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1. 在下列因式分解的过程中,分解因式正确的是 （
A.$x^2 + 2x + 4 = (x + 2)^2$
B.$x^2 - 4 = (x + 4)(x - 4)$
C.$x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$
D.$x^2 + 4 = (x + 2)^2$
C
）A.$x^2 + 2x + 4 = (x + 2)^2$
B.$x^2 - 4 = (x + 4)(x - 4)$
C.$x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$
D.$x^2 + 4 = (x + 2)^2$
答案
1.C
解析
【分析】
这道题考查因式分解的正确性判断，解题时首先回忆因式分解常用的平方差公式、完全平方公式的结构特征，可通过将选项中等式右边的整式展开与左边对比，或者直接判断左边是否符合对应公式的结构，逐一排查各选项即可得出答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
1. 选项A：将右边$(x+2)^2$展开，得$x^2+4x+4$，与左边$x^2+2x+4$不相等，因式分解错误；
2. 选项B：$x^2-4$符合平方差公式结构，应为$x^2-2^2=(x+2)(x-2)$，选项给出的$(x+4)(x-4)$展开为$x^2-16$，与左边不相等，因式分解错误；
3. 选项C：$x^2-4x+4$符合完全平方差公式结构，$x^2-2· x·2+2^2=(x-2)^2$，左右两边相等，因式分解正确；
4. 选项D：将右边$(x+2)^2$展开得$x^2+4x+4$，与左边$x^2+4$不相等，因式分解错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题属于基础题，核心考查对因式分解相关公式的记忆与识别，将等式右边展开验证左右是否相等是判断因式分解正误的简便方法，熟练掌握公式的结构特征是解题的关键。
【难度系数】
0.8
这道题考查因式分解的正确性判断，解题时首先回忆因式分解常用的平方差公式、完全平方公式的结构特征，可通过将选项中等式右边的整式展开与左边对比，或者直接判断左边是否符合对应公式的结构，逐一排查各选项即可得出答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
1. 选项A：将右边$(x+2)^2$展开，得$x^2+4x+4$，与左边$x^2+2x+4$不相等，因式分解错误；
2. 选项B：$x^2-4$符合平方差公式结构，应为$x^2-2^2=(x+2)(x-2)$，选项给出的$(x+4)(x-4)$展开为$x^2-16$，与左边不相等，因式分解错误；
3. 选项C：$x^2-4x+4$符合完全平方差公式结构，$x^2-2· x·2+2^2=(x-2)^2$，左右两边相等，因式分解正确；
4. 选项D：将右边$(x+2)^2$展开得$x^2+4x+4$，与左边$x^2+4$不相等，因式分解错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题属于基础题，核心考查对因式分解相关公式的记忆与识别，将等式右边展开验证左右是否相等是判断因式分解正误的简便方法，熟练掌握公式的结构特征是解题的关键。
【难度系数】
0.8
2. 把多项式$a^2 - a$因式分解,结果正确的是 （
A.$a(a-1)$
B.$(a+1)(a-1)$
C.$a(a+1)(a-1)$
D.$-a(a-1)$
A
）A.$a(a-1)$
B.$(a+1)(a-1)$
C.$a(a+1)(a-1)$
D.$-a(a-1)$
答案
2.A
解析
【分析】
拿到因式分解类题目，首先要遵循“先提公因式，再用公式”的解题顺序：第一步观察多项式各项是否存在公因式，若有则先提取公因式。本题中多项式有两项$a^2$和$-a$，先找公因式：两项的相同字母为$a$，且$a$的最低次幂是1次，因此公因式为$a$。提取公因式$a$后，用原多项式的每一项除以$a$，即可得到因式分解的结果，再对照选项选出答案即可。
【解析】
对多项式$a^2 - a$进行因式分解：
1. 确定公因式：多项式两项的公因式为$a$；
2. 提取公因式：
$a^2 - a = a · a - a · 1 = a(a-1)$
对比选项可知A选项正确。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法因式分解、公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，主要考查提取公因式法的应用，解题时要注意先观察多项式的公因式，提取公因式时需留意各项的符号，避免符号出错。
【难度系数】
0.9
拿到因式分解类题目，首先要遵循“先提公因式，再用公式”的解题顺序：第一步观察多项式各项是否存在公因式，若有则先提取公因式。本题中多项式有两项$a^2$和$-a$，先找公因式：两项的相同字母为$a$，且$a$的最低次幂是1次，因此公因式为$a$。提取公因式$a$后，用原多项式的每一项除以$a$，即可得到因式分解的结果，再对照选项选出答案即可。
