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8. 如图，已知$□ OABC$的顶点A、C分别在直线$x=1$和$x=4$上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为
5
。答案
8. 5
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以先从平行四边形的坐标性质入手：首先平行四边形OABC中，O为原点，点B的横坐标等于A、C两点横坐标之和。已知A在直线x=1上，横坐标固定为1，C在直线x=4上，横坐标固定为4，因此点B的横坐标恒为1+4=5，说明点B始终在直线x=5上运动。要求OB的最小值，根据垂线段最短的性质，只需要求原点到直线x=5的最短距离即可。
【解析】
1. 设点A坐标为$(1,a)$，点C坐标为$(4,b)$，O为坐标原点$(0,0)$。
2. 因为四边形$OABC$是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等的性质，点B的坐标为A、C坐标之和，即$B(1+4, a+b)=(5, a+b)$。
3. 由此可得点B始终在直线$x=5$上运动。
4. 根据“点到直线的连线中，垂线段最短”，原点O到直线$x=5$的垂线段长度就是OB的最小值，该长度为5（直线x=5到y轴的距离为5）。
【答案】
5
【知识点】
平行四边形的性质，坐标与图形性质，垂线段最短
【点评】
本题将平行四边形的性质和最短路径问题结合，解题核心是推导出点B的运动轨迹为定直线，再利用垂线段最短的性质快速求出最小值，避免了复杂的代数计算，对图形分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们可以先从平行四边形的坐标性质入手：首先平行四边形OABC中，O为原点，点B的横坐标等于A、C两点横坐标之和。已知A在直线x=1上，横坐标固定为1，C在直线x=4上，横坐标固定为4，因此点B的横坐标恒为1+4=5，说明点B始终在直线x=5上运动。要求OB的最小值，根据垂线段最短的性质，只需要求原点到直线x=5的最短距离即可。
【解析】
1. 设点A坐标为$(1,a)$，点C坐标为$(4,b)$，O为坐标原点$(0,0)$。
2. 因为四边形$OABC$是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等的性质，点B的坐标为A、C坐标之和，即$B(1+4, a+b)=(5, a+b)$。
3. 由此可得点B始终在直线$x=5$上运动。
4. 根据“点到直线的连线中，垂线段最短”，原点O到直线$x=5$的垂线段长度就是OB的最小值，该长度为5（直线x=5到y轴的距离为5）。
【答案】
5
【知识点】
平行四边形的性质，坐标与图形性质，垂线段最短
【点评】
本题将平行四边形的性质和最短路径问题结合，解题核心是推导出点B的运动轨迹为定直线，再利用垂线段最短的性质快速求出最小值，避免了复杂的代数计算，对图形分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
9. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=6.点D在AC边上,连结BD,将△ABD沿直线BD翻折得△A'BD,连结A'C.当四边形A'DBC为平行四边形时,该四边形的周长是
6+6√2
.答案
9. $6+6\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题时先结合翻折和平行四边形的性质推导边长：首先翻折前后对应边相等，可得AD=A'D；再利用平行四边形对边相等的性质，得到A'D=BC，结合AC的长度可算出CD的长；最后在Rt△BCD中用勾股定理求出平行四边形另一组邻边的长度，代入周长公式计算即可。
【解析】
∵四边形A'DBC是平行四边形
∴A'D=BC=3，且平行四边形对边相等，周长为2×(邻边长度和)
∵将△ABD沿BD翻折得△A'BD
∴AD=A'D=3
∵AC=6
∴CD=AC-AD=6-3=3
∵∠ACB=90°，在Rt△BCD中，BC=3，CD=3
由勾股定理得：$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$
∴平行四边形A'DBC的周长=$2×(BC+BD)=2×(3+3\sqrt{2})=6+6\sqrt{2}$
【答案】
$6+6\sqrt{2}$
【知识点】
翻折的性质；平行四边形的性质；勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，需要将图形变换性质、特殊四边形性质与直角三角形计算结合运用，解题的核心是先通过性质推导出各边的长度，再进行周长计算。
【难度系数】
0.7
解题时先结合翻折和平行四边形的性质推导边长：首先翻折前后对应边相等，可得AD=A'D；再利用平行四边形对边相等的性质，得到A'D=BC，结合AC的长度可算出CD的长；最后在Rt△BCD中用勾股定理求出平行四边形另一组邻边的长度，代入周长公式计算即可。
【解析】
∵四边形A'DBC是平行四边形
∴A'D=BC=3，且平行四边形对边相等，周长为2×(邻边长度和)
∵将△ABD沿BD翻折得△A'BD
∴AD=A'D=3
∵AC=6
∴CD=AC-AD=6-3=3
∵∠ACB=90°，在Rt△BCD中，BC=3，CD=3
由勾股定理得：$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$
∴平行四边形A'DBC的周长=$2×(BC+BD)=2×(3+3\sqrt{2})=6+6\sqrt{2}$
【答案】
$6+6\sqrt{2}$
【知识点】
翻折的性质；平行四边形的性质；勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，需要将图形变换性质、特殊四边形性质与直角三角形计算结合运用，解题的核心是先通过性质推导出各边的长度，再进行周长计算。
【难度系数】
0.7
平行四边形是中心对称图形,绕着一个点旋转$180°$后,所得到的图形能够和原来的图形重合.如果不是旋转$180°$,而是旋转任意角度,这种变换方式叫做旋转或旋转变换.请根据表格中的要求完成填空:
【尝试解决】
如图,以点$O$为旋转中心,将$△ ABC$按逆时针方向旋转$60°$,作出旋转后所得的图形.
