 $F$ 与点 $B$ 重合时, $AF$ 的长取最大值, 此时 $AF = AB = 2$. 综上所述, $AF$ 长的取值范围是 $\sqrt{5} - 1≤ AF≤2$.

13. 新趋势 综合实践 在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为5 cm 的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形硬纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径是多少？问题提出后，同学们经过讨论，觉得本题实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能将其盖住时的最小直径. 老师将同学们讨论过程中探索出的三种不同摆放类型的图形画在黑板上，如图所示.
(1) ① 图①能盖住三个正方形的圆形硬纸板的最小直径为cm；
② 图②能盖住三个正方形的圆形硬纸板的最小直径为cm；
③ 图③能盖住三个正方形的圆形硬纸板的最小直径为cm；
(2) 其实(1)中三种放置方法中的圆形硬纸板的直径都不是最小的，请你画出用圆形硬纸板盖住三个正方形时直径最小的放置方法(只要求画出示意图，不要求说明理由)，并求出此时圆形硬纸板的直径.

13. (1) ① $5\sqrt{10}$ ② $10\sqrt{2}$ ③ $10\sqrt{2}$
解析:① 如图①,连接 $BD$. 因为 $AD = 3×5 = 15(\mathrm{cm}),AB = 5\mathrm{ cm}$,$∠ BAD = 90°$, 所以 $BD = \sqrt{15^2 + 5^2} = 5\sqrt{10}(\mathrm{cm})$, 所以能盖住三个正方形的圆形硬纸板的最小直径为 $5\sqrt{10}\mathrm{ cm}$; ② 如图②, 因为三个正方形的边长均为 5 cm, 所以 $A,B,C$ 三点都在以点 $O$ 为圆心, $OA$ 为半径的圆上, 且 $OA = \sqrt{5^2 + 5^2} = 5\sqrt{2}(\mathrm{cm})$, 所以能盖住三个正方形的圆形硬纸板的最小直径为 $5\sqrt{2}×2 = 10\sqrt{2}(\mathrm{cm})$; ③ 如图③, 因为 $∠ ABD = 90°$, 所以 $AD$ 为圆形硬纸板的直径. 因为 $OA = \sqrt{5^2 + 5^2} = 5\sqrt{2}(\mathrm{cm})$, 所以能盖住三个正方形的圆形硬纸板的最小直径为 $5\sqrt{2}×2 = 10\sqrt{2}(\mathrm{cm})$.
(2) 图④为用圆形硬纸板盖住三个正方形时直径最小的放置方法, 其中 $H$ 为 $CD$ 的中点. 因为 $HG$ 垂直平分 $NF$, 所以点 $O$ 在 $HG$ 上, 所以 $∠ OGN = 90°$. 连接 $OB,ON$, 延长 $GH$ 交 $AB$ 于点 $P$, 则 $PG⊥ AB$, 所以 $∠ BPO = 90°,BP = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}×5 = \dfrac{5}{2} (\mathrm{cm})$.
设 $OG = x\mathrm{ cm}$. 因为 $PG = 5×2 = 10(\mathrm{cm})$, 所以 $OP = PG - OG = (10 - x)\mathrm{ cm}$. 因为 $OP^2 + BP^2 = OB^2$,$OG^2 + NG^2 = ON^2$, 且 $OB = ON$, 所以 $OP^2 + BP^2 = OG^2 + NG^2$. 因为 $NG = 5\mathrm{ cm}$, 所以 $(10 - x)^2 + (\dfrac{5}{2})^2 = x^2 + 5^2$, 解得 $x = \dfrac{65}{16}$, 所以 $OG = \dfrac{65}{16}\mathrm{ cm}$, 所以 $ON = \sqrt{OG^2 + NG^2} = \dfrac{25\sqrt{17}}{16}\mathrm{ cm}$, 所以此时圆形硬纸板的直径是 $\dfrac{25\sqrt{17}}{16}×2 = \dfrac{25\sqrt{17}}{8}(\mathrm{cm})$.