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1.(2025·南京月考)关于$x$的方程$(x+a)^2=b$能直接开平方求解的条件是（
A.$a≥ 0,b≥ 0$
B.$a≥ 0,b≤ 0$
C.$a$为任意实数或$b＜0$
D.$a$为任意实数且$b≥ 0$
D
）A.$a≥ 0,b≥ 0$
B.$a≥ 0,b≤ 0$
C.$a$为任意实数或$b＜0$
D.$a$为任意实数且$b≥ 0$
答案
1.D
解析
【分析】
拿到这道题我们可以先做变量替换简化思路：把x+a看作一个整体y，原方程就转化为y²=b，接下来回忆直接开平方法的规则：实数范围内只有非负数才有实数平方根，因此要直接开平方，首先要保证右侧的b是非负的。而参数a只是完全平方式里的常数项，不管a取什么值，都不会影响我们把x+a当作整体进行开平方操作，因此a没有额外取值限制，据此逐一排除错误选项就能得到正确结果。
【解析】
我们将代数式x+a看作一个整体，令y = x + a，原方程可转化为y² = b：
1. 根据实数范围内平方根的定义，负数没有实数平方根，要对等式直接开平方，必须保证右侧的常数b满足b≥0；
2. 参数a的取值不会改变完全平方式的结构，无论a是正数、负数还是0，都可以将x+a作为整体参与开平方运算，因此a可以取任意实数。
综上，方程能直接开平方求解的条件是a为任意实数且b≥0，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
直接开平方法，平方根的性质
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础概念辨析题，易错点是误给参数a附加取值限制，实际上完全平方式中的常数项不影响直接开平方的操作，核心要求是等式右侧的常数非负，帮助学生厘清直接开平方法的适用前提，避免被无关参数误导。
【难度系数】
0.9
拿到这道题我们可以先做变量替换简化思路：把x+a看作一个整体y，原方程就转化为y²=b，接下来回忆直接开平方法的规则：实数范围内只有非负数才有实数平方根，因此要直接开平方，首先要保证右侧的b是非负的。而参数a只是完全平方式里的常数项，不管a取什么值，都不会影响我们把x+a当作整体进行开平方操作，因此a没有额外取值限制，据此逐一排除错误选项就能得到正确结果。
【解析】
我们将代数式x+a看作一个整体，令y = x + a，原方程可转化为y² = b：
1. 根据实数范围内平方根的定义，负数没有实数平方根，要对等式直接开平方，必须保证右侧的常数b满足b≥0；
2. 参数a的取值不会改变完全平方式的结构，无论a是正数、负数还是0，都可以将x+a作为整体参与开平方运算，因此a可以取任意实数。
综上，方程能直接开平方求解的条件是a为任意实数且b≥0，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
直接开平方法，平方根的性质
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础概念辨析题，易错点是误给参数a附加取值限制，实际上完全平方式中的常数项不影响直接开平方的操作，核心要求是等式右侧的常数非负，帮助学生厘清直接开平方法的适用前提，避免被无关参数误导。
【难度系数】
0.9
2. 一元二次方程$(x-2)^2=9$可转化为两个一元一次方程,其中一个一元一次方程是$x-2=3$,则另一个一元一次方程是（
A.$x-2=3$
B.$x-2=-3$
C.$x+2=3$
D.$x+2=-3$
B
）A.$x-2=3$
B.$x-2=-3$
C.$x+2=3$
D.$x+2=-3$
答案
2.B
解析
【分析】
这道题考查直接开平方法解一元二次方程的基本思路，我们首先回忆平方根的性质：如果一个数的平方等于正数k，那么这个数有两个，且互为相反数。本题中方程左边是(x-2)的平方，右边是9，9是正数，开平方后会得到正负两个结果，题目已经给出了其中一个正的结果对应的一元一次方程x-2=3，我们只需要保留左边的底数部分x-2，取右边9的负的平方根-3，就能得到另一个一元一次方程，再对应选项选出答案即可。
