12. 中考新考法 新定义问题 若 $m+n=1$, 则称 $m$ 与 $n$ 是关于 1 的平衡数.
(1)8 与 是关于 1 的平衡数；
(2)$x-4$ 与 (用含 $x$ 的整式表示)是关于 1 的平衡数；
(3)若 $a=3(x^2+x)-6$,$b=x-(3x^2+4x-7)$, 判断 $a$ 与 $b$ 是否是关于 1 的平衡数, 并说明理由.

12.(1)$-7$ [解析]因为 $8+(-7)=1$,
所以 8 与$-7$ 是关于 1 的平衡数.
(2)$5-x$ [解析]因为$(x-4)+(5-x)=1$,
所以 $x-4$ 与 $5-x$ 是关于 1 的平衡数.
(3)是. 理由如下:因为 $a+b=3(x^{2}+x)-6+x-(3x^{2}+4x-7)=3x^{2}+3x-6+x-3x^{2}-4x+7=1$,
所以 $a$ 与 $b$ 是关于 1 的平衡数.

【分析】首先明确“关于1的平衡数”的定义：若两个数的和为1，则这两个数互为关于1的平衡数。解题思路为：(1)求与8是平衡数的数，用1减去8即可；(2)求与$(x-4)$是平衡数的整式，用1减去$(x-4)$并化简；(3)计算$a+b$的值，若结果为1，则$a$与$b$是关于1的平衡数，否则不是。
【解析】
(1) 根据平衡数定义，设所求数为$a$，则$8+a=1$，解得$a=1-8=-7$，故填$-7$；
(2) 设所求整式为$b$，则$(x-4)+b=1$，解得$b=1-(x-4)=1-x+4=5-x$，故填$5-x$；
(3) 计算$a+b$：
$a+b = [3(x^2+x)-6] + [x-(3x^2+4x-7)]$
$= 3x^2+3x-6 + x -3x^2 -4x +7$
合并同类项得：$(3x^2-3x^2)+(3x+x-4x)+(-6+7)=1$
因为$a+b=1$，所以$a$与$b$是关于1的平衡数。
【答案】(1)$-7$；(2)$5-x$；(3)是，理由见解析
【知识点】整式的加减运算；新定义问题
【点评】本题为新定义问题，核心是准确理解定义并转化为整式加减运算，考查基础运算能力，难度适中，适合大部分学生作答。
【难度系数】0.7

13. 有这样一道题: “求 $(2x^{3}-3x^{2}y-2xy^{2})-$$(x^{3}-2xy^{2}+y^{3})+(-x^{3}+3x^{2}y-y^{3})$ 的值,其中 $x=2024,y=-1$”. 小明同学把“$x=2024$”错抄成了“$x=204$”,但他的计算结果竟然正确,请你说明原因,并计算出正确结果.

13. 原式$=2x^{3}-3x^{2}y-2xy^{2}-x^{3}+2xy^{2}-y^{3}-x^{3}+3x^{2}y-y^{3}=-2y^{3}$,
所以结果与 $x$ 的取值无关.
当 $y=-1$ 时,原式$=-2×(-1)^{3}=2.$

【分析】本题是整式的化简求值问题，解题思路为：先对原式去括号，再合并同类项，观察化简后的结果是否含有字母x，若不含x，则说明结果与x的取值无关，这就是小明抄错x但计算结果仍正确的原因，最后将y的值代入化简后的式子计算出正确结果。
【解析】解：先对原式去括号：
$(2x^{3}-3x^{2}y-2xy^{2})-(x^{3}-2xy^{2}+y^{3})+(-x^{3}+3x^{2}y-y^{3})$
$=2x^{3}-3x^{2}y-2xy^{2}-x^{3}+2xy^{2}-y^{3}-x^{3}+3x^{2}y-y^{3}$
再合并同类项：
$=(2x^{3}-x^{3}-x^{3})+(-3x^{2}y+3x^{2}y)+(-2xy^{2}+2xy^{2})+(-y^{3}-y^{3})$
$=-2y^{3}$
由此可知，化简后的结果不含字母x，因此原式的值与x的取值无关，所以小明把$x=2024$错抄成$x=204$，计算结果仍正确。
当$y=-1$时，代入得：
$-2y^{3}=-2×(-1)^{3}=-2×(-1)=2$
【答案】2
【知识点】整式的加减（合并同类项）；代数式求值
【点评】本题重点考查整式的加减运算，核心是去括号和合并同类项，通过化简发现结果与x无关是解题的关键，这类题目能帮助学生理解代数式化简的意义，简化计算过程，避免因数值抄错导致的错误。
【难度系数】0.5

