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8. 已知 $ x $ 为整数，且 $\frac{2}{x+3}+\frac{2}{3-x}+\frac{2x+18}{x^2-9}$ 为整数，求所有符合条件的 $ x $ 的值。
答案
8. 解: 原 式 $= \frac{2(x-3)-2(x+3)+2x+18}{(x+3)(x-3)} = \frac{2(x+3)}{(x+3)(x-3)}=\frac{2}{x-3}$.
∵结果为整数,且$x$为整数,
∴$x-3=2$或$x-3=1$或$x-3=-2$或$x-3=-1$,
解得:$x=5$或$x=4$或$x=1$或$x=2$.
∴所有符合条件的$x$的值为1,2,4,5.
∵结果为整数,且$x$为整数,
∴$x-3=2$或$x-3=1$或$x-3=-2$或$x-3=-1$,
解得:$x=5$或$x=4$或$x=1$或$x=2$.
∴所有符合条件的$x$的值为1,2,4,5.
解析
【分析】
要解这道题，首先需要先化简给定的分式：第一步先找三个分式的最简公分母，由于$x^2-9=(x+3)(x-3)$，因此最简公分母为$(x+3)(x-3)$，通分后合并分子再约分得到最简分式；其次要注意分式有意义的前提是分母不为0，因此$x$不能取$\pm3$；最后根据化简结果为整数、$x$为整数的条件，可知分母是分子的整数约数（含正、负约数），列出所有可能的约数求解$x$，排除不符合分母不为0的取值即可得到最终结果。
【解析】
首先明确分式有意义的条件：$x+3≠0$，$3-x≠0$，$x^2-9≠0$，即$x≠\pm3$。
对原式通分化简：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2(x-3)}{(x+3)(x-3)}-\frac{2(x+3)}{(x+3)(x-3)}+\frac{2x+18}{(x+3)(x-3)}\\&=\frac{2(x-3)-2(x+3)+2x+18}{(x+3)(x-3)}\\&=\frac{2x-6-2x-6+2x+18}{(x+3)(x-3)}\\&=\frac{2x+6}{(x+3)(x-3)}\\&=\frac{2(x+3)}{(x+3)(x-3)}\\&=\frac{2}{x-3}\end{aligned}$
∵化简结果为整数，且$x$为整数，
∴$x-3$是2的整数因数，即$x-3=\pm1$或$x-3=\pm2$，
分别解得：
当$x-3=1$时，$x=4$；当$x-3=-1$时，$x=2$；
当$x-3=2$时，$x=5$；当$x-3=-2$时，$x=1$。
以上取值均满足$x≠\pm3$，符合要求。
【答案】
1、2、4、5
【知识点】
分式的加减运算；分式有意义的条件；整数整除性质
【点评】
本题是分式运算与整数性质结合的常规题型，解题核心是先正确化简分式，需注意分式有意义的隐含条件，避免出现增解，同时要考虑约数包含正负两种情况，不要漏解。
【难度系数】
0.6
要解这道题，首先需要先化简给定的分式：第一步先找三个分式的最简公分母，由于$x^2-9=(x+3)(x-3)$，因此最简公分母为$(x+3)(x-3)$，通分后合并分子再约分得到最简分式；其次要注意分式有意义的前提是分母不为0，因此$x$不能取$\pm3$；最后根据化简结果为整数、$x$为整数的条件，可知分母是分子的整数约数（含正、负约数），列出所有可能的约数求解$x$，排除不符合分母不为0的取值即可得到最终结果。
【解析】
首先明确分式有意义的条件：$x+3≠0$，$3-x≠0$，$x^2-9≠0$，即$x≠\pm3$。
对原式通分化简：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2(x-3)}{(x+3)(x-3)}-\frac{2(x+3)}{(x+3)(x-3)}+\frac{2x+18}{(x+3)(x-3)}\\&=\frac{2(x-3)-2(x+3)+2x+18}{(x+3)(x-3)}\\&=\frac{2x-6-2x-6+2x+18}{(x+3)(x-3)}\\&=\frac{2x+6}{(x+3)(x-3)}\\&=\frac{2(x+3)}{(x+3)(x-3)}\\&=\frac{2}{x-3}\end{aligned}$
∵化简结果为整数，且$x$为整数，
∴$x-3$是2的整数因数，即$x-3=\pm1$或$x-3=\pm2$，
分别解得：
当$x-3=1$时，$x=4$；当$x-3=-1$时，$x=2$；
当$x-3=2$时，$x=5$；当$x-3=-2$时，$x=1$。
以上取值均满足$x≠\pm3$，符合要求。
【答案】
1、2、4、5
【知识点】
分式的加减运算；分式有意义的条件；整数整除性质
【点评】
本题是分式运算与整数性质结合的常规题型，解题核心是先正确化简分式，需注意分式有意义的隐含条件，避免出现增解，同时要考虑约数包含正负两种情况，不要漏解。
【难度系数】
0.6
9. 如图1，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＝6 cm，BD＝8 cm，分别过点B，C作AC与BD的平行线相交于点E.