【解析】
解：根据平方根的定义，若$a^2 = b$（$b≥0$），则$a=\sqrt{b}$或$a=-\sqrt{b}$。
对于方程$(x-2)^2=9$，9的平方根为$\pm3$，因此对等式两边直接开平方，可得到两个一元一次方程：
$x-2=3$ 和 $x-2=-3$
已知其中一个一元一次方程是$x-2=3$，因此另一个一元一次方程是$x-2=-3$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程，平方根的性质
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题型，核心是提醒同学们使用直接开平方法时，不要遗漏正数的负平方根，同时注意开平方时不要随意改动等式左边的底数代数式，巩固对直接开平方法规则的基础认知。
【难度系数】
0.9
这道题考查直接开平方法解一元二次方程的基本思路，我们首先回忆平方根的性质：如果一个数的平方等于正数k，那么这个数有两个，且互为相反数。本题中方程左边是(x-2)的平方，右边是9，9是正数，开平方后会得到正负两个结果，题目已经给出了其中一个正的结果对应的一元一次方程x-2=3，我们只需要保留左边的底数部分x-2，取右边9的负的平方根-3，就能得到另一个一元一次方程，再对应选项选出答案即可。
【解析】
解：根据平方根的定义，若$a^2 = b$（$b≥0$），则$a=\sqrt{b}$或$a=-\sqrt{b}$。
对于方程$(x-2)^2=9$，9的平方根为$\pm3$，因此对等式两边直接开平方，可得到两个一元一次方程：
$x-2=3$ 和 $x-2=-3$
已知其中一个一元一次方程是$x-2=3$，因此另一个一元一次方程是$x-2=-3$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程，平方根的性质
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题型，核心是提醒同学们使用直接开平方法时，不要遗漏正数的负平方根，同时注意开平方时不要随意改动等式左边的底数代数式，巩固对直接开平方法规则的基础认知。
【难度系数】
0.9
3. 方程 $(x-1)^{2}=0$ 的根是
$x_1=x_2=1$
.答案
3.$x_1=x_2=1$
解析
【分析】
这道题是求解特殊形式的一元二次方程，首先观察方程结构，发现等式左侧是完全平方式，右侧为0，符合直接开平方法的适用特征。我们不需要展开整理方程，直接对等式两边同时开平方，由于0的平方根只有0，因此可以直接得到一次方程x-1=0，求解后注意一元二次方程即使两个根相等，也需要按规范写出两个相等的实数根的形式。
【解析】
解：对原方程$(x-1)^2=0$两边直接开平方，可得：
$x-1=\pm\sqrt{0}=0$
移项得$x=1$，该一元二次方程有两个相等的实数根，因此方程的根为$x_1=x_2=1$。
【答案】
$x_1=x_2=1$
【知识点】
直接开平方法，一元二次方程的根
【点评】
本题属于一元二次方程求解的入门基础题，核心考察对直接开平方法的基础应用，易错点是容易忽略该方程是一元二次方程，仅写x=1而没有按规范标注两个相等的重根，需要牢记一元二次方程根的书写要求。
【难度系数】
0.9
这道题是求解特殊形式的一元二次方程，首先观察方程结构，发现等式左侧是完全平方式，右侧为0，符合直接开平方法的适用特征。我们不需要展开整理方程，直接对等式两边同时开平方，由于0的平方根只有0，因此可以直接得到一次方程x-1=0，求解后注意一元二次方程即使两个根相等，也需要按规范写出两个相等的实数根的形式。
【解析】
解：对原方程$(x-1)^2=0$两边直接开平方，可得：
$x-1=\pm\sqrt{0}=0$
移项得$x=1$，该一元二次方程有两个相等的实数根，因此方程的根为$x_1=x_2=1$。
【答案】
$x_1=x_2=1$
【知识点】
直接开平方法，一元二次方程的根
【点评】