【解析】
对多项式$a^2 - a$进行因式分解：
1. 确定公因式：多项式两项的公因式为$a$；
2. 提取公因式：
$a^2 - a = a · a - a · 1 = a(a-1)$
对比选项可知A选项正确。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法因式分解、公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，主要考查提取公因式法的应用，解题时要注意先观察多项式的公因式，提取公因式时需留意各项的符号，避免符号出错。
【难度系数】
0.9
3. 将下列多项式因式分解,结果中不含有因式$(a+1)$的是 （
A.$a^2 -1$
B.$a^2 +a$
C.$a^2 +a -2$
D.$(a+2)^2 -2(a+2)+1$
C
）A.$a^2 -1$
B.$a^2 +a$
C.$a^2 +a -2$
D.$(a+2)^2 -2(a+2)+1$
答案
3.C
解析
【分析】
本题要求选出因式分解结果中不含因式$(a+1)$的选项，解题思路为：先将四个选项的多项式分别用对应方法因式分解，再逐一判断分解结果是否含有因式$(a+1)$，排除含该因式的选项即可得到答案。因式分解时可灵活运用提公因式法、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法等常用方法。
【解析】
对各选项分别进行因式分解：
A选项：利用平方差公式分解，$a^2-1=(a+1)(a-1)$，含有因式$(a+1)$，不符合要求，排除；
B选项：利用提公因式法分解，$a^2+a=a(a+1)$，含有因式$(a+1)$，不符合要求，排除；
C选项：利用十字相乘法分解，将常数项-2拆为2和-1，满足$2+(-1)=1$（一次项系数），因此$a^2+a-2=(a+2)(a-1)$，不含因式$(a+1)$，符合要求；
D选项：将$(a+2)$看作整体，利用完全平方公式分解，$(a+2)^2-2(a+2)+1=[(a+2)-1]^2=(a+1)^2$，含有因式$(a+1)$，不符合要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
因式分解、提公因式法、十字相乘法
【点评】
本题考查因式分解的应用，需要熟练掌握因式分解的各类常用方法，通过逐一分解验证即可得出正确结果，属于因式分解板块的基础常规题型。
【难度系数】
0.85
本题要求选出因式分解结果中不含因式$(a+1)$的选项，解题思路为：先将四个选项的多项式分别用对应方法因式分解，再逐一判断分解结果是否含有因式$(a+1)$，排除含该因式的选项即可得到答案。因式分解时可灵活运用提公因式法、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法等常用方法。
【解析】
对各选项分别进行因式分解：
A选项：利用平方差公式分解，$a^2-1=(a+1)(a-1)$，含有因式$(a+1)$，不符合要求，排除；
B选项：利用提公因式法分解，$a^2+a=a(a+1)$，含有因式$(a+1)$，不符合要求，排除；
C选项：利用十字相乘法分解，将常数项-2拆为2和-1，满足$2+(-1)=1$（一次项系数），因此$a^2+a-2=(a+2)(a-1)$，不含因式$(a+1)$，符合要求；
D选项：将$(a+2)$看作整体，利用完全平方公式分解，$(a+2)^2-2(a+2)+1=[(a+2)-1]^2=(a+1)^2$，含有因式$(a+1)$，不符合要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
因式分解、提公因式法、十字相乘法
【点评】
本题考查因式分解的应用，需要熟练掌握因式分解的各类常用方法，通过逐一分解验证即可得出正确结果，属于因式分解板块的基础常规题型。
【难度系数】
0.85
4.若$x,y$的值均扩大为原来的2倍,则下列分式的值保持不变的是（
A.$\frac{3x}{2y}$
B.$\frac{3x}{2y^2}$
C.$\frac{3x^2}{2y}$
D.$\frac{3x^3}{2y^2}$
A
）A.$\frac{3x}{2y}$
B.$\frac{3x}{2y^2}$
C.$\frac{3x^2}{2y}$
D.$\frac{3x^3}{2y^2}$
答案
4.A
解析
【分析】
本题考查分式值的变化规律，解题思路如下：首先明确x、y扩大为原来的2倍后变为2x、2y，我们只需将每个选项中的x、y分别替换为2x、2y，再结合分式的基本性质化简替换后的分式，最后将化简结果和原分式对比，若二者相等则该选项符合要求。
【解析】
将x、y替换为2x、2y，分别代入四个选项化简：
A. 代入后得$\frac{3× 2x}{2× 2y} = \frac{6x}{4y}$，约分后为$\frac{3x}{2y}$，与原分式相等，值保持不变；
B. 代入后得$\frac{3× 2x}{2× (2y)^2} = \frac{6x}{2× 4y^2} = \frac{6x}{8y^2} = \frac{3x}{4y^2}$，是原分式的$\frac{1}{2}$，值发生变化；
