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1. 观察以下等式，寻找等式中的规律：
(1) 等式 $1: 2 × 4 + 1 = 9 = 3^2$；
等式 $2: 6 × 8 + 1 = 49 = 7^2$；
等式 $3: 10 × 12 + 1 = 121 = 11^2$；$\dots$.
①请写出第4个等式：
②请写出第$n$个等式：
(2) 第1个等式：$\dfrac{1}{3} × (1 + \dfrac{2}{1}) = 2 - \dfrac{1}{1}$；
第2个等式：$\dfrac{5}{5} × (1 + \dfrac{2}{3}) = 2 - \dfrac{1}{3}$；
第3个等式：$\dfrac{9}{7} × (1 + \dfrac{2}{5}) = 2 - \dfrac{1}{5}$；
第4个等式：$\dfrac{13}{9} × (1 + \dfrac{2}{7}) = 2 - \dfrac{1}{7}$；
第5个等式：$\dfrac{17}{11} × (1 + \dfrac{2}{9}) = 2 - \dfrac{1}{9}$；$\dots$.
③请写出第6个等式：
④请写出第$n$个等式：
(1) 等式 $1: 2 × 4 + 1 = 9 = 3^2$；
等式 $2: 6 × 8 + 1 = 49 = 7^2$；
等式 $3: 10 × 12 + 1 = 121 = 11^2$；$\dots$.
①请写出第4个等式：
$14×16+1=225=15^2$
；②请写出第$n$个等式：
$(4n-2)·(4n)+1=16n^2-8n+1=(4n-1)^2$
；(2) 第1个等式：$\dfrac{1}{3} × (1 + \dfrac{2}{1}) = 2 - \dfrac{1}{1}$；
第2个等式：$\dfrac{5}{5} × (1 + \dfrac{2}{3}) = 2 - \dfrac{1}{3}$；
第3个等式：$\dfrac{9}{7} × (1 + \dfrac{2}{5}) = 2 - \dfrac{1}{5}$；
第4个等式：$\dfrac{13}{9} × (1 + \dfrac{2}{7}) = 2 - \dfrac{1}{7}$；
第5个等式：$\dfrac{17}{11} × (1 + \dfrac{2}{9}) = 2 - \dfrac{1}{9}$；$\dots$.
③请写出第6个等式：
$\dfrac{21}{13}×(1+\dfrac{2}{11})=2-\dfrac{1}{11}$
；④请写出第$n$个等式：
$\dfrac{4n-3}{2n+1}(1+\dfrac{2}{2n-1})=2-\dfrac{1}{2n-1}$
.答案
1. ①$14×16+1=225=15^2$
②$(4n-2)·(4n)+1=16n^2-8n+1=(4n-1)^2$
③$\dfrac{21}{13}×(1+\dfrac{2}{11})=2-\dfrac{1}{11}$
④$\dfrac{4n-3}{2n+1}(1+\dfrac{2}{2n-1})=2-\dfrac{1}{2n-1}$
本题主要考查规律型:数字的变化类,解答的关键是由所给的等式分析清楚各式之间的关系,找出变化的数,得出规律.
②$(4n-2)·(4n)+1=16n^2-8n+1=(4n-1)^2$
③$\dfrac{21}{13}×(1+\dfrac{2}{11})=2-\dfrac{1}{11}$
④$\dfrac{4n-3}{2n+1}(1+\dfrac{2}{2n-1})=2-\dfrac{1}{2n-1}$
本题主要考查规律型:数字的变化类,解答的关键是由所给的等式分析清楚各式之间的关系,找出变化的数,得出规律.
