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1. (2025·江苏无锡)若圆弧所在圆的半径为6，该弧所对的圆心角为$90^{\circ }$,则这条弧的长为（
A.$2π$
B.$3π$
C.$4π$
D.$6π$
B
）A.$2π$
B.$3π$
C.$4π$
D.$6π$
答案
1. B
2. 新素养 几何直观 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=$$90°$,$AB=\sqrt{5}$,$BC=2$,以点$A$为圆心,$AC$为半径画弧,交$AB$于点$D$,以点$B$为圆心,$AC$的长为半径画弧,交$AB$于点$E$,交$BC$于点$F$,则阴影部分的面积为 （
A.$8-π$
B.$4-π$
C.$2-\dfrac{π}{4}$
D.$1-\dfrac{π}{4}$
D
）A.$8-π$
B.$4-π$
C.$2-\dfrac{π}{4}$
D.$1-\dfrac{π}{4}$
答案
2. D
3. (2024·湖南长沙) 半径为 4, 圆心角为 $90°$ 的扇形的面积为
$4π$
.答案
3. $4π$
4. (2025·江苏盐城二模)如图，$OA=20$，$AC=30$，$\overset{\frown}{AB}$的长为40，则$\overset{\frown}{CD}$的长为
100
.答案
4. 100
解析:设$∠ O=n^{\circ }$. 因为 $OA=20$,$l_{\overset{\frown}{AB}}=40$,所以$\dfrac{nπ× 20}{180}=40$,所以 $nπ=360$. 因为 $AC=30$,所以 $OC=OA+AC=50$,所以 $l_{\overset{\frown}{CD}}=\dfrac{nπ× 50}{180}=100$. 故 $\overset{\frown}{CD}$ 的长为 100.
一题多解
因为 $OA=20$,$AC=30$,所以 $OC=OA+AC=50$. 设 $∠ O=n^{\circ }$, 则 $l_{\overset{\frown}{AB}}=\dfrac{nπ· OA}{180}=\dfrac{nπ}{9}$,$l_{\overset{\frown}{CD}}=\dfrac{nπ· OC}{180}=\dfrac{5nπ}{18}$, 所以 $l_{\overset{\frown}{CD}}=\dfrac{5}{2}l_{\overset{\frown}{AB}}$. 因为 $l_{\overset{\frown}{AB}}=40$,所以 $l_{\overset{\frown}{CD}}=100$. 故 $\overset{\frown}{CD}$ 的长为 100.
解析:设$∠ O=n^{\circ }$. 因为 $OA=20$,$l_{\overset{\frown}{AB}}=40$,所以$\dfrac{nπ× 20}{180}=40$,所以 $nπ=360$. 因为 $AC=30$,所以 $OC=OA+AC=50$,所以 $l_{\overset{\frown}{CD}}=\dfrac{nπ× 50}{180}=100$. 故 $\overset{\frown}{CD}$ 的长为 100.
一题多解
因为 $OA=20$,$AC=30$,所以 $OC=OA+AC=50$. 设 $∠ O=n^{\circ }$, 则 $l_{\overset{\frown}{AB}}=\dfrac{nπ· OA}{180}=\dfrac{nπ}{9}$,$l_{\overset{\frown}{CD}}=\dfrac{nπ· OC}{180}=\dfrac{5nπ}{18}$, 所以 $l_{\overset{\frown}{CD}}=\dfrac{5}{2}l_{\overset{\frown}{AB}}$. 因为 $l_{\overset{\frown}{AB}}=40$,所以 $l_{\overset{\frown}{CD}}=100$. 故 $\overset{\frown}{CD}$ 的长为 100.
5. (教材习题变式) 如图, 在 $△ ABC$ 中, $AB = AC$, 以 $AB$ 为直径的 $\odot O$ 分别与 $BC, AC$ 交于点 $D, E$, 过点 $D$ 作 $\odot O$ 的切线, 交 $AC$ 于点$F$. 若 $\odot O$ 的半径为 $4, ∠ CDF = 22.5°$, 求阴影部分的面积.
答案
5. 连接$OD,OE$. 因为 $DF$ 是$\odot O$ 的切线,所以 $OD⊥ DF$,所以$∠ ODF=90°$. 因为$∠ CDF=22.5°$,所以$∠ ODB=180°-∠ ODF-∠ CDF=67.5°$. 因为 $OB=OD$,所以$∠ B=∠ ODB=67.5°$. 因为 $AB=AC$,所以$∠ C=∠ B=67.5°$,所以$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=45°$. 因为 $OA=OE$,所以$∠ OEA=∠ BAC=45°$,所以$∠ AOE=180°-∠ BAC-∠ OEA=90°$. 因为$\odot O$ 的半径为 4,所以 $OA=OE=4$,所以 $S_{△ OAE}=\dfrac{1}{2}OA· OE=8$,$S_{\mathrm{扇形}OAE}=\dfrac{90π×4^2}{360}=4π$,所以 $S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}OAE}-S_{△ OAE}=4π-8$. 故阴影部分的面积为 $4π-8$.