(1)判断四边形BOCE的形状并证明；
(2)点G从点A沿线段AC的方向以2 cm/s的速度移动了t秒，连接BG，当$S_{△ ABG}=2S_{△ OBG}$时，求t的值；
(3)如图2，点G在直线AC上运动，求BG＋EG的最小值.
(1)判断四边形BOCE的形状并证明；
(2)点G从点A沿线段AC的方向以2 cm/s的速度移动了t秒，连接BG，当$S_{△ ABG}=2S_{△ OBG}$时，求t的值；
(3)如图2，点G在直线AC上运动，求BG＋EG的最小值.
答案
9.解:(1)结论:四边形BOCE是矩形.
证明:
∵$BE// OC,EC// OB$,
∴四边形BOCE是平行四边形,
∵四边形ABCD是菱形,
∴$AC⊥ BD$,
∴$∠ BOC=90°$,
∴四边形BOCE是矩形.
(2)如图2中,
∵四边形ABCD是菱形,$AC=6$ cm,$BD=8$ cm,
∴$OA=OC=3$ cm,$OB=OD=4$ cm,
∵$S_{△ ABG}=2S_{△ OBG}$,
∴$AG=2OG$,
∴$2t=2(3-2t)$或$2t=2(2t-3)$,
解得$t=1$或$t=3$,
∴满足条件的$t$的值为1或3.
(3)如右图所示.
∵四边形ABCD是菱形,
∴$OB=OD$,$AC⊥ BD$,
∵四边形BOCE是矩形,
∴$BE=OC=3$ cm,$∠ EBO=90°$,
作点B关于AC的对称点,即点D,
连接ED,交AC于点G,连接BG,
∴$BG=DG$,
∴$BG+EG=DG+EG$,
∵两点之间线段最短,
∴此时$BG+EG$有最小值,即线段DE,
在$\mathrm{Rt}△ EBD$中,$DE=\sqrt{BE^2+BD^2}=\sqrt{3^2+8^2}=\sqrt{73}$(cm).
∴$BG+EG$的最小值为$\sqrt{73}$ cm.