本题属于一元二次方程求解的入门基础题，核心考察对直接开平方法的基础应用，易错点是容易忽略该方程是一元二次方程，仅写x=1而没有按规范标注两个相等的重根，需要牢记一元二次方程根的书写要求。
【难度系数】
0.9
4. 按如图所示的程序计算，若输出的值为36，则输入的$x$的值为
7或$-5$
.答案
4.7或$-5$
解析
【分析】
首先先读懂程序框图的运算顺序：输入x后，第一步对x做减1运算，第二步将减1得到的结果进行平方，最终输出运算结果。已知输出值为36，我们可以先根据程序规则写出输出值关于x的代数式，再令代数式等于36得到一元二次方程，用直接开平方法求解该方程，就能得到输入x的所有取值，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
解：根据程序框图的运算逻辑，输出的结果对应的代数式为$(x-1)^2$。
已知输出值为36，因此可列方程：
$(x-1)^2 = 36$
对等式两边直接开平方，可得：
$x-1 = 6 \quad \mathrm{或} \quad x-1 = -6$
分别求解两个一次方程：
1. 当$x-1=6$时，解得$x=7$；
2. 当$x-1=-6$时，解得$x=-5$。
因此输入的x的值为7或-5。
【答案】
7或$-5$
【知识点】
程序运算，直接开平方法解方程
【点评】
本题以程序框图为载体考查一元二次方程的求解，核心考点是正数的平方根有两个且互为相反数，不少同学解题时容易忽略负的平方根，只得到x=7这一个答案，出现漏解的错误，解题时要注意开平方的结果有正负两种情况。
【难度系数】
0.7
首先先读懂程序框图的运算顺序：输入x后，第一步对x做减1运算，第二步将减1得到的结果进行平方，最终输出运算结果。已知输出值为36，我们可以先根据程序规则写出输出值关于x的代数式，再令代数式等于36得到一元二次方程，用直接开平方法求解该方程，就能得到输入x的所有取值，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
解：根据程序框图的运算逻辑，输出的结果对应的代数式为$(x-1)^2$。
已知输出值为36，因此可列方程：
$(x-1)^2 = 36$
对等式两边直接开平方，可得：
$x-1 = 6 \quad \mathrm{或} \quad x-1 = -6$
分别求解两个一次方程：
1. 当$x-1=6$时，解得$x=7$；
2. 当$x-1=-6$时，解得$x=-5$。
因此输入的x的值为7或-5。
【答案】
7或$-5$
【知识点】
程序运算，直接开平方法解方程
【点评】
本题以程序框图为载体考查一元二次方程的求解，核心考点是正数的平方根有两个且互为相反数，不少同学解题时容易忽略负的平方根，只得到x=7这一个答案，出现漏解的错误，解题时要注意开平方的结果有正负两种情况。
【难度系数】
0.7
5. 用直接开平方法解下列方程：
(1)$2y^{2}=8$;
(2)$x^{2}-0.09=0$;
(3)$(x-1)^{2}=4$;
(4)$x^{2}-6x+9=1$;
(5)$(2x-3)^{2}=25$;
(6)$64(x-1)^{2}=49$.
(1)$2y^{2}=8$;
(2)$x^{2}-0.09=0$;
(3)$(x-1)^{2}=4$;
(4)$x^{2}-6x+9=1$;
(5)$(2x-3)^{2}=25$;
(6)$64(x-1)^{2}=49$.
答案
5.(1)$y_1=2$,$y_2=-2$
(2)$x_1=0.3$,$x_2=-0.3$
(3)$x_1=3$,$x_2=-1$
(4)$x_1=2$,$x_2=4$
(5)$x_1=4$,$x_2=-1$
(6)$x_1=\frac{15}{8}$,$x_2=\frac{1}{8}$
(2)$x_1=0.3$,$x_2=-0.3$
(3)$x_1=3$,$x_2=-1$
(4)$x_1=2$,$x_2=4$
(5)$x_1=4$,$x_2=-1$
(6)$x_1=\frac{15}{8}$,$x_2=\frac{1}{8}$
解析
【分析】
这道题要求用直接开平方法解一元二次方程，核心思路是先将方程整理为「完全平方式 = 非负常数」的标准形式，再根据平方根的定义，对等式两边同时开平方，得到两个互为相反数的一次式，分别求解即可得到方程的两个根。