6. （2024·四川广安）如图，在等腰三角形$ABC$中，$AB=AC=10$，$∠ C=70°$，以$AB$为直径作半圆，与$AC$，$BC$分别相交于点$D$，$E$，则$\overset{\frown}{DE}$的长为（
A.$\dfrac{π}{9}$
B.$\dfrac{5π}{9}$
C.$\dfrac{10π}{9}$
D.$\dfrac{25π}{9}$
C
）A.$\dfrac{π}{9}$
B.$\dfrac{5π}{9}$
C.$\dfrac{10π}{9}$
D.$\dfrac{25π}{9}$
答案
6. C
解析:连接$OD,OE$. 因为 $AB=AC=10$,所以 $OD=OA=\dfrac{1}{2}AB=5$,$∠ B=∠ C=70°$,所以 $∠ A=180°-∠ B-∠ C=40°$,所以 $∠ BOD=2∠ A=80°$. 因为 $OB=OE$,所以 $∠ OEB=∠ B=70°$,所以 $∠ BOE=180°-∠ B-∠ OEB=40°$,所以 $∠ DOE=∠ BOD-∠ BOE=40°$,所以 $\overset{\frown}{DE}$ 的长为 $\dfrac{40π×5}{180}=\dfrac{10π}{9}$.
解析:连接$OD,OE$. 因为 $AB=AC=10$,所以 $OD=OA=\dfrac{1}{2}AB=5$,$∠ B=∠ C=70°$,所以 $∠ A=180°-∠ B-∠ C=40°$,所以 $∠ BOD=2∠ A=80°$. 因为 $OB=OE$,所以 $∠ OEB=∠ B=70°$,所以 $∠ BOE=180°-∠ B-∠ OEB=40°$,所以 $∠ DOE=∠ BOD-∠ BOE=40°$,所以 $\overset{\frown}{DE}$ 的长为 $\dfrac{40π×5}{180}=\dfrac{10π}{9}$.
7. 如图,$AB$是$\odot O$的直径,将弦$AC$绕点$A$顺时针旋转$30°$得到$AD$,此时点$C$的对应点$D$落在$AB$上,延长$CD$,交$\odot O$于点$E$.若$CE=4$,则阴影部分的面积为（
A.$2π$
B.$2\sqrt{2}$
C.$2π-4$
D.$2π-2\sqrt{2}$
C
）A.$2π$
B.$2\sqrt{2}$
C.$2π-4$
D.$2π-2\sqrt{2}$
答案
7. C
解析:连接$OC,OE$. 由旋转的性质,得$∠ A=30°$,$AD=AC$,所以$∠ ADC=∠ ACD=\dfrac{1}{2}(180°-∠ A)=75°$,$∠ COB=2∠ A=60°$, 所以 $∠ OCD=180°-∠ COB-∠ ADC=45°$. 因为 $OC=OE$,所以 $∠ OEC=∠ OCD=45°$,所以 $∠ COE=180°-∠ OCD-∠ OEC=90°$. 设 $OC=OE=x$,则 $CE=\sqrt{OC^2+OE^2}=\sqrt{2}x$. 又 $CE=4$,所以$\sqrt{2}x=4$,解得 $x=2\sqrt{2}$,所以 $OC=OE=2\sqrt{2}$, 所以 $S_{△ OCE}=\dfrac{1}{2}OC· OE=4$,$S_{\mathrm{扇形}OCE}=\dfrac{90π×(2\sqrt{2})^2}{360}=2π$,所以 $S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}OCE}-S_{△ OCE}=2π-4$. 故阴影部分的面积为 $2π-4$.
解析:连接$OC,OE$. 由旋转的性质,得$∠ A=30°$,$AD=AC$,所以$∠ ADC=∠ ACD=\dfrac{1}{2}(180°-∠ A)=75°$,$∠ COB=2∠ A=60°$, 所以 $∠ OCD=180°-∠ COB-∠ ADC=45°$. 因为 $OC=OE$,所以 $∠ OEC=∠ OCD=45°$,所以 $∠ COE=180°-∠ OCD-∠ OEC=90°$. 设 $OC=OE=x$,则 $CE=\sqrt{OC^2+OE^2}=\sqrt{2}x$. 又 $CE=4$,所以$\sqrt{2}x=4$,解得 $x=2\sqrt{2}$,所以 $OC=OE=2\sqrt{2}$, 所以 $S_{△ OCE}=\dfrac{1}{2}OC· OE=4$,$S_{\mathrm{扇形}OCE}=\dfrac{90π×(2\sqrt{2})^2}{360}=2π$,所以 $S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}OCE}-S_{△ OCE}=2π-4$. 故阴影部分的面积为 $2π-4$.