14. 已知$□$，$\bigstar$，$△$分别代表$1∼9$中的三个自然数.
(1)若$□+□+□=15$，$\bigstar+\bigstar+\bigstar=12$，$△+△+△=18$，则$□+\bigstar+△=$.
(2)如果用$\bigstar△$表示一个两位数，将它的个位和十位上的数字交换后得到一个新的两位数$△\bigstar$，若$\bigstar△$与$△\bigstar$的和恰好为某自然数的平方，那么该自然数是，和是.
(3)①如果在一个两位数$\bigstar△$前插入一个数$□$后得到一个三位数$□\bigstar△$，设$\bigstar△$代表的两位数为$x$，$□$代表的数为$y$，那么三位数$□\bigstar△$用含$x,y$的式子可表示为.
②设$a$表示一个两位数，$b$表示一个三位数，把$a$放在$b$的左边组成一个五位数$m$，再把$b$放在$a$的左边，组成一个新五位数$n$. 试探索：$m-n$能否被9整除？并说明你的理由.
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精题详解

14.(1)15 [解析]若$=15$,$\bigstar+\bigstar+\bigstar=12$,
$△+△+△=18$,
则$□=5$,$=4$,$△=6$,则$□+\bigstar+△=15$.
(2)11 121
(3)①$100y+x$ [解析]根据题意,得三位数$□\bigstar△$用含$x,y$的式子可表示为$100y+x$.
②$m-n$ 能被 9 整除. 理由如下:
根据题意,得 $m=1\ 000a+b,n=100b+a$,
所以 $m-n=9(111a-11b)$,
所以 $m-n$ 能被 9 整除.
一题多解 在第(1)问中,还可用整体思想进行解答,将3个已知条件加起来,再除以3即可得解,即$\dfrac{15+12+18}{3}=15.$

【分析】
本题分为三个小问，考查数字的代数表示、代数式运算及整除判断：
1. 第(1)问：利用相同图形的和求出单个图形代表的数，再求和，也可通过整体思想简化计算；
2. 第(2)问：先表示出两位数及其交换后的数，求和后分析和的特征，结合平方数的性质找到对应自然数；
3. 第(3)问：①根据三位数的数位意义，用含y和x的式子表示三位数；②分别表示出两个五位数，计算它们的差并化简，判断是否为9的倍数。
【解析】
(1) 已知$□+□+□=15$，可得$□=15÷3=5$；同理，由$\bigstar+\bigstar+\bigstar=12$得$\bigstar=12÷3=4$；由$△+△+△=18$得$△=18÷3=6$。因此$□+\bigstar+△=5+4+6=15$。
(2) 两位数$\bigstar△$可表示为$10\bigstar+△$，交换个位与十位后的两位数$△\bigstar$为$10△+\bigstar$，两者的和为：$(10\bigstar+△)+(10△+\bigstar)=11(\bigstar+△)$。因为该和是某自然数的平方，11是质数，所以和必为$11^2=121$，对应自然数为11，此时$\bigstar+△=11$，符合要求。
(3) ① 三位数$□\bigstar△$中，$□$在百位，代表数$y$，$\bigstar△$是两位数$x$，因此该三位数为$100y + x$；
② 根据题意，五位数$m$是$a$放在$b$左边，即$m=1000a + b$；五位数$n$是$b$放在$a$左边，即$n=100b + a$。计算$m-n$：
$m-n=(1000a + b)-(100b + a)=999a - 99b=9×(111a - 11b)$，因为结果是9与整数的乘积，所以$m-n$能被9整除。
【答案】
(1)15；(2)11，121；(3)①$100y+x$；②能，理由见解析。
【知识点】
代数式的表示，数的整除，整体思想
【点评】
本题为基础代数题型，考查数位意义、代数式化简及整除判断，需掌握数字的代数表示方法，整体思想的运用可简化计算。
【难度系数】
0.7