具体思考步骤：
1. 对于形如$ax^2 = b$（$a≠0$，$b≥0$）的方程，先将二次项系数化为1，得到$x^2 = \frac{b}{a}$，再直接开平方求解；
2. 对于形如$(x+m)^2 = n$（$n≥0$）的方程，直接开平方得到$x+m = ±\sqrt{n}$，再移项求出$x$的两个值；
3. 对于左边是二次三项式的方程，先判断是否符合完全平方公式，将其改写为完全平方式，再用直接开平方法求解，注意开平方时不要遗漏负的平方根，避免只得到一个正根的错误。
【解析】
我们按照直接开平方法的规则逐个求解6个方程：
(1) $2y^2=8$
两边同时除以2，将二次项系数化为1，得 $y^2=4$
直接对两边开平方，得 $y = ±\sqrt{4} = ±2$
因此方程的两个根为 $y_1=2$，$y_2=-2$
(2) $x^2 - 0.09 = 0$
移项，将常数项移到等号右侧，得 $x^2=0.09$
直接开平方，得 $x=±\sqrt{0.09}=±0.3$
因此方程的两个根为 $x_1=0.3$，$x_2=-0.3$
(3) $(x-1)^2=4$
直接对等式两边开平方，得 $x-1 = ±\sqrt{4} = ±2$
分两种情况计算：
① 当$x-1=2$时，解得$x=3$；
② 当$x-1=-2$时，解得$x=-1$
因此方程的两个根为$x_1=3$，$x_2=-1$
(4) $x^2 -6x +9 =1$
左侧的二次三项式符合完全平方公式，即$x^2-6x+9=(x-3)^2$，原方程变形为 $(x-3)^2=1$
两边开平方，得$x-3=±\sqrt{1}=±1$
分两种情况计算：
① 当$x-3=1$时，解得$x=4$；
② 当$x-3=-1$时，解得$x=2$
因此方程的两个根为$x_1=2$，$x_2=4$
(5) $(2x-3)^2=25$
直接两边开平方，得$2x-3=±\sqrt{25}=±5$
分两种情况计算：
① 当$2x-3=5$时，$2x=8$，解得$x=4$；
② 当$2x-3=-5$时，$2x=-2$，解得$x=-1$
因此方程的两个根为$x_1=4$，$x_2=-1$
(6) $64(x-1)^2=49$
两边同时除以64，将完全平方式的系数化为1，得 $(x-1)^2=\frac{49}{64}$
两边开平方，得$x-1=±\sqrt{\frac{49}{64}}=±\frac{7}{8}$
分两种情况计算：
① 当$x-1=\frac{7}{8}$时，$x=1+\frac{7}{8}=\frac{15}{8}$；
② 当$x-1=-\frac{7}{8}$时，$x=1-\frac{7}{8}=\frac{1}{8}$
因此方程的两个根为$x_1=\frac{15}{8}$，$x_2=\frac{1}{8}$
【答案】
(1)$y_1=2$,$y_2=-2$
(2)$x_1=0.3$,$x_2=-0.3$
(3)$x_1=3$,$x_2=-1$
(4)$x_1=2$,$x_2=4$
(5)$x_1=4$,$x_2=-1$
(6)$x_1=\frac{15}{8}$,$x_2=\frac{1}{8}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程，完全平方公式，平方根的性质
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础训练题，覆盖了直接开平方法的所有常见题型，从最基础的纯二次项方程，到需要移项、化系数为1的类型，再到带一次项的完全平方式形式，帮助学生夯实直接开平方法的操作步骤。解题时要特别注意开平方后取正负两个值，不要遗漏负根，同时要熟练识别完全平方式，简化运算过程。
【难度系数】
0.8
这道题要求用直接开平方法解一元二次方程，核心思路是先将方程整理为「完全平方式 = 非负常数」的标准形式，再根据平方根的定义，对等式两边同时开平方，得到两个互为相反数的一次式，分别求解即可得到方程的两个根。
具体思考步骤：
