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5. 投出的铅球在空中飞行，它在整个运动过程中的动能$E_{\mathrm{k}}$与距离地面的高度$h$的关系如图所示。已知铅球脱手的高度$h$为$\quantity{2}{m}$，铅球落到地面时重力势能为零，不计空气阻力，由图可知，铅球脱手时其重力势能为（
A.$\quantity{80}{J}$
B.$\quantity{100}{J}$
C.$\quantity{180}{J}$
D.$\quantity{280}{J}$
A
）A.$\quantity{80}{J}$
B.$\quantity{100}{J}$
C.$\quantity{180}{J}$
D.$\quantity{280}{J}$
答案
A
解析
【分析】
不计空气阻力时，铅球运动过程中机械能守恒，即动能与重力势能之和保持不变。由图像可知，当高度h=0（地面，重力势能为0）时，动能为280J，可先确定总机械能；再结合h=2.5m时的动能算出对应重力势能，进而求出mg的值；最后根据脱手高度h=2m，计算脱手时的重力势能。
【解析】
不计空气阻力，铅球运动过程中机械能守恒，即$E_{\mathrm{k}} + E_{\mathrm{p}} = \mathrm{定值}$。
1. 当$h=0$（地面，重力势能$E_{\mathrm{p}}=0$）时，动能$E_{\mathrm{k}1}=280\ \mathrm{J}$，因此总机械能$E=280\ \mathrm{J}$。
2. 当$h=2.5\ \mathrm{m}$时，动能$E_{\mathrm{k}2}=180\ \mathrm{J}$，此时重力势能$E_{\mathrm{p}2}=E - E_{\mathrm{k}2}=280\ \mathrm{J} - 180\ \mathrm{J}=100\ \mathrm{J}$。
3. 由重力势能公式$E_{\mathrm{p}}=mgh$，得$mg=\frac{E_{\mathrm{p}2}}{h_2}=\frac{100\ \mathrm{J}}{2.5\ \mathrm{m}}=40\ \mathrm{N}$。
4. 已知铅球脱手时高度$h=2\ \mathrm{m}$，则脱手时重力势能$E_{\mathrm{p}}=mgh=40\ \mathrm{N} × 2\ \mathrm{m}=80\ \mathrm{J}$。
【答案】
A
【知识点】
机械能守恒、重力势能
【点评】
本题考查机械能守恒定律的应用，需理解Ek-h图像的物理意义，利用守恒关系逐步推导，难度适中。
【难度系数】
0.5
不计空气阻力时，铅球运动过程中机械能守恒，即动能与重力势能之和保持不变。由图像可知，当高度h=0（地面，重力势能为0）时，动能为280J，可先确定总机械能；再结合h=2.5m时的动能算出对应重力势能，进而求出mg的值；最后根据脱手高度h=2m，计算脱手时的重力势能。
【解析】
不计空气阻力，铅球运动过程中机械能守恒，即$E_{\mathrm{k}} + E_{\mathrm{p}} = \mathrm{定值}$。
1. 当$h=0$（地面，重力势能$E_{\mathrm{p}}=0$）时，动能$E_{\mathrm{k}1}=280\ \mathrm{J}$，因此总机械能$E=280\ \mathrm{J}$。
2. 当$h=2.5\ \mathrm{m}$时，动能$E_{\mathrm{k}2}=180\ \mathrm{J}$，此时重力势能$E_{\mathrm{p}2}=E - E_{\mathrm{k}2}=280\ \mathrm{J} - 180\ \mathrm{J}=100\ \mathrm{J}$。
3. 由重力势能公式$E_{\mathrm{p}}=mgh$，得$mg=\frac{E_{\mathrm{p}2}}{h_2}=\frac{100\ \mathrm{J}}{2.5\ \mathrm{m}}=40\ \mathrm{N}$。
4. 已知铅球脱手时高度$h=2\ \mathrm{m}$，则脱手时重力势能$E_{\mathrm{p}}=mgh=40\ \mathrm{N} × 2\ \mathrm{m}=80\ \mathrm{J}$。
【答案】
A
【知识点】
机械能守恒、重力势能