解析
【分析】
本题分为两组数字规律探究，需分别分析每组等式中各部分的变化规律：
1. 第一组等式：观察左边两个数、结果平方底数的公差，推导第n个等式的通项，再代入n=4得第4个等式；
2. 第二组等式：观察分数的分子、分母，括号内分数分母，右边常数项的公差，推导第n个等式的通项，代入n=6得第6个等式。
【解析】
(1) 第一组等式规律分析
等式1：$2×4+1=9=3^2$，其中$2=4×1-2$，$4=4×1$，$3=4×1-1$；
等式2：$6×8+1=49=7^2$，其中$6=4×2-2$，$8=4×2$，$7=4×2-1$；
等式3：$10×12+1=121=11^2$，其中$10=4×3-2$，$12=4×3$，$11=4×3-1$；
① 第4个等式：当$n=4$时，左边第一个数为$4×4-2=14$，第二个数为$4×4=16$，结果平方底数为$4×4-1=15$，因此第4个等式为：$14×16+1=225=15^2$；
② 第n个等式：左边为$(4n-2)×4n +1$，展开得$16n^2-8n+1$，而$(4n-1)^2=16n^2-8n+1$，因此第n个等式为：$(4n-2)·(4n)+1=16n^2-8n+1=(4n-1)^2$；
(2) 第二组等式规律分析
等式1：$\frac{1}{3}×(1+\frac{2}{1})=2-\frac{1}{1}$，分数分子1，分母3，括号内分数分母1；
等式2：$\frac{5}{5}×(1+\frac{2}{3})=2-\frac{1}{3}$，分数分子5，分母5，括号内分数分母3；
等式3：$\frac{9}{7}×(1+\frac{2}{5})=2-\frac{1}{5}$，分数分子9，分母7，括号内分数分母5；
规律：分数分子公差为4，通项为$4n-3$；分数分母公差为2，通项为$2n+1$；括号内分数分母公差为2，通项为$2n-1$；右边常数项为$2-\frac{1}{2n-1}$；
③ 第6个等式：当$n=6$时，分数分子为$4×6-3=21$，分母为$2×6+1=13$，括号内分数分母为$2×6-1=11$，因此第6个等式为：$\frac{21}{13}×(1+\frac{2}{11})=2-\frac{1}{11}$；
④ 第n个等式：代入通项得：$\frac{4n-3}{2n+1}×(1+\frac{2}{2n-1})=2-\frac{1}{2n-1}$；
【答案】
①$14×16+1=225=15^2$；②$(4n-2)·(4n)+1=16n^2-8n+1=(4n-1)^2$；③$\dfrac{21}{13}×(1+\dfrac{2}{11})=2-\dfrac{1}{11}$；④$\dfrac{4n-3}{2n+1}(1+\dfrac{2}{2n-1})=2-\dfrac{1}{2n-1}$
【知识点】
规律型数字变化类、代数式规律探究
【点评】
本题为初中数学典型的规律探究题，需通过观察等式各部分的数字变化特征，利用公差推导通项公式，关键在于准确识别数字的变化规律，验证规律的合理性，难度适中，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
本题分为两组数字规律探究，需分别分析每组等式中各部分的变化规律：
1. 第一组等式：观察左边两个数、结果平方底数的公差，推导第n个等式的通项，再代入n=4得第4个等式；
2. 第二组等式：观察分数的分子、分母，括号内分数分母，右边常数项的公差，推导第n个等式的通项，代入n=6得第6个等式。
【解析】
(1) 第一组等式规律分析
等式1：$2×4+1=9=3^2$，其中$2=4×1-2$，$4=4×1$，$3=4×1-1$；
等式2：$6×8+1=49=7^2$，其中$6=4×2-2$，$8=4×2$，$7=4×2-1$；
等式3：$10×12+1=121=11^2$，其中$10=4×3-2$，$12=4×3$，$11=4×3-1$；
① 第4个等式：当$n=4$时，左边第一个数为$4×4-2=14$，第二个数为$4×4=16$，结果平方底数为$4×4-1=15$，因此第4个等式为：$14×16+1=225=15^2$；
② 第n个等式：左边为$(4n-2)×4n +1$，展开得$16n^2-8n+1$，而$(4n-1)^2=16n^2-8n+1$，因此第n个等式为：$(4n-2)·(4n)+1=16n^2-8n+1=(4n-1)^2$；
(2) 第二组等式规律分析
等式1：$\frac{1}{3}×(1+\frac{2}{1})=2-\frac{1}{1}$，分数分子1，分母3，括号内分数分母1；
等式2：$\frac{5}{5}×(1+\frac{2}{3})=2-\frac{1}{3}$，分数分子5，分母5，括号内分数分母3；
等式3：$\frac{9}{7}×(1+\frac{2}{5})=2-\frac{1}{5}$，分数分子9，分母7，括号内分数分母5；
规律：分数分子公差为4，通项为$4n-3$；分数分母公差为2，通项为$2n+1$；括号内分数分母公差为2，通项为$2n-1$；右边常数项为$2-\frac{1}{2n-1}$；
③ 第6个等式：当$n=6$时，分数分子为$4×6-3=21$，分母为$2×6+1=13$，括号内分数分母为$2×6-1=11$，因此第6个等式为：$\frac{21}{13}×(1+\frac{2}{11})=2-\frac{1}{11}$；
④ 第n个等式：代入通项得：$\frac{4n-3}{2n+1}×(1+\frac{2}{2n-1})=2-\frac{1}{2n-1}$；
【答案】
①$14×16+1=225=15^2$；②$(4n-2)·(4n)+1=16n^2-8n+1=(4n-1)^2$；③$\dfrac{21}{13}×(1+\dfrac{2}{11})=2-\dfrac{1}{11}$；④$\dfrac{4n-3}{2n+1}(1+\dfrac{2}{2n-1})=2-\dfrac{1}{2n-1}$
【知识点】
规律型数字变化类、代数式规律探究
【点评】
本题为初中数学典型的规律探究题，需通过观察等式各部分的数字变化特征，利用公差推导通项公式，关键在于准确识别数字的变化规律，验证规律的合理性，难度适中，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
2. 如图，下列各正方形中的四个数之间具有相同的规律.