1. 对于形如$ax^2 = b$（$a≠0$，$b≥0$）的方程，先将二次项系数化为1，得到$x^2 = \frac{b}{a}$，再直接开平方求解；
2. 对于形如$(x+m)^2 = n$（$n≥0$）的方程，直接开平方得到$x+m = ±\sqrt{n}$，再移项求出$x$的两个值；
3. 对于左边是二次三项式的方程，先判断是否符合完全平方公式，将其改写为完全平方式，再用直接开平方法求解，注意开平方时不要遗漏负的平方根，避免只得到一个正根的错误。
【解析】
我们按照直接开平方法的规则逐个求解6个方程：
(1) $2y^2=8$
两边同时除以2，将二次项系数化为1，得 $y^2=4$
直接对两边开平方，得 $y = ±\sqrt{4} = ±2$
因此方程的两个根为 $y_1=2$，$y_2=-2$
(2) $x^2 - 0.09 = 0$
移项，将常数项移到等号右侧，得 $x^2=0.09$
直接开平方，得 $x=±\sqrt{0.09}=±0.3$
因此方程的两个根为 $x_1=0.3$，$x_2=-0.3$
(3) $(x-1)^2=4$
直接对等式两边开平方，得 $x-1 = ±\sqrt{4} = ±2$
分两种情况计算：
① 当$x-1=2$时，解得$x=3$；
② 当$x-1=-2$时，解得$x=-1$
因此方程的两个根为$x_1=3$，$x_2=-1$
(4) $x^2 -6x +9 =1$
左侧的二次三项式符合完全平方公式，即$x^2-6x+9=(x-3)^2$，原方程变形为 $(x-3)^2=1$
两边开平方，得$x-3=±\sqrt{1}=±1$
分两种情况计算：
① 当$x-3=1$时，解得$x=4$；
② 当$x-3=-1$时，解得$x=2$
因此方程的两个根为$x_1=2$，$x_2=4$
(5) $(2x-3)^2=25$
直接两边开平方，得$2x-3=±\sqrt{25}=±5$
分两种情况计算：
① 当$2x-3=5$时，$2x=8$，解得$x=4$；
② 当$2x-3=-5$时，$2x=-2$，解得$x=-1$
因此方程的两个根为$x_1=4$，$x_2=-1$
(6) $64(x-1)^2=49$
两边同时除以64，将完全平方式的系数化为1，得 $(x-1)^2=\frac{49}{64}$
两边开平方，得$x-1=±\sqrt{\frac{49}{64}}=±\frac{7}{8}$
分两种情况计算：
① 当$x-1=\frac{7}{8}$时，$x=1+\frac{7}{8}=\frac{15}{8}$；
② 当$x-1=-\frac{7}{8}$时，$x=1-\frac{7}{8}=\frac{1}{8}$
因此方程的两个根为$x_1=\frac{15}{8}$，$x_2=\frac{1}{8}$
【答案】
(1)$y_1=2$,$y_2=-2$
(2)$x_1=0.3$,$x_2=-0.3$
(3)$x_1=3$,$x_2=-1$
(4)$x_1=2$,$x_2=4$
(5)$x_1=4$,$x_2=-1$
(6)$x_1=\frac{15}{8}$,$x_2=\frac{1}{8}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程，完全平方公式，平方根的性质
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础训练题，覆盖了直接开平方法的所有常见题型，从最基础的纯二次项方程，到需要移项、化系数为1的类型，再到带一次项的完全平方式形式，帮助学生夯实直接开平方法的操作步骤。解题时要特别注意开平方后取正负两个值，不要遗漏负根，同时要熟练识别完全平方式，简化运算过程。
【难度系数】
0.8
6. 若关于 $x$ 的方程 $(x-2)^2+m=1$ 没有实数根,则 $m$ 的取值范围是（
A.$m＞2$
B.$m＜2$
C.$m＞1$
D.$m＜1$
C
）A.$m＞2$
B.$m＜2$
C.$m＞1$
D.$m＜1$
答案
6.C
解析
【分析】