【点评】
本题考查机械能守恒定律的应用，需理解Ek-h图像的物理意义，利用守恒关系逐步推导，难度适中。
【难度系数】
0.5
6. 新趋势 学科融合 体育课上,小明在同一位置用相同的力多次将足球踢出,发现足球斜向上飞出的角度越大,球运动得越高,但并不能运动得越远。小明查阅资料后知道:足球所做的运动叫作斜抛运动,其运动轨迹如图甲所示。足球初始运动方向与水平方向的夹角叫作抛射角,抛出点到落地点的水平距离叫作射程,射程与抛出速度和抛射角的大小有关。若物体的动能大小$E_{\mathrm{k}}=\dfrac{1}{2}mv^{2}$,重力势能大小$E_{\mathrm{p}}=mgh$,不计空气阻力,$g$取$10\ {N/kg}$,请回答下列问题:
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(1) 若质量为$0.4\ {kg}$的足球从地面被踢出时,具有的动能是$120\ {J}$,被踢出后足球能达到的最大高度是$5\ {m}$,则足球在最高点时具有的动能是
(2) 若足球的射程$x$与抛出速度$v$、抛射角$θ$之间满足公式$x=\dfrac{2v^{2}\sinθ\cosθ}{g}$,当足球以$20\ {m/s}$且与水平方向成$45^{ \circ }$角的速度被踢出时,足球的射程是
(3) 足球运动的速度$v$可以分解成水平方向的速度$v_{x}$和竖直方向的速度$v_{y}$,三者可构成如图乙所示的矩形。足球在空中飞行时,水平方向的速度保持不变,竖直方向的速度先减小后增大。若足球在地面以$10\sqrt{2}\ {m/s}$且与水平方向成$45^{ \circ }$角的速度被踢出,当足球的速度与水平方向的夹角为$30^{ \circ }$时,足球距地面的高度约为
[二维码]
(1) 若质量为$0.4\ {kg}$的足球从地面被踢出时,具有的动能是$120\ {J}$,被踢出后足球能达到的最大高度是$5\ {m}$,则足球在最高点时具有的动能是
100 J
。(2) 若足球的射程$x$与抛出速度$v$、抛射角$θ$之间满足公式$x=\dfrac{2v^{2}\sinθ\cosθ}{g}$,当足球以$20\ {m/s}$且与水平方向成$45^{ \circ }$角的速度被踢出时,足球的射程是
40 m
。(3) 足球运动的速度$v$可以分解成水平方向的速度$v_{x}$和竖直方向的速度$v_{y}$,三者可构成如图乙所示的矩形。足球在空中飞行时,水平方向的速度保持不变,竖直方向的速度先减小后增大。若足球在地面以$10\sqrt{2}\ {m/s}$且与水平方向成$45^{ \circ }$角的速度被踢出,当足球的速度与水平方向的夹角为$30^{ \circ }$时,足球距地面的高度约为
3.33
${m}$。(结果保留两位小数)答案
$100\ \mathrm{J}$
$40\ \mathrm{m}$
3.33
$40\ \mathrm{m}$
3.33
解析
【分析】
本题围绕斜抛运动，考查机械能守恒、射程公式应用及速度分解的相关计算。解题思路：(1)不计空气阻力时足球机械能守恒，初始动能转化为重力势能和最高点动能，用初始动能减去重力势能增量得最高点动能；(2)直接代入给定射程公式，结合三角函数值计算射程；(3)先分解初速度得到水平、竖直分量，再由速度夹角求对应竖直分速度，结合竖直方向运动规律求时间，最后用竖直位移公式计算高度。
【解析】
(1) 不计空气阻力，足球机械能守恒。初始动能$E_{k0}=120\ \mathrm{J}$，上升到最大高度时增加的重力势能$E_p=mgh=0.4\ \mathrm{kg} × 10\ \mathrm{N/kg} ×5\ \mathrm{m}=20\ \mathrm{J}$，因此最高点的动能$E_{k1}=E_{k0}-E_p=120\ \mathrm{J}-20\ \mathrm{J}=100\ \mathrm{J}$。
(2) 代入射程公式$x=\dfrac{2v^2\sinθ\cosθ}{g}$，其中$v=20\ \mathrm{m/s}$，$θ=45°$，$\sin45°=\cos45°=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，故$\sinθ\cosθ=\dfrac{1}{2}$，$g=10\ \mathrm{N/kg}$，则$x=\dfrac{2×(20\ \mathrm{m/s})^2×\dfrac{1}{2}}{10\ \mathrm{N/kg}}=40\ \mathrm{m}$。