C. 代入后得$\frac{3× (2x)^2}{2× 2y} = \frac{3× 4x^2}{4y} = \frac{12x^2}{4y} = \frac{3x^2}{y}$，是原分式的2倍，值发生变化；
D. 代入后得$\frac{3× (2x)^3}{2× (2y)^2} = \frac{3× 8x^3}{2× 4y^2} = \frac{24x^3}{8y^2} = \frac{3x^3}{y^2}$，是原分式的2倍，值发生变化。
综上只有A选项符合要求。
【答案】
A
【知识点】
分式的基本性质、幂的运算、分式约分
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握分式的基本性质，代入扩大后的变量时要注意给带乘方的变量整体加括号，计算时细心化简即可正确作答。
【难度系数】
0.8
本题考查分式值的变化规律，解题思路如下：首先明确x、y扩大为原来的2倍后变为2x、2y，我们只需将每个选项中的x、y分别替换为2x、2y，再结合分式的基本性质化简替换后的分式，最后将化简结果和原分式对比，若二者相等则该选项符合要求。
【解析】
将x、y替换为2x、2y，分别代入四个选项化简：
A. 代入后得$\frac{3× 2x}{2× 2y} = \frac{6x}{4y}$，约分后为$\frac{3x}{2y}$，与原分式相等，值保持不变；
B. 代入后得$\frac{3× 2x}{2× (2y)^2} = \frac{6x}{2× 4y^2} = \frac{6x}{8y^2} = \frac{3x}{4y^2}$，是原分式的$\frac{1}{2}$，值发生变化；
C. 代入后得$\frac{3× (2x)^2}{2× 2y} = \frac{3× 4x^2}{4y} = \frac{12x^2}{4y} = \frac{3x^2}{y}$，是原分式的2倍，值发生变化；
D. 代入后得$\frac{3× (2x)^3}{2× (2y)^2} = \frac{3× 8x^3}{2× 4y^2} = \frac{24x^3}{8y^2} = \frac{3x^3}{y^2}$，是原分式的2倍，值发生变化。
综上只有A选项符合要求。
【答案】
A
【知识点】
分式的基本性质、幂的运算、分式约分
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握分式的基本性质，代入扩大后的变量时要注意给带乘方的变量整体加括号，计算时细心化简即可正确作答。
【难度系数】
0.8
5. 计算$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{1-x}$的正确结果是 （
A.0
B.$\frac{2x}{1-x^2}$
C.$\frac{2}{1-x^2}$
D.$\frac{2}{x^2-1}$
C
）A.0
B.$\frac{2x}{1-x^2}$
C.$\frac{2}{1-x^2}$
D.$\frac{2}{x^2-1}$
答案
5.C
解析
【分析】
这是一道异分母分式加法运算题，解题思路如下：首先观察两个分式的分母，将分母变形后找到最简公分母，再利用分式的基本性质对两个分式通分，转化为同分母分式后，按照“同分母分式相加，分母不变，分子相加”的法则计算，最后化简分子得到结果，再匹配选项即可。解题时要注意分母1-x的符号处理，避免符号错误。
【解析】
解：两个分式的分母分别为$x+1$和$1-x$，最简公分母为$(x+1)(1-x)=1-x^2$。
对原式通分计算：
$\begin{aligned}\frac{1}{x+1}+\frac{1}{1-x}&=\frac{1×(1-x)}{(x+1)(1-x)}+\frac{1×(x+1)}{(1-x)(x+1)}\\&=\frac{(1-x)+(x+1)}{1-x^2}\\&=\frac{1-x+x+1}{1-x^2}\\&=\frac{2}{1-x^2}\end{aligned}$
结果对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
异分母分式加减、分式通分、合并同类项
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考查异分母分式的运算规则，解题的易错点在于处理分母$1-x$时容易出现符号错误，计算分子合并同类项时要注意抵消项的处理。
【难度系数】
0.8
这是一道异分母分式加法运算题，解题思路如下：首先观察两个分式的分母，将分母变形后找到最简公分母，再利用分式的基本性质对两个分式通分，转化为同分母分式后，按照“同分母分式相加，分母不变，分子相加”的法则计算，最后化简分子得到结果，再匹配选项即可。解题时要注意分母1-x的符号处理，避免符号错误。
【解析】
解：两个分式的分母分别为$x+1$和$1-x$，最简公分母为$(x+1)(1-x)=1-x^2$。
对原式通分计算：
$\begin{aligned}\frac{1}{x+1}+\frac{1}{1-x}&=\frac{1×(1-x)}{(x+1)(1-x)}+\frac{1×(x+1)}{(1-x)(x+1)}\\&=\frac{(1-x)+(x+1)}{1-x^2}\\&=\frac{1-x+x+1}{1-x^2}\\&=\frac{2}{1-x^2}\end{aligned}$