我们先对原方程做移项整理，将完全平方式单独放在等号左侧，得到$(x-2)^2$等于含m的代数式。根据实数的平方具有非负性，任意实数的平方都大于等于0，若方程没有实数根，说明等号右侧的代数式取值为负数，不存在实数能满足“平方等于负数”，据此列出关于m的不等式，求解后即可得到m的取值范围，对应选出正确选项。
【解析】
解：1. 对原方程移项变形：
将方程$(x-2)^2 + m = 1$中的m移到等号右侧，可得：
$(x-2)^2 = 1 - m$
2. 结合平方的非负性分析：
对任意实数x，都有$(x-2)^2 ≥ 0$，若$1-m ≥ 0$，方程就存在实数根$x=2\pm\sqrt{1-m}$。
3. 根据“方程无实根”列不等式：
方程没有实数根，说明不存在实数x满足等式，即等号右侧的代数式为负数：
$1 - m ＜ 0$
4. 解不等式：
移项可得$m ＞ 1$。
因此m的取值范围是$m＞1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
平方的非负性；一元二次方程实根判定；一元一次不等式求解
【点评】
本题无需使用常规的根的判别式计算，直接利用完全平方式的非负性即可快速推导，属于基础题型，解题时注意不要把无实根对应的不等号方向搞反，避免得到错误的m取值范围。
【难度系数】
0.8
我们先对原方程做移项整理，将完全平方式单独放在等号左侧，得到$(x-2)^2$等于含m的代数式。根据实数的平方具有非负性，任意实数的平方都大于等于0，若方程没有实数根，说明等号右侧的代数式取值为负数，不存在实数能满足“平方等于负数”，据此列出关于m的不等式，求解后即可得到m的取值范围，对应选出正确选项。
【解析】
解：1. 对原方程移项变形：
将方程$(x-2)^2 + m = 1$中的m移到等号右侧，可得：
$(x-2)^2 = 1 - m$
2. 结合平方的非负性分析：
对任意实数x，都有$(x-2)^2 ≥ 0$，若$1-m ≥ 0$，方程就存在实数根$x=2\pm\sqrt{1-m}$。
3. 根据“方程无实根”列不等式：
方程没有实数根，说明不存在实数x满足等式，即等号右侧的代数式为负数：
$1 - m ＜ 0$
4. 解不等式：
移项可得$m ＞ 1$。
因此m的取值范围是$m＞1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
平方的非负性；一元二次方程实根判定；一元一次不等式求解
【点评】
本题无需使用常规的根的判别式计算，直接利用完全平方式的非负性即可快速推导，属于基础题型，解题时注意不要把无实根对应的不等号方向搞反，避免得到错误的m取值范围。
【难度系数】
0.8
7.(2025·工业园区月考)已知关于$x$的一元二次方程$m(x-h)^{2}-k=0$($m,h,k$均为常数且$m≠0$)的解是$x_{1}=2$,$x_{2}=5$,则关于$x$的一元二次方程$m(x-h+1)^{2}=k$的解是（
A.$x_{1}=-2$,$x_{2}=-5$
B.$x_{1}=-4$,$x_{2}=-1$
C.$x_{1}=1$,$x_{2}=4$
D.$x_{1}=-3$,$x_{2}=-6$
C
）A.$x_{1}=-2$,$x_{2}=-5$
B.$x_{1}=-4$,$x_{2}=-1$
C.$x_{1}=1$,$x_{2}=4$
D.$x_{1}=-3$,$x_{2}=-6$
答案
7.C
解析
【分析】
我们先观察两个一元二次方程的结构，已知解的方程是$m(x-h)^2 -k=0$，待求解的方程是$m(x-h+1)^2=k$，首先可以将待求方程变形为和已知方程完全一致的结构：$m[(x+1)-h]^2 -k=0$。此时我们不需要计算m、h、k的具体数值，只需要把$(x+1)$当做一个整体，这个整体就对应已知方程里的未知数x，而已知方程的解是2和5，因此直接可以得到$x+1=2$或者$x+1=5$，就能快速解出新方程的根，避免繁琐的参数计算。
【解析】
解：1. 整理已知条件：
已知一元二次方程$m(x-h)^2 -k=0$的解为$x_1=2$，$x_2=5$，即当$x=2$或$x=5$时，等式$m(x-h)^2=k$成立。
2. 对目标方程变形：
将待求方程$m(x-h+1)^2=k$改写为：