(3) 初速度$v_0=10\sqrt{2}\ \mathrm{m/s}$，抛射角$45°$，分解得水平速度$v_x=v_0\cos45°=10\ \mathrm{m/s}$，竖直初速度$v_{y0}=v_0\sin45°=10\ \mathrm{m/s}$。当速度与水平方向夹角为$30°$时，$\tan30°=\dfrac{v_y}{v_x}$，得竖直分速度$v_y=10×\dfrac{\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{m/s}$。竖直方向匀变速运动，由$v_y=v_{y0}-gt$得时间$t=\dfrac{10-\dfrac{10\sqrt{3}}{3}}{10}\ \mathrm{s}$。高度$h=v_{y0}t-\dfrac{1}{2}gt^2$，代入计算得$h\approx3.33\ \mathrm{m}$。
【答案】
$100\ \mathrm{J}$；$40\ \mathrm{m}$；$3.33$
【知识点】
机械能守恒、斜抛运动、速度分解
【点评】
本题结合斜抛运动考查力学核心规律，需掌握机械能守恒条件、斜抛运动的分解方法，第(3)问需分步推导，对学生的公式应用和计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
本题围绕斜抛运动，考查机械能守恒、射程公式应用及速度分解的相关计算。解题思路：(1)不计空气阻力时足球机械能守恒，初始动能转化为重力势能和最高点动能，用初始动能减去重力势能增量得最高点动能；(2)直接代入给定射程公式，结合三角函数值计算射程；(3)先分解初速度得到水平、竖直分量，再由速度夹角求对应竖直分速度，结合竖直方向运动规律求时间，最后用竖直位移公式计算高度。
【解析】
(1) 不计空气阻力，足球机械能守恒。初始动能$E_{k0}=120\ \mathrm{J}$，上升到最大高度时增加的重力势能$E_p=mgh=0.4\ \mathrm{kg} × 10\ \mathrm{N/kg} ×5\ \mathrm{m}=20\ \mathrm{J}$，因此最高点的动能$E_{k1}=E_{k0}-E_p=120\ \mathrm{J}-20\ \mathrm{J}=100\ \mathrm{J}$。
(2) 代入射程公式$x=\dfrac{2v^2\sinθ\cosθ}{g}$，其中$v=20\ \mathrm{m/s}$，$θ=45°$，$\sin45°=\cos45°=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，故$\sinθ\cosθ=\dfrac{1}{2}$，$g=10\ \mathrm{N/kg}$，则$x=\dfrac{2×(20\ \mathrm{m/s})^2×\dfrac{1}{2}}{10\ \mathrm{N/kg}}=40\ \mathrm{m}$。
(3) 初速度$v_0=10\sqrt{2}\ \mathrm{m/s}$，抛射角$45°$，分解得水平速度$v_x=v_0\cos45°=10\ \mathrm{m/s}$，竖直初速度$v_{y0}=v_0\sin45°=10\ \mathrm{m/s}$。当速度与水平方向夹角为$30°$时，$\tan30°=\dfrac{v_y}{v_x}$，得竖直分速度$v_y=10×\dfrac{\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{m/s}$。竖直方向匀变速运动，由$v_y=v_{y0}-gt$得时间$t=\dfrac{10-\dfrac{10\sqrt{3}}{3}}{10}\ \mathrm{s}$。高度$h=v_{y0}t-\dfrac{1}{2}gt^2$，代入计算得$h\approx3.33\ \mathrm{m}$。
【答案】
$100\ \mathrm{J}$；$40\ \mathrm{m}$；$3.33$
【知识点】
机械能守恒、斜抛运动、速度分解
【点评】
