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1.(2025·淮安区模拟)甲、乙两班的学生人数相等,参加了同一次数学测试,两班的平均分都是89 分,方差分别为$s_{甲}^{2}=2.56,s_{乙}^{2}=1.92$,那么成绩比较整齐的班级是 （
A.甲班
B.乙班
C.两班一样整齐
D.无法确定
B
）A.甲班
B.乙班
C.两班一样整齐
D.无法确定
答案
1.B
解析
【分析】
拿到这道题，首先明确核心需求是判断哪个班级的成绩更整齐。已知甲乙两班平均分相同，说明两班的平均水平没有差异，此时不需要对比平均分数，要判断成绩的整齐/稳定程度，需要用到统计量方差的相关性质：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，数据的离散程度越低，成绩就越整齐。接下来只需要对比题目给出的两个方差的数值大小，就能直接得到结论。
【解析】
根据方差的定义与性质：方差越小，数据的波动幅度越小，对应成绩就越整齐。
已知$s_{甲}^{2}=2.56$，$s_{乙}^{2}=1.92$，可得$s_{甲}^{2} ＞ s_{乙}^{2}$，说明乙班的成绩波动更小，成绩更整齐。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
方差的意义，数据稳定性判断
【点评】
本题属于统计部分的基础题，核心考查对方差概念的理解，只要牢记“方差越小，数据越稳定整齐”的规律即可轻松解题，易错点是误将方差大的班级判定为成绩更整齐，属于常规送分类题型。
【难度系数】
0.9
拿到这道题，首先明确核心需求是判断哪个班级的成绩更整齐。已知甲乙两班平均分相同，说明两班的平均水平没有差异，此时不需要对比平均分数，要判断成绩的整齐/稳定程度，需要用到统计量方差的相关性质：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，数据的离散程度越低，成绩就越整齐。接下来只需要对比题目给出的两个方差的数值大小，就能直接得到结论。
【解析】
根据方差的定义与性质：方差越小，数据的波动幅度越小，对应成绩就越整齐。
已知$s_{甲}^{2}=2.56$，$s_{乙}^{2}=1.92$，可得$s_{甲}^{2} ＞ s_{乙}^{2}$，说明乙班的成绩波动更小，成绩更整齐。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
方差的意义，数据稳定性判断
【点评】
本题属于统计部分的基础题，核心考查对方差概念的理解，只要牢记“方差越小，数据越稳定整齐”的规律即可轻松解题，易错点是误将方差大的班级判定为成绩更整齐，属于常规送分类题型。
【难度系数】
0.9
2. (2025·海州区期中)小明根据方差公式 $s^{2}=\dfrac{1}{n}[(x_{1}-3)^{2}+(2-3)^{2}+(3-3)^{2}+(3-3)^{2}+(6-3)^{2}],$ 分析和计算得出了四个结论,其中不正确的是（
A.$x_{1}=1$
B.中位数是 3
C.$n=5$
D.$s^{2}=2.4$
D
）A.$x_{1}=1$
B.中位数是 3
C.$n=5$
D.$s^{2}=2.4$
答案
2.D
解析
【分析】
我们可以从给定的方差表达式出发，结合方差的定义提取隐含信息：方差公式$s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2$中，分母$n$是数据的总个数，被减的常数$\bar{x}$是这组数据的平均数。第一步先数平方项的数量得到n，第二步利用平均数的计算公式求出未知的$x_1$，第三步把所有数据排序得到中位数，第四步代入计算出准确的方差，逐一验证四个选项，就能找出错误的结论。
【解析】
我们结合方差定义逐一分析选项：
1. 确定n的值：观察方差公式的括号内，一共有5个平方项，因此数据总个数$n=5$，选项C正确；
2. 确定平均数：方差公式中所有项减去的常数是3，说明这组数据的平均数$\bar{x}=3$，因此5个数据的总和为$5×3=15$，已知其余4个数据为2、3、3、6，因此未知数据$x_1=15-(2+3+3+6)=1$，选项A正确；
3. 求中位数：将全部数据从小到大排序为：1、2、3、3、6，共5个数据，中位数是第3个数据，即3，选项B正确；