结果对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
异分母分式加减、分式通分、合并同类项
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考查异分母分式的运算规则，解题的易错点在于处理分母$1-x$时容易出现符号错误，计算分子合并同类项时要注意抵消项的处理。
【难度系数】
0.8
6. 在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时 $v_1$ 千米，下坡时的速度为每小时 $v_2$ 千米，则他在这段路上、下坡的平均速度是每小时（
A.$\frac{v_1 + v_2}{2}$ 千米
B.$\frac{v_1 v_2}{v_1 + v_2}$ 千米
C.$\frac{2v_1 v_2}{v_1 + v_2}$ 千米
D.无法确定
C
）A.$\frac{v_1 + v_2}{2}$ 千米
B.$\frac{v_1 v_2}{v_1 + v_2}$ 千米
C.$\frac{2v_1 v_2}{v_1 + v_2}$ 千米
D.无法确定
答案
6.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先要牢记平均速度的核心计算逻辑：平均速度=总路程÷总时间，不能直接对两个速度求算术平均。我们可以先设坡路的单程长度为s，分别求出上坡、下坡的行驶时间，再结合上下坡的总路程、总时间代入公式，化简后就能得到正确的平均速度。
【解析】
设这段坡路的单程路程为$ s $千米。
1. 求上坡时间：根据公式$ 时间=路程÷速度 $，上坡用时$ t_1=\frac{s}{v_1} $小时；
2. 求下坡时间：下坡用时$ t_2=\frac{s}{v_2} $小时；
3. 求总路程：上下坡的总路程为$ s+s=2s $千米；
4. 求总时间：总用时$ t=t_1+t_2=\frac{s}{v_1}+\frac{s}{v_2} $；
5. 计算平均速度：
将总路程、总时间代入平均速度公式：
$ v=\frac{总路程}{总时间}=\frac{2s}{\frac{s}{v_1}+\frac{s}{v_2}} $
对分母通分并化简：
$ \frac{s}{v_1}+\frac{s}{v_2}=\frac{s(v_1+v_2)}{v_1v_2} $
代入后约去分子分母的$ s $可得：
$ v=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2} $千米/小时
【答案】
C
【知识点】
平均速度计算，分式化简，行程问题
【点评】
本题是行程类常见易错题，很多同学容易误把速度的算术平均值当成平均速度，解题时一定要紧扣平均速度的定义，严格用总路程除以总时间计算。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先要牢记平均速度的核心计算逻辑：平均速度=总路程÷总时间，不能直接对两个速度求算术平均。我们可以先设坡路的单程长度为s，分别求出上坡、下坡的行驶时间，再结合上下坡的总路程、总时间代入公式，化简后就能得到正确的平均速度。
【解析】
设这段坡路的单程路程为$ s $千米。
1. 求上坡时间：根据公式$ 时间=路程÷速度 $，上坡用时$ t_1=\frac{s}{v_1} $小时；
2. 求下坡时间：下坡用时$ t_2=\frac{s}{v_2} $小时；
3. 求总路程：上下坡的总路程为$ s+s=2s $千米；
4. 求总时间：总用时$ t=t_1+t_2=\frac{s}{v_1}+\frac{s}{v_2} $；
5. 计算平均速度：
将总路程、总时间代入平均速度公式：
$ v=\frac{总路程}{总时间}=\frac{2s}{\frac{s}{v_1}+\frac{s}{v_2}} $
对分母通分并化简：
$ \frac{s}{v_1}+\frac{s}{v_2}=\frac{s(v_1+v_2)}{v_1v_2} $
代入后约去分子分母的$ s $可得：
$ v=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2} $千米/小时
【答案】
C
【知识点】
平均速度计算，分式化简，行程问题
【点评】
本题是行程类常见易错题，很多同学容易误把速度的算术平均值当成平均速度，解题时一定要紧扣平均速度的定义，严格用总路程除以总时间计算。
【难度系数】
0.6
二、解答题
7.解分式方程：
(1)$\frac{1}{x-2}=\frac{1}{3x}$；
(2)$\frac{1}{x+1}+\frac{2}{$
$}=\frac{4}{x^2-1}$。
7.解分式方程：
(1)$\frac{1}{x-2}=\frac{1}{3x}$；
(2)$\frac{1}{x+1}+\frac{2}{$
$}=\frac{4}{x^2-1}$。答案
7. 解:(1)方程两边同乘$3x(x-2)$,
得$3x=x-2$,
解得$x=-1$,
检验:当$x=-1$时,$3x(x-2)≠0$,
∴$x=-1$是原方程的根.