本题结合斜抛运动考查力学核心规律，需掌握机械能守恒条件、斜抛运动的分解方法，第(3)问需分步推导，对学生的公式应用和计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
7. 已知物体的重力势能表达式为$E_{\mathrm{p}}=mgh$，动能表达式为$E_{\mathrm{k}}=\dfrac{1}{2}mv^{2}$；其中$m$为物体的质量，$h$为物体距离水平地面的高度，$v$为物体的运动速度，$g$取$10\,\mathrm{N/kg}$，取地面为零势能面。如图所示，将一质量为$0.4\,\mathrm{kg}$的物体从距离地面$1.5\,\mathrm{m}$的高度沿水平方向以$2\,\mathrm{m/s}$的速度抛出。不计空气阻力，物体从被抛出到落地的瞬间，整个过程中机械能守恒。求：
（1）物体被抛出时的重力势能$E_{\mathrm{p}}$和动能$E_{\mathrm{k1}}$。
（2）物体从被抛出至落地的过程中，其重力所做的功$W$。
（3）物体落地前瞬间的动能$E_{\mathrm{k2}}$。
（1）物体被抛出时的重力势能$E_{\mathrm{p}}$和动能$E_{\mathrm{k1}}$。
（2）物体从被抛出至落地的过程中，其重力所做的功$W$。
（3）物体落地前瞬间的动能$E_{\mathrm{k2}}$。
答案
解：
(1) 物体被抛出时的重力势能
$ E_{\mathrm{p}} = mgh = 0.4\ \mathrm{kg} × 10\ \mathrm{N/kg} × 1.5\ \mathrm{m} = 6\ \mathrm{J}$
动能
$ E_{\mathrm{k1}} = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} × 0.4\ \mathrm{kg} × (2\ \mathrm{m/s})^2 = 0.8\ \mathrm{J}$
(2) 重力所做的功
$ W = Gh = mgh = 0.4\ \mathrm{kg} × 10\ \mathrm{N/kg} × 1.5\ \mathrm{m} = 6\ \mathrm{J}$
(3) 由机械能守恒可知，物体被抛出时的机械能等于落地前瞬间的机械能。
物体被抛出时的机械能
$ W_{\mathrm{机}} = E_{\mathrm{p}} + E_{\mathrm{k1}} = 6\ \mathrm{J} + 0.8\ \mathrm{J} = 6.8\ \mathrm{J}$
物体落地前瞬间的重力势能为0，动能等于机械能，故
$ E_{\mathrm{k2}} = W_{\mathrm{机}} = 6.8\ \mathrm{J}$
(1) 物体被抛出时的重力势能
$ E_{\mathrm{p}} = mgh = 0.4\ \mathrm{kg} × 10\ \mathrm{N/kg} × 1.5\ \mathrm{m} = 6\ \mathrm{J}$
动能
$ E_{\mathrm{k1}} = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} × 0.4\ \mathrm{kg} × (2\ \mathrm{m/s})^2 = 0.8\ \mathrm{J}$
(2) 重力所做的功
$ W = Gh = mgh = 0.4\ \mathrm{kg} × 10\ \mathrm{N/kg} × 1.5\ \mathrm{m} = 6\ \mathrm{J}$
(3) 由机械能守恒可知，物体被抛出时的机械能等于落地前瞬间的机械能。
物体被抛出时的机械能
$ W_{\mathrm{机}} = E_{\mathrm{p}} + E_{\mathrm{k1}} = 6\ \mathrm{J} + 0.8\ \mathrm{J} = 6.8\ \mathrm{J}$
物体落地前瞬间的重力势能为0，动能等于机械能，故
$ E_{\mathrm{k2}} = W_{\mathrm{机}} = 6.8\ \mathrm{J}$
解析
【分析】
这道题是机械能相关的基础计算题，解题思路如下：
1. 第（1）问，直接用题目给出的重力势能公式$E_{\mathrm{p}}=mgh$和动能公式$E_{\mathrm{k}}=\dfrac{1}{2}mv^2$，代入已知的质量$m$、高度$h$、速度$v$和$g$的值，计算抛出时的重力势能和动能。