8. 如图,在$□ ABCD$中,$AB＜AD$,$∠ A=150^{\circ }$,$CD=4$,以$CD$为直径的$\odot O$交$AD$于点$E$,则阴影部分的面积为
$\dfrac{2π}{3}+\sqrt{3}$
.答案
8. $\dfrac{2π}{3}+\sqrt{3}$
解析:连接$OE$,过点 $O$ 作 $OF⊥ DE$,垂足为 $F$,则$∠ OFD=90°$,$DF=\dfrac{1}{2}DE$. 因为 $CD=4$,所以 $OD=\dfrac{1}{2}CD=2$. 因为四边形 $ABCD$ 是平行四边形,所以$∠ A+∠ D=180°$. 因为 $∠ A=150°$,所以 $∠ D=180°-∠ A=30°$,所以 $OF=\dfrac{1}{2}OD=1$,所以 $DF=\sqrt{OD^2-OF^2}=\sqrt{3}$,所以 $DE=2DF=2\sqrt{3}$,所以 $S_{△ ODE}=\dfrac{1}{2}DE· OF=\sqrt{3}$. 因为 $∠ COE=2∠ D=60°$,所以 $S_{\mathrm{扇形}OCE}=\dfrac{60π×2^2}{360}=\dfrac{2π}{3}$,所以 $S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}OCE}+S_{△ ODE}=\dfrac{2π}{3}+\sqrt{3}$. 故阴影部分的面积为 $\dfrac{2π}{3}+\sqrt{3}$.
解析:连接$OE$,过点 $O$ 作 $OF⊥ DE$,垂足为 $F$,则$∠ OFD=90°$,$DF=\dfrac{1}{2}DE$. 因为 $CD=4$,所以 $OD=\dfrac{1}{2}CD=2$. 因为四边形 $ABCD$ 是平行四边形,所以$∠ A+∠ D=180°$. 因为 $∠ A=150°$,所以 $∠ D=180°-∠ A=30°$,所以 $OF=\dfrac{1}{2}OD=1$,所以 $DF=\sqrt{OD^2-OF^2}=\sqrt{3}$,所以 $DE=2DF=2\sqrt{3}$,所以 $S_{△ ODE}=\dfrac{1}{2}DE· OF=\sqrt{3}$. 因为 $∠ COE=2∠ D=60°$,所以 $S_{\mathrm{扇形}OCE}=\dfrac{60π×2^2}{360}=\dfrac{2π}{3}$,所以 $S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}OCE}+S_{△ ODE}=\dfrac{2π}{3}+\sqrt{3}$. 故阴影部分的面积为 $\dfrac{2π}{3}+\sqrt{3}$.
9. 如图,将扇形$OAB$沿$OB$方向平移,使点$O$平移到$OB$的中点$O'$处,得到扇形$O'A'B'$.若$∠ AOB=90^{ \circ },OA=2$,则阴影部分的面积为
$\dfrac{π}{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
.答案
9. $\dfrac{π}{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
解析:设 $O'A'$ 交 $\overset{\frown}{AB}$ 于点 $C$,连接 $OC$,则 $OC=OB=OA=2$. 由平移的性质,得$∠ A'O'B'=∠ AOB=90°$,$O'A'// OA$,$S_{\mathrm{扇形}O'A'B'}=S_{\mathrm{扇形}OAB}$,所以 $S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}OAC}+S_{△ O'OC}$. 因为 $O'$ 是 $OB$ 的中点,所以 $OO'=\dfrac{1}{2}OB=\dfrac{1}{2}OC=1$,所以 $∠ AOC=∠ OCO'=30°$,$O'C=\sqrt{OC^2-OO'^2}=\sqrt{3}$,所以 $S_{\mathrm{扇形}OAC}=\dfrac{30π×2^2}{360}=\dfrac{π}{3}$,$S_{△ O'OC}=\dfrac{1}{2}OO'· O'C=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$,所以 $S_{\mathrm{阴影}}=\dfrac{π}{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. 故阴影部分的面积为 $\dfrac{π}{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
解析:设 $O'A'$ 交 $\overset{\frown}{AB}$ 于点 $C$,连接 $OC$,则 $OC=OB=OA=2$. 由平移的性质,得$∠ A'O'B'=∠ AOB=90°$,$O'A'// OA$,$S_{\mathrm{扇形}O'A'B'}=S_{\mathrm{扇形}OAB}$,所以 $S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}OAC}+S_{△ O'OC}$. 因为 $O'$ 是 $OB$ 的中点,所以 $OO'=\dfrac{1}{2}OB=\dfrac{1}{2}OC=1$,所以 $∠ AOC=∠ OCO'=30°$,$O'C=\sqrt{OC^2-OO'^2}=\sqrt{3}$,所以 $S_{\mathrm{扇形}OAC}=\dfrac{30π×2^2}{360}=\dfrac{π}{3}$,$S_{△ O'OC}=\dfrac{1}{2}OO'· O'C=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$,所以 $S_{\mathrm{阴影}}=\dfrac{π}{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. 故阴影部分的面积为 $\dfrac{π}{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