$m[(x+1)-h]^2 =k$
3. 整体代换求解：
令$t=x+1$，则上述方程转化为$m(t-h)^2=k$，该方程的解就是已知方程给出的解，即$t_1=2$，$t_2=5$。
分别代回$t=x+1$：
当$t=2$时，$x+1=2$，解得$x_1=1$；
当$t=5$时，$x+1=5$，解得$x_2=4$。
因此方程$m(x-h+1)^2=k$的解是$x_1=1$，$x_2=4$。
【答案】
C
【知识点】
换元法解一元二次方程，一元二次方程的解
【点评】
本题核心考察整体代换的解题思路，不需要展开方程求解参数m、h、k，通过观察方程结构的共性，将含x的代数式视作整体直接利用已知条件求解，大幅简化计算过程，同时也可以结合二次函数图像平移的规律理解：将原抛物线向左平移1个单位，对应交点的横坐标也同步减1，得到新的根。
【难度系数】
0.7
我们先观察两个一元二次方程的结构，已知解的方程是$m(x-h)^2 -k=0$，待求解的方程是$m(x-h+1)^2=k$，首先可以将待求方程变形为和已知方程完全一致的结构：$m[(x+1)-h]^2 -k=0$。此时我们不需要计算m、h、k的具体数值，只需要把$(x+1)$当做一个整体，这个整体就对应已知方程里的未知数x，而已知方程的解是2和5，因此直接可以得到$x+1=2$或者$x+1=5$，就能快速解出新方程的根，避免繁琐的参数计算。
【解析】
解：1. 整理已知条件：
已知一元二次方程$m(x-h)^2 -k=0$的解为$x_1=2$，$x_2=5$，即当$x=2$或$x=5$时，等式$m(x-h)^2=k$成立。
2. 对目标方程变形：
将待求方程$m(x-h+1)^2=k$改写为：
$m[(x+1)-h]^2 =k$
3. 整体代换求解：
令$t=x+1$，则上述方程转化为$m(t-h)^2=k$，该方程的解就是已知方程给出的解，即$t_1=2$，$t_2=5$。
分别代回$t=x+1$：
当$t=2$时，$x+1=2$，解得$x_1=1$；
当$t=5$时，$x+1=5$，解得$x_2=4$。
因此方程$m(x-h+1)^2=k$的解是$x_1=1$，$x_2=4$。
【答案】
C
【知识点】
换元法解一元二次方程，一元二次方程的解
【点评】
本题核心考察整体代换的解题思路，不需要展开方程求解参数m、h、k，通过观察方程结构的共性，将含x的代数式视作整体直接利用已知条件求解，大幅简化计算过程，同时也可以结合二次函数图像平移的规律理解：将原抛物线向左平移1个单位，对应交点的横坐标也同步减1，得到新的根。
【难度系数】
0.7
8. 若$(a^{2}+b^{2}-2)^{2}=25$，则$a^{2}+b^{2}=$
7
.答案
8.7
解析
【分析】
这道题的核心思路是用整体换元的思想简化计算：首先观察到已知等式里的$a^2+b^2$是重复出现的整体，我们可以先把它设为未知数，将原方程转化为普通的一元二次方程，用直接开平方法求解得到两个候选解，再结合平方数的非负性，$a^2$和$b^2$都是大于等于0的数，因此它们的和也必然是非负数，把不符合要求的负解舍去，就能得到最终正确结果。
【解析】
解：设 $ x = a^2 + b^2 $，根据平方的非负性可知 $ x ≥ 0 $。
将其代入原方程得：$ (x - 2)^2 = 25 $
对等式两边直接开平方，可得：
$ x - 2 = \pm 5 $
分两种情况计算：
1. 当 $ x - 2 = 5 $ 时，解得 $ x = 7 $，满足 $ x ≥ 0 $；
2. 当 $ x - 2 = -5 $ 时，解得 $ x = -3 $，不满足 $ x ≥ 0 $，直接舍去。
因此 $ a^2 + b^2 = 7 $。
【答案】
7
【知识点】
直接开平方法，非负数性质，整体换元
【点评】
本题属于基础题型，最容易出现的错误是开平方后直接保留两个解，忽略了$a^2+b^2$作为两个平方数的和不可能为负数，需要舍去负解，重点考察学生对非负性质的理解和整体换元思想的运用。
【难度系数】
0.7