2. 第（2）问，重力做功公式为$W=Gh=mgh$，下落高度等于初始高度$h$，代入数值计算即可。
3. 第（3）问，不计空气阻力时机械能守恒，落地时重力势能为0，所以落地瞬间的动能等于抛出时的总机械能（重力势能+动能），将第（1）问结果相加即可。
【解析】
解：
(1) 物体被抛出时的重力势能：
$ E_{\mathrm{p}} = mgh = 0.4\ \mathrm{kg} × 10\ \mathrm{N/kg} × 1.5\ \mathrm{m} = 6\ \mathrm{J}$
动能：
$ E_{\mathrm{k1}} = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} × 0.4\ \mathrm{kg} × (2\ \mathrm{m/s})^2 = 0.8\ \mathrm{J}$
(2) 重力所做的功：
$ W = Gh = mgh = 0.4\ \mathrm{kg} × 10\ \mathrm{N/kg} × 1.5\ \mathrm{m} = 6\ \mathrm{J}$
(3) 不计空气阻力，物体机械能守恒，落地时重力势能为0，故落地前瞬间的动能等于抛出时的总机械能：
$ E_{\mathrm{k2}} = E_{\mathrm{p}} + E_{\mathrm{k1}} = 6\ \mathrm{J} + 0.8\ \mathrm{J} = 6.8\ \mathrm{J}$
【答案】
(1) 重力势能为$6\ \mathrm{J}$，动能为$0.8\ \mathrm{J}$；(2) 重力做功为$6\ \mathrm{J}$；(3) 落地瞬间动能为$6.8\ \mathrm{J}$
【知识点】
重力势能、动能、机械能守恒
【点评】
本题考查重力势能、动能的计算，重力做功及机械能守恒的应用，属于基础题型，牢记相关公式和机械能守恒条件即可解答，难度较低。
【难度系数】
0.8
这道题是机械能相关的基础计算题，解题思路如下：
1. 第（1）问，直接用题目给出的重力势能公式$E_{\mathrm{p}}=mgh$和动能公式$E_{\mathrm{k}}=\dfrac{1}{2}mv^2$，代入已知的质量$m$、高度$h$、速度$v$和$g$的值，计算抛出时的重力势能和动能。
2. 第（2）问，重力做功公式为$W=Gh=mgh$，下落高度等于初始高度$h$，代入数值计算即可。
3. 第（3）问，不计空气阻力时机械能守恒，落地时重力势能为0，所以落地瞬间的动能等于抛出时的总机械能（重力势能+动能），将第（1）问结果相加即可。
【解析】
解：
(1) 物体被抛出时的重力势能：
$ E_{\mathrm{p}} = mgh = 0.4\ \mathrm{kg} × 10\ \mathrm{N/kg} × 1.5\ \mathrm{m} = 6\ \mathrm{J}$
动能：
$ E_{\mathrm{k1}} = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} × 0.4\ \mathrm{kg} × (2\ \mathrm{m/s})^2 = 0.8\ \mathrm{J}$
(2) 重力所做的功：
$ W = Gh = mgh = 0.4\ \mathrm{kg} × 10\ \mathrm{N/kg} × 1.5\ \mathrm{m} = 6\ \mathrm{J}$
(3) 不计空气阻力，物体机械能守恒，落地时重力势能为0，故落地前瞬间的动能等于抛出时的总机械能：
$ E_{\mathrm{k2}} = E_{\mathrm{p}} + E_{\mathrm{k1}} = 6\ \mathrm{J} + 0.8\ \mathrm{J} = 6.8\ \mathrm{J}$
【答案】
(1) 重力势能为$6\ \mathrm{J}$，动能为$0.8\ \mathrm{J}$；(2) 重力做功为$6\ \mathrm{J}$；(3) 落地瞬间动能为$6.8\ \mathrm{J}$
【知识点】
重力势能、动能、机械能守恒
【点评】
本题考查重力势能、动能的计算，重力做功及机械能守恒的应用，属于基础题型，牢记相关公式和机械能守恒条件即可解答，难度较低。
【难度系数】
0.8