根据此规律，则图$(n)$中的$c=$
根据此规律，则图$(n)$中的$c=$
$d-a-b$
（用含$a,b,d$的式子表示）.答案
$d-a-b$
[解析]第1个图:$-1-(-1-2)=2$；
第2个图:$14-(2+4)=8$；
第3个图:$-16-(-4-8)=-4$；
第4个图:$44-(8+16)=20$；…；
第$n$个图:$d-(a+b)=c$,所以$c=d-a-b$.
[解析]第1个图:$-1-(-1-2)=2$；
第2个图:$14-(2+4)=8$；
第3个图:$-16-(-4-8)=-4$；
第4个图:$44-(8+16)=20$；…；
第$n$个图:$d-(a+b)=c$,所以$c=d-a-b$.
解析
【分析】首先观察每个正方形中四个数的位置关系，分别计算前几个正方形中右下的数$c$与左上$a$、左下$b$、右上$d$的运算关系，发现规律：每个正方形中，右下的数等于右上的数减去左上与左下两数的和，由此推导第$n$个图中$c$的表达式。
【解析】先分析前几个正方形的数的关系：
第1个图：$a=-1$，$b=-2$，$d=-1$，$c=2$，计算得$-1 - [(-1)+(-2)] = 2$，即$c=d-(a+b)$；
第2个图：$a=2$，$b=4$，$d=14$，$c=8$，计算得$14-(2+4)=8$，符合$c=d-(a+b)$；
第3个图：$a=-4$，$b=-8$，$d=-16$，$c=-4$，计算得$-16 - [(-4)+(-8)] = -4$，符合规律；
第4个图：$a=8$，$b=16$，$d=44$，$c=20$，计算得$44-(8+16)=20$，同样符合规律；
因此，第$n$个图中$c=d-(a+b)=d-a-b$。
【答案】$d-a-b$
【知识点】找规律、代数式
【点评】本题是数字规律探究题，需通过观察前几个图形的数字运算关系总结通用规律，考查学生的观察归纳能力。
【难度系数】0.5
【解析】先分析前几个正方形的数的关系：
第1个图：$a=-1$，$b=-2$，$d=-1$，$c=2$，计算得$-1 - [(-1)+(-2)] = 2$，即$c=d-(a+b)$；
第2个图：$a=2$，$b=4$，$d=14$，$c=8$，计算得$14-(2+4)=8$，符合$c=d-(a+b)$；
第3个图：$a=-4$，$b=-8$，$d=-16$，$c=-4$，计算得$-16 - [(-4)+(-8)] = -4$，符合规律；
第4个图：$a=8$，$b=16$，$d=44$，$c=20$，计算得$44-(8+16)=20$，同样符合规律；
因此，第$n$个图中$c=d-(a+b)=d-a-b$。
【答案】$d-a-b$
【知识点】找规律、代数式
【点评】本题是数字规律探究题，需通过观察前几个图形的数字运算关系总结通用规律，考查学生的观察归纳能力。
【难度系数】0.5
3. 用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，以此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为(
A.32
B.34
C.37
D.41
C
).A.32
B.34
C.37
D.41
答案
3.C
解析
【分析】
首先观察各图案中正方形的数量，找出数字变化的规律：第①个图案有5个正方形，第②个有9个，第③个有13个，第④个有17个，这些数构成等差数列，相邻两个数的差为4，由此推导第n个图案的正方形个数的通项公式，再代入n=9计算即可。
【解析】
步骤1：分析前几个图案的正方形数量与序号的关系：
第①个图案（n=1）：5 = 4×1 + 1；
第②个图案（n=2）：9 = 4×2 + 1；
第③个图案（n=3）：13 = 4×3 + 1；
第④个图案（n=4）：17 = 4×4 + 1；
步骤2：归纳通项公式：第n个图案中正方形的个数为 $4n + 1$；
步骤3：计算第⑨个图案（n=9）的正方形个数：$4×9 + 1 = 37$。
【答案】
C
【知识点】
探索规律、等差数列
【点评】
本题是基础的规律探索题，通过观察图形数量的变化特征，归纳出通用公式，代入计算即可得到结果，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
首先观察各图案中正方形的数量，找出数字变化的规律：第①个图案有5个正方形，第②个有9个，第③个有13个，第④个有17个，这些数构成等差数列，相邻两个数的差为4，由此推导第n个图案的正方形个数的通项公式，再代入n=9计算即可。
【解析】
步骤1：分析前几个图案的正方形数量与序号的关系：
第①个图案（n=1）：5 = 4×1 + 1；
第②个图案（n=2）：9 = 4×2 + 1；
第③个图案（n=3）：13 = 4×3 + 1；
第④个图案（n=4）：17 = 4×4 + 1；
步骤2：归纳通项公式：第n个图案中正方形的个数为 $4n + 1$；
步骤3：计算第⑨个图案（n=9）的正方形个数：$4×9 + 1 = 37$。
【答案】
C
【知识点】
探索规律、等差数列
【点评】
本题是基础的规律探索题，通过观察图形数量的变化特征，归纳出通用公式，代入计算即可得到结果，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
4. 如图是用棋子摆成的“上”字图案,按照这种规律继续摆下去,通过观察、对比、总结,找出规律,解答下列问题.