(2)方程两边同乘$(x+1)(x-1)$,
得$x-1+2(x+1)=4$,
解得$x=1$,
检验:当$x=1$时,$(x+1)(x-1)=0$,
∴$x=1$是增根,原方程无解.
得$3x=x-2$,
解得$x=-1$,
检验:当$x=-1$时,$3x(x-2)≠0$,
∴$x=-1$是原方程的根.
(2)方程两边同乘$(x+1)(x-1)$,
得$x-1+2(x+1)=4$,
解得$x=1$,
检验:当$x=1$时,$(x+1)(x-1)=0$,
∴$x=1$是增根,原方程无解.
解析
【分析】
解分式方程的常规步骤为：①找最简公分母；②方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程；③解整式方程；④代入最简公分母检验，判断解是否有效。
(1) 该方程的分母为$x-2$和$3x$，最简公分母为$3x(x-2)$，乘公分母消去分母后即可得到一元一次方程，求解后检验即可。
(2) 先利用平方差公式将$x^2-1$分解为$(x+1)(x-1)$，可得最简公分母为$(x+1)(x-1)$，乘公分母消去分母后解一元一次方程，最后检验判断解是否为增根即可。
【解析】
(1) 方程两边同乘最简公分母$3x(x-2)$，去分母得：
$3x = x - 2$
移项合并同类项得：$2x=-2$
解得$x=-1$
检验：当$x=-1$时，$3x(x-2)=3×(-1)×(-3)=9≠0$，因此$x=-1$是原方程的根。
(2) 先因式分解分母得$x^2-1=(x+1)(x-1)$，方程两边同乘最简公分母$(x+1)(x-1)$，去分母得：
$x-1+2(x+1)=4$
去括号得：$x-1+2x+2=4$
移项合并同类项得：$3x=3$
解得$x=1$
检验：当$x=1$时，$(x+1)(x-1)=2×0=0$，因此$x=1$是增根，原方程无解。
【答案】
(1) $x=-1$；(2) 原方程无解
【知识点】
分式方程解法，增根检验，平方差公式
【点评】
解分式方程的核心是通过去分母将方程转化为整式方程求解，检验是必不可少的步骤，增根是使原分式分母为0的解，出现增根时原方程无解，这是此类题的高频易错点。
【难度系数】
0.7
解分式方程的常规步骤为：①找最简公分母；②方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程；③解整式方程；④代入最简公分母检验，判断解是否有效。
(1) 该方程的分母为$x-2$和$3x$，最简公分母为$3x(x-2)$，乘公分母消去分母后即可得到一元一次方程，求解后检验即可。
(2) 先利用平方差公式将$x^2-1$分解为$(x+1)(x-1)$，可得最简公分母为$(x+1)(x-1)$，乘公分母消去分母后解一元一次方程，最后检验判断解是否为增根即可。
【解析】
(1) 方程两边同乘最简公分母$3x(x-2)$，去分母得：
$3x = x - 2$
移项合并同类项得：$2x=-2$
解得$x=-1$
检验：当$x=-1$时，$3x(x-2)=3×(-1)×(-3)=9≠0$，因此$x=-1$是原方程的根。
(2) 先因式分解分母得$x^2-1=(x+1)(x-1)$，方程两边同乘最简公分母$(x+1)(x-1)$，去分母得：
$x-1+2(x+1)=4$
去括号得：$x-1+2x+2=4$
移项合并同类项得：$3x=3$
解得$x=1$
检验：当$x=1$时，$(x+1)(x-1)=2×0=0$，因此$x=1$是增根，原方程无解。
【答案】
(1) $x=-1$；(2) 原方程无解
【知识点】
分式方程解法，增根检验，平方差公式
【点评】
解分式方程的核心是通过去分母将方程转化为整式方程求解，检验是必不可少的步骤，增根是使原分式分母为0的解，出现增根时原方程无解，这是此类题的高频易错点。
【难度系数】
0.7