4. 计算方差：代入数值计算得$s^2=\frac{1}{5}×[(1-3)^2+(2-3)^2+(3-3)^2+(3-3)^2+(6-3)^2]=\frac{1}{5}×(4+1+0+0+9)=\frac{14}{5}=2.8≠2.4$，因此选项D错误。
题目要求选出不正确的结论，最终答案为D。
【答案】
D
【知识点】
方差公式，中位数计算，平均数计算
【点评】
本题反向考查方差公式的内涵，没有直接给出全部原始数据，而是通过方差表达式的结构特征推导数据的相关参数，核心是要理解方差公式中各部分的实际意义，避免硬套公式的误区，易错点是计算平方和时误将4+1+9算为12，得到错误的2.4的结果。
【难度系数】
0.6
我们可以从给定的方差表达式出发，结合方差的定义提取隐含信息：方差公式$s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2$中，分母$n$是数据的总个数，被减的常数$\bar{x}$是这组数据的平均数。第一步先数平方项的数量得到n，第二步利用平均数的计算公式求出未知的$x_1$，第三步把所有数据排序得到中位数，第四步代入计算出准确的方差，逐一验证四个选项，就能找出错误的结论。
【解析】
我们结合方差定义逐一分析选项：
1. 确定n的值：观察方差公式的括号内，一共有5个平方项，因此数据总个数$n=5$，选项C正确；
2. 确定平均数：方差公式中所有项减去的常数是3，说明这组数据的平均数$\bar{x}=3$，因此5个数据的总和为$5×3=15$，已知其余4个数据为2、3、3、6，因此未知数据$x_1=15-(2+3+3+6)=1$，选项A正确；
3. 求中位数：将全部数据从小到大排序为：1、2、3、3、6，共5个数据，中位数是第3个数据，即3，选项B正确；
4. 计算方差：代入数值计算得$s^2=\frac{1}{5}×[(1-3)^2+(2-3)^2+(3-3)^2+(3-3)^2+(6-3)^2]=\frac{1}{5}×(4+1+0+0+9)=\frac{14}{5}=2.8≠2.4$，因此选项D错误。
题目要求选出不正确的结论，最终答案为D。
【答案】
D
【知识点】
方差公式，中位数计算，平均数计算
【点评】
本题反向考查方差公式的内涵，没有直接给出全部原始数据，而是通过方差表达式的结构特征推导数据的相关参数，核心是要理解方差公式中各部分的实际意义，避免硬套公式的误区，易错点是计算平方和时误将4+1+9算为12，得到错误的2.4的结果。
【难度系数】
0.6
3. 3月22日是世界水日，为了增强同学们的节水意识，调查了某班10位同学每月家庭用水量，获得如下数据(单位:吨):11,17,12,19,16,7,15,12,10,9,则这组数据的极差是
12
吨.答案
3.12
解析
【分析】
要计算这组数据的极差，首先需要明确极差的定义：一组数据的极差等于该组数据中的最大值减去最小值。解题时第一步先遍历所有给定数据，找出其中的最大值，第二步再找出数据中的最小值，最后将二者作差即可得到极差的结果。
【解析】
解：① 从给定数据11,17,12,19,16,7,15,12,10,9中，筛选出最大值为19；
② 从该组数据中筛选出最小值为7；
③ 代入极差计算公式：极差=最大值-最小值，计算得极差=19-7=12（吨）。
【答案】
12
【知识点】
极差的计算
【点评】
本题属于统计模块的基础题型，核心考查极差的基本概念，只要牢记极差的计算规则，准确找出数据的最大值和最小值即可得到正确结果，不易出现错误。
【难度系数】
0.9
要计算这组数据的极差，首先需要明确极差的定义：一组数据的极差等于该组数据中的最大值减去最小值。解题时第一步先遍历所有给定数据，找出其中的最大值，第二步再找出数据中的最小值，最后将二者作差即可得到极差的结果。
【解析】
解：① 从给定数据11,17,12,19,16,7,15,12,10,9中，筛选出最大值为19；
② 从该组数据中筛选出最小值为7；
③ 代入极差计算公式：极差=最大值-最小值，计算得极差=19-7=12（吨）。
【答案】
12
【知识点】
极差的计算
【点评】
本题属于统计模块的基础题型，核心考查极差的基本概念，只要牢记极差的计算规则，准确找出数据的最大值和最小值即可得到正确结果，不易出现错误。
【难度系数】
0.9
4.(2025·常州)甲、乙两人在相同条件下10次射击的成绩如下：
对以上数据进行分析，绘制成如下表：
(1)填空: $\overline{x}_甲=$
(2)根据以上数据,评价甲、乙两人射击成绩的稳定性,并说明理由.