【尝试解决】
如图,以点$O$为旋转中心,将$△ ABC$按逆时针方向旋转$60°$,作出旋转后所得的图形.
答案
主要特征:②顺时针或逆时针 举例:圆、风车叶片、时钟的指针等 图略.
解析
【分析】
首先解决概念填空部分：旋转变换有三个核心要素，分别是旋转中心、旋转方向、旋转角度，因此空缺的特征项为旋转方向，即顺时针或逆时针；举例时只要选取旋转一定角度后能与自身重合的图形或生活中常见的旋转实例即可。再解决旋转作图部分：旋转作图的核心是作关键点的对应点，首先确定△ABC的三个顶点A、B、C为关键点，再按照旋转要求（绕点O逆时针转60°）分别作出三个顶点的对应点，最后顺次连接对应点就能得到旋转后的图形。
【解析】
1. 概念填空：旋转变换的三要素包含旋转中心、旋转方向（顺时针或逆时针）、旋转角，因此主要特征②填顺时针或逆时针；符合要求的举例如圆（绕圆心旋转任意角度都与自身重合）、风车叶片、时钟的指针等。
2. 旋转作图步骤：
① 连接OA、OB、OC；
② 分别以OA、OB、OC为一边，沿逆时针方向作∠AOA'=∠BOB'=∠COC'=60°；
③ 在射线OA'、OB'、OC'上分别截取OA'=OA，OB'=OB，OC'=OC，得到点A、B、C的对应点A'、B'、C'；
④ 顺次连接A'B'、B'C'、C'A'，所得△A'B'C'就是△ABC旋转后得到的图形。
【答案】
主要特征:②顺时针或逆时针 举例:圆、风车叶片、时钟的指针等 图略。
【知识点】
旋转变换三要素，旋转作图，中心对称图形
【点评】
本题考查旋转变换的基础概念和基本作图能力，侧重对旋转核心要素的掌握，是后续学习旋转性质、旋转相关几何证明的基础。
【难度系数】
0.8
首先解决概念填空部分：旋转变换有三个核心要素，分别是旋转中心、旋转方向、旋转角度，因此空缺的特征项为旋转方向，即顺时针或逆时针；举例时只要选取旋转一定角度后能与自身重合的图形或生活中常见的旋转实例即可。再解决旋转作图部分：旋转作图的核心是作关键点的对应点，首先确定△ABC的三个顶点A、B、C为关键点，再按照旋转要求（绕点O逆时针转60°）分别作出三个顶点的对应点，最后顺次连接对应点就能得到旋转后的图形。
【解析】
1. 概念填空：旋转变换的三要素包含旋转中心、旋转方向（顺时针或逆时针）、旋转角，因此主要特征②填顺时针或逆时针；符合要求的举例如圆（绕圆心旋转任意角度都与自身重合）、风车叶片、时钟的指针等。
2. 旋转作图步骤：
① 连接OA、OB、OC；
② 分别以OA、OB、OC为一边，沿逆时针方向作∠AOA'=∠BOB'=∠COC'=60°；
③ 在射线OA'、OB'、OC'上分别截取OA'=OA，OB'=OB，OC'=OC，得到点A、B、C的对应点A'、B'、C'；
④ 顺次连接A'B'、B'C'、C'A'，所得△A'B'C'就是△ABC旋转后得到的图形。
【答案】
主要特征:②顺时针或逆时针 举例:圆、风车叶片、时钟的指针等 图略。
【知识点】
旋转变换三要素，旋转作图，中心对称图形
【点评】
本题考查旋转变换的基础概念和基本作图能力，侧重对旋转核心要素的掌握，是后续学习旋转性质、旋转相关几何证明的基础。
【难度系数】
0.8