这道题的核心思路是用整体换元的思想简化计算：首先观察到已知等式里的$a^2+b^2$是重复出现的整体，我们可以先把它设为未知数，将原方程转化为普通的一元二次方程，用直接开平方法求解得到两个候选解，再结合平方数的非负性，$a^2$和$b^2$都是大于等于0的数，因此它们的和也必然是非负数，把不符合要求的负解舍去，就能得到最终正确结果。
【解析】
解：设 $ x = a^2 + b^2 $，根据平方的非负性可知 $ x ≥ 0 $。
将其代入原方程得：$ (x - 2)^2 = 25 $
对等式两边直接开平方，可得：
$ x - 2 = \pm 5 $
分两种情况计算：
1. 当 $ x - 2 = 5 $ 时，解得 $ x = 7 $，满足 $ x ≥ 0 $；
2. 当 $ x - 2 = -5 $ 时，解得 $ x = -3 $，不满足 $ x ≥ 0 $，直接舍去。
因此 $ a^2 + b^2 = 7 $。
【答案】
7
【知识点】
直接开平方法，非负数性质，整体换元
【点评】
本题属于基础题型，最容易出现的错误是开平方后直接保留两个解，忽略了$a^2+b^2$作为两个平方数的和不可能为负数，需要舍去负解，重点考察学生对非负性质的理解和整体换元思想的运用。
【难度系数】
0.7
9. 新定义 给出一种运算: 对于函数 $y=x^{n}$, 规定 $y'=nx^{n-1}$. 例如, 若函数 $y=x^{5}$, 则有 $y'=5x^{4}$. 已知函数 $y=x^{3},y'=12$, 则 $x$ 的值是
$\pm2$
.答案
9.$\pm2$
解析
【分析】
这是一道新定义运算类题目，解题思路清晰：第一步先准确理解题目给出的运算规则：对于形如$y=x^n$的函数，规定其对应的新运算结果$y'=nx^{n-1}$；第二步将已知函数$y=x^3$和规则对应，确定$n$的取值为3，代入规则写出该函数对应的$y'$的表达式；第三步结合题目给出的$y'=12$的条件，列出关于$x$的方程，解这个方程即可得到$x$的取值，注意解平方等于正数的方程时不要遗漏负根。
【解析】
解：
1. 根据题中规定的运算规则，对于函数$y=x^3$，对应参数$n=3$，代入运算公式可得：
$y' = 3· x^{3-1} = 3x^2$
2. 已知$y'=12$，代入上述表达式得到方程：
$3x^2 = 12$
3. 求解该方程：
方程两边同时除以3，得$x^2=4$，
对等式两边开平方，可得$x=\pm2$。
【答案】
$\pm2$
【知识点】
新定义运算，直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础创新题型，核心考查学生对陌生新规则的理解迁移能力，只要准确套用给定的运算规则，就能快速将问题转化为已学的一元二次方程求解问题，解题时要注意正数的平方根有两个，不要遗漏负根，避免出现只写$x=2$的常见错误。
【难度系数】
0.8
这是一道新定义运算类题目，解题思路清晰：第一步先准确理解题目给出的运算规则：对于形如$y=x^n$的函数，规定其对应的新运算结果$y'=nx^{n-1}$；第二步将已知函数$y=x^3$和规则对应，确定$n$的取值为3，代入规则写出该函数对应的$y'$的表达式；第三步结合题目给出的$y'=12$的条件，列出关于$x$的方程，解这个方程即可得到$x$的取值，注意解平方等于正数的方程时不要遗漏负根。
【解析】
解：
1. 根据题中规定的运算规则，对于函数$y=x^3$，对应参数$n=3$，代入运算公式可得：
$y' = 3· x^{3-1} = 3x^2$
2. 已知$y'=12$，代入上述表达式得到方程：
$3x^2 = 12$
3. 求解该方程：
方程两边同时除以3，得$x^2=4$，
对等式两边开平方，可得$x=\pm2$。
【答案】
$\pm2$
【知识点】
新定义运算，直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础创新题型，核心考查学生对陌生新规则的理解迁移能力，只要准确套用给定的运算规则，就能快速将问题转化为已学的一元二次方程求解问题，解题时要注意正数的平方根有两个，不要遗漏负根，避免出现只写$x=2$的常见错误。
【难度系数】
0.8