(1)摆成图(1)需要
(2)摆成图($n$)需要
(3)七(1)班有46名同学,把每名同学当成一枚“棋子”,能让这46枚“棋子”按照以上规律恰好站成一个“上”字? 若能,请问能站成图几? 并计算最下面一“横”的学生数;若不能,请说明理由.
精题详解
(1)摆成图(1)需要
6
枚棋子,摆成图(2)需要10
枚棋子,摆成图(3)需要14
枚棋子.(2)摆成图($n$)需要
$4n+2$
枚棋子.(3)七(1)班有46名同学,把每名同学当成一枚“棋子”,能让这46枚“棋子”按照以上规律恰好站成一个“上”字? 若能,请问能站成图几? 并计算最下面一“横”的学生数;若不能,请说明理由.
精题详解
答案
4.(1)6 10 14
[解析]第(1)个图形中有6个棋子；
第(2)个图形中有$6+4=10$(个)棋子；
第(3)个图形中有$6+2×4=14$(个)棋子.
(2)$(4n+2)$
(3)能,能站成题图(11).
由题意知,$4n+2=46$,解得$n=11$.
最下面一“横”的学生数为$2n+1=23$.
[解析]第(1)个图形中有6个棋子；
第(2)个图形中有$6+4=10$(个)棋子；
第(3)个图形中有$6+2×4=14$(个)棋子.
(2)$(4n+2)$
(3)能,能站成题图(11).
由题意知,$4n+2=46$,解得$n=11$.
最下面一“横”的学生数为$2n+1=23$.
解析
【分析】
要解决这道题，首先观察每个“上”字图案的棋子数量，先数出图(1)(2)(3)的棋子数，对比相邻图案的棋子数变化，发现每次增加4枚，由此推出第n个图案的棋子数公式；再利用公式解决第(3)问，通过解方程求出对应的n，最后计算最下面一横的学生数。
【解析】
(1) 直接数图中棋子数量：图(1)有6枚，图(2)有10枚，图(3)有14枚；
(2) 观察规律：第1个图案棋子数为$6=4×1+2$，第2个为$10=4×2+2$，第3个为$14=4×3+2$，因此第n个图案的棋子数为$4n+2$；
(3) 令$4n+2=46$，解得$n=11$，所以能站成图(11)；最下面一横的学生数规律为$2n+1$，代入$n=11$得$2×11+1=23$。
【答案】
(1)6，10，14；(2)$4n+2$；(3)能，站成图(11)，最下面一“横”的学生数为23
【知识点】
图形规律探索，代数式表示，一元一次方程应用
【点评】
本题是图形规律探究的典型题，需要通过观察图形的变化特征，总结数量间的关系，再结合一元一次方程解决实际问题，考查学生的观察能力与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，首先观察每个“上”字图案的棋子数量，先数出图(1)(2)(3)的棋子数，对比相邻图案的棋子数变化，发现每次增加4枚，由此推出第n个图案的棋子数公式；再利用公式解决第(3)问，通过解方程求出对应的n，最后计算最下面一横的学生数。
【解析】
(1) 直接数图中棋子数量：图(1)有6枚，图(2)有10枚，图(3)有14枚；
(2) 观察规律：第1个图案棋子数为$6=4×1+2$，第2个为$10=4×2+2$，第3个为$14=4×3+2$，因此第n个图案的棋子数为$4n+2$；
(3) 令$4n+2=46$，解得$n=11$，所以能站成图(11)；最下面一横的学生数规律为$2n+1$，代入$n=11$得$2×11+1=23$。
【答案】
(1)6，10，14；(2)$4n+2$；(3)能，站成图(11)，最下面一“横”的学生数为23
【知识点】
图形规律探索，代数式表示，一元一次方程应用
【点评】
本题是图形规律探究的典型题，需要通过观察图形的变化特征，总结数量间的关系，再结合一元一次方程解决实际问题，考查学生的观察能力与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.5