解析
【分析】
(1)要判断四边形BOCE的形状，先根据已知的两组对边分别平行证得四边形是平行四边形，再结合菱形对角线互相垂直的性质，得到有一个内角为直角，即可判定为矩形；
(2)△ABG和△OBG等高，面积比等于底AG与OG的比，结合面积关系得到AG=2OG，再分点G在OA段、点G在OC段两种情况列方程求解t即可；
(3)求BG+EG的最小值属于最短路径问题，利用菱形的对称性可知点B关于AC的对称点为D，将BG转化为DG，BG+EG的最小值即为线段DE的长度，再用勾股定理计算即可。
【解析】
(1)结论：四边形BOCE是矩形。
证明：
∵$BE// OC$，$EC// OB$，
∴四边形BOCE是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴$AC⊥ BD$，即$∠ BOC=90°$，
∴平行四边形BOCE是矩形。
(2)
∵四边形ABCD是菱形，$AC=6\ \mathrm{cm}$，$BD=8\ \mathrm{cm}$，
∴$OA=OC=3\ \mathrm{cm}$，$OB=OD=4\ \mathrm{cm}$，
∵$△ ABG$和$△ OBG$的高均为点B到AC的距离，面积比等于底的比，
又
∵$S_{△ ABG}=2S_{△ OBG}$，
∴$AG=2OG$，
分两种情况：
①当点G在线段OA上时，$OG=3-2t$，则$2t=2(3-2t)$，解得$t=1$；
②当点G在线段OC上时，$OG=2t-3$，则$2t=2(2t-3)$，解得$t=3$；
故t的值为1或3。
(3)
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC垂直平分BD，即点B与点D关于AC对称，
连接ED，交AC于点G，此时$BG+EG$最小，
根据对称性得$BG=DG$，则$BG+EG=DG+EG=DE$，
∵四边形BOCE是矩形，
∴$BE=OC=3\ \mathrm{cm}$，$∠ EBO=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ EBD$中，$BD=8\ \mathrm{cm}$，
∴$DE=\sqrt{BE^2+BD^2}=\sqrt{3^2+8^2}=\sqrt{73}\ (\mathrm{cm})$，
即$BG+EG$的最小值为$\sqrt{73}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1)四边形BOCE是矩形，证明见解析；
(2)$t$的值为1或3；
(3)$BG+EG$的最小值为$\sqrt{73}\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
矩形的判定；菱形的性质；轴对称求最短路径
【点评】
本题属于几何综合题，覆盖了特殊四边形的性质与判定、动点面积计算、最短路径求解等考点，解题时需注意对动点位置分类讨论，灵活运用轴对称性质转化线段和的最值，能有效锻炼几何分析与综合应用能力。
【难度系数】
0.6
(1)要判断四边形BOCE的形状，先根据已知的两组对边分别平行证得四边形是平行四边形，再结合菱形对角线互相垂直的性质，得到有一个内角为直角，即可判定为矩形；
(2)△ABG和△OBG等高，面积比等于底AG与OG的比，结合面积关系得到AG=2OG，再分点G在OA段、点G在OC段两种情况列方程求解t即可；
(3)求BG+EG的最小值属于最短路径问题，利用菱形的对称性可知点B关于AC的对称点为D，将BG转化为DG，BG+EG的最小值即为线段DE的长度，再用勾股定理计算即可。
【解析】
(1)结论：四边形BOCE是矩形。
证明：
∵$BE// OC$，$EC// OB$，
∴四边形BOCE是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴$AC⊥ BD$，即$∠ BOC=90°$，
∴平行四边形BOCE是矩形。
(2)
∵四边形ABCD是菱形，$AC=6\ \mathrm{cm}$，$BD=8\ \mathrm{cm}$，
∴$OA=OC=3\ \mathrm{cm}$，$OB=OD=4\ \mathrm{cm}$，
∵$△ ABG$和$△ OBG$的高均为点B到AC的距离，面积比等于底的比，
又
∵$S_{△ ABG}=2S_{△ OBG}$，
∴$AG=2OG$，
分两种情况：
①当点G在线段OA上时，$OG=3-2t$，则$2t=2(3-2t)$，解得$t=1$；
②当点G在线段OC上时，$OG=2t-3$，则$2t=2(2t-3)$，解得$t=3$；
故t的值为1或3。
(3)
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC垂直平分BD，即点B与点D关于AC对称，
连接ED，交AC于点G，此时$BG+EG$最小，
根据对称性得$BG=DG$，则$BG+EG=DG+EG=DE$，
∵四边形BOCE是矩形，
∴$BE=OC=3\ \mathrm{cm}$，$∠ EBO=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ EBD$中，$BD=8\ \mathrm{cm}$，
∴$DE=\sqrt{BE^2+BD^2}=\sqrt{3^2+8^2}=\sqrt{73}\ (\mathrm{cm})$，
即$BG+EG$的最小值为$\sqrt{73}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1)四边形BOCE是矩形，证明见解析；
(2)$t$的值为1或3；
(3)$BG+EG$的最小值为$\sqrt{73}\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
矩形的判定；菱形的性质；轴对称求最短路径
【点评】
本题属于几何综合题，覆盖了特殊四边形的性质与判定、动点面积计算、最短路径求解等考点，解题时需注意对动点位置分类讨论，灵活运用轴对称性质转化线段和的最值，能有效锻炼几何分析与综合应用能力。
【难度系数】
0.6