对以上数据进行分析，绘制成如下表：
(1)填空: $\overline{x}_甲=$
7
,$m=$6
,$n=$7
;(2)根据以上数据,评价甲、乙两人射击成绩的稳定性,并说明理由.
答案
4.(1)7 6 7
(2)解:甲的射击成绩比乙稳定,理由:样本中甲的射击成绩的方差较小,成绩更稳定.
(2)解:甲的射击成绩比乙稳定,理由:样本中甲的射击成绩的方差较小,成绩更稳定.
解析
【分析】
拿到这道统计题，我们可以分两小问梳理思路：
1. 第(1)问求三个统计量：首先回忆算术平均数的计算方法，将甲的10次射击成绩全部求和后除以射击总次数10，就能得到甲的平均成绩$\overline{x}_甲$；再对乙的10次射击成绩进行统计，找到出现次数最多的数得到众数m，最后用同样的平均数计算规则，把乙的10次成绩求和后除以10，算出乙的平均成绩n。
2. 第(2)问评价成绩稳定性，我们知道方差是专门用来衡量数据波动程度的统计量，方差越小，数据的波动幅度越小，对应的成绩就越稳定，因此只需要对比甲乙两人射击成绩的方差大小，就可以得出稳定性的结论。
【解析】
(1) 计算甲的算术平均数：甲10次射击成绩总和为70，因此$\overline{x}_甲 = \frac{70}{10}=7$；
统计乙的射击成绩，数字6出现的次数最多，共4次，因此众数$m=6$；
乙的10次射击成绩总和为70，因此乙的平均成绩$n=\frac{70}{10}=7$。
(2) 甲的射击成绩比乙更稳定，理由：方差是反映数据波动大小的统计量，样本中甲的射击成绩的方差更小，说明甲的成绩波动幅度远小于乙，因此甲的射击成绩更稳定。
【答案】
(1)7 6 7；(2)甲的射击成绩比乙稳定，理由：样本中甲的射击成绩的方差较小，成绩更稳定。
【知识点】
算术平均数，众数，方差的意义
【点评】
本题是统计模块的基础中考题型，核心考察常见统计特征量的基础计算和实际应用意义，整体难度低，只要学生牢记平均数、众数的计算规则，明确方差判断数据稳定性的核心作用，避免计算求和时漏数数据，就可以顺利完成解答。
【难度系数】
0.8
拿到这道统计题，我们可以分两小问梳理思路：
1. 第(1)问求三个统计量：首先回忆算术平均数的计算方法，将甲的10次射击成绩全部求和后除以射击总次数10，就能得到甲的平均成绩$\overline{x}_甲$；再对乙的10次射击成绩进行统计，找到出现次数最多的数得到众数m，最后用同样的平均数计算规则，把乙的10次成绩求和后除以10，算出乙的平均成绩n。
2. 第(2)问评价成绩稳定性，我们知道方差是专门用来衡量数据波动程度的统计量，方差越小，数据的波动幅度越小，对应的成绩就越稳定，因此只需要对比甲乙两人射击成绩的方差大小，就可以得出稳定性的结论。
【解析】
(1) 计算甲的算术平均数：甲10次射击成绩总和为70，因此$\overline{x}_甲 = \frac{70}{10}=7$；
统计乙的射击成绩，数字6出现的次数最多，共4次，因此众数$m=6$；
乙的10次射击成绩总和为70，因此乙的平均成绩$n=\frac{70}{10}=7$。
(2) 甲的射击成绩比乙更稳定，理由：方差是反映数据波动大小的统计量，样本中甲的射击成绩的方差更小，说明甲的成绩波动幅度远小于乙，因此甲的射击成绩更稳定。
【答案】
(1)7 6 7；(2)甲的射击成绩比乙稳定，理由：样本中甲的射击成绩的方差较小，成绩更稳定。
【知识点】
算术平均数，众数，方差的意义
【点评】
本题是统计模块的基础中考题型，核心考察常见统计特征量的基础计算和实际应用意义，整体难度低，只要学生牢记平均数、众数的计算规则，明确方差判断数据稳定性的核心作用，避免计算求和时漏数数据，就可以顺利完成解答。
【难度系数】
0.8
