登录
18. 不等式组$\begin{cases}x-2≥1, \\ x+1＜5\end{cases}$的整数解为 ______ .
答案
18.3
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，再找出两个解集的公共部分得到不等式组的解集，最后在解集范围内找出符合要求的整数解即可。
【解析】
1. 解第一个不等式$x-2≥1$：
移项可得$x≥1+2$，计算得$x≥3$。
2. 解第二个不等式$x+1＜5$：
移项可得$x＜5-1$，计算得$x＜4$。
3. 确定不等式组的解集：两个不等式解集的公共部分为$3≤ x＜4$。
4. 提取整数解：在$3≤ x＜4$的范围内，仅存在整数3。
【答案】
3
【知识点】
一元一次不等式求解、不等式组解集确定、不等式组整数解求解
【点评】
本题属于基础题型，重点考查不等式组的常规解法，解题时要注意移项的运算规则，确定解集时需准确识别两个解集的公共范围，查找整数解时要留意边界值是否符合解集的限制条件。
【难度系数】
0.85
要解决这个问题，首先需要分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，再找出两个解集的公共部分得到不等式组的解集，最后在解集范围内找出符合要求的整数解即可。
【解析】
1. 解第一个不等式$x-2≥1$：
移项可得$x≥1+2$，计算得$x≥3$。
2. 解第二个不等式$x+1＜5$：
移项可得$x＜5-1$，计算得$x＜4$。
3. 确定不等式组的解集：两个不等式解集的公共部分为$3≤ x＜4$。
4. 提取整数解：在$3≤ x＜4$的范围内，仅存在整数3。
【答案】
3
【知识点】
一元一次不等式求解、不等式组解集确定、不等式组整数解求解
【点评】
本题属于基础题型，重点考查不等式组的常规解法，解题时要注意移项的运算规则，确定解集时需准确识别两个解集的公共范围，查找整数解时要留意边界值是否符合解集的限制条件。
【难度系数】
0.85
19.小明同学统计了某校七年级部分同学每天阅读的时间，并绘制了统计图，如图所示，下面四个推断中正确的是（填序号）.
①小明此次一共调查了100名同学；②每天阅读时间在15～30 min的人数最多；③每天阅读时间不足15 min的人数多于45～60 min的人数；④每天阅读时间超过30 min的人数是调查总人数的20%.
20. 已知方程组$\begin{cases}2x+5y=3-4k, \\x-2y=4\end{cases}$的解满足$x+y=2$，则k的值是 ______ .
①小明此次一共调查了100名同学；②每天阅读时间在15～30 min的人数最多；③每天阅读时间不足15 min的人数多于45～60 min的人数；④每天阅读时间超过30 min的人数是调查总人数的20%.
20. 已知方程组$\begin{cases}2x+5y=3-4k, \\x-2y=4\end{cases}$的解满足$x+y=2$，则k的值是 ______ .
答案
19.①② 20.$\frac{1}{4}$
解析
【分析】
19题是频数分布直方图的应用类题目，解题时首先要从图中读取每个时间段对应的人数：0~15min有10人，15~30min有60人，30~45min有20人，45~60min有10人，再逐一验证四个推断是否正确。20题是二元一次方程组解的应用，解题思路是先利用已知的$x-2y=4$和$x+y=2$联立求解出$x$、$y$的值，再代入含$k$的方程即可求出$k$的值，所用方法符合当前学段知识要求。
【解析】
★19题解析：
第一步，计算调查总人数：将各组人数相加，$10+60+20+10=100$（名），故①推断正确；
第二步，比较各组人数：15~30min的人数为60，是所有组中人数最多的，故②推断正确；
第三步，对比不足15min和45~60min的人数：不足15min的人数是10，45~60min的人数也是10，二者人数相等，故③推断错误；
第四步，计算阅读时间超过30min的人数占比：超过30min的人数为$20+10=30$，占总人数的$30÷100×100\%=30\%$，不是20%，故④推断错误。
★20题解析：
联立方程$\begin{cases}x-2y=4 \\x+y=2\end{cases}$，用第二个方程减去第一个方程得：$(x+y)-(x-2y)=2-4$，化简得$3y=-2$，解得$y=-\frac{2}{3}$。
把$y=-\frac{2}{3}$代入$x+y=2$，得$x=2-(-\frac{2}{3})=\frac{8}{3}$。
将$x=\frac{8}{3}$，$y=-\frac{2}{3}$代入$2x+5y=3-4k$，得：
$2×\frac{8}{3}+5×(-\frac{2}{3})=3-4k$
$\frac{16}{3}-\frac{10}{3}=3-4k$
$2=3-4k$
解得$4k=1$，即$k=\frac{1}{4}$。
【答案】
19. ①②；20. $\frac{1}{4}$
【知识点】
频数分布直方图，二元一次方程组的解，解二元一次方程组
【点评】
这两道题分别考查统计和代数的基础核心知识点，难度不大，解题的关键是掌握频数直方图的读图方法，能准确提取图中数据，同时熟练掌握二元一次方程组的解法，计算时注意避免符号错误即可。
【难度系数】
0.7
19题是频数分布直方图的应用类题目，解题时首先要从图中读取每个时间段对应的人数：0~15min有10人，15~30min有60人，30~45min有20人，45~60min有10人，再逐一验证四个推断是否正确。20题是二元一次方程组解的应用，解题思路是先利用已知的$x-2y=4$和$x+y=2$联立求解出$x$、$y$的值，再代入含$k$的方程即可求出$k$的值，所用方法符合当前学段知识要求。
【解析】
★19题解析：
第一步，计算调查总人数：将各组人数相加，$10+60+20+10=100$（名），故①推断正确；
第二步，比较各组人数：15~30min的人数为60，是所有组中人数最多的，故②推断正确；
第三步，对比不足15min和45~60min的人数：不足15min的人数是10，45~60min的人数也是10，二者人数相等，故③推断错误；
第四步，计算阅读时间超过30min的人数占比：超过30min的人数为$20+10=30$，占总人数的$30÷100×100\%=30\%$，不是20%，故④推断错误。
★20题解析：
联立方程$\begin{cases}x-2y=4 \\x+y=2\end{cases}$，用第二个方程减去第一个方程得：$(x+y)-(x-2y)=2-4$，化简得$3y=-2$，解得$y=-\frac{2}{3}$。
把$y=-\frac{2}{3}$代入$x+y=2$，得$x=2-(-\frac{2}{3})=\frac{8}{3}$。
将$x=\frac{8}{3}$，$y=-\frac{2}{3}$代入$2x+5y=3-4k$，得：
$2×\frac{8}{3}+5×(-\frac{2}{3})=3-4k$
$\frac{16}{3}-\frac{10}{3}=3-4k$
$2=3-4k$
解得$4k=1$，即$k=\frac{1}{4}$。
【答案】
19. ①②；20. $\frac{1}{4}$
【知识点】
频数分布直方图，二元一次方程组的解，解二元一次方程组
【点评】
这两道题分别考查统计和代数的基础核心知识点，难度不大，解题的关键是掌握频数直方图的读图方法，能准确提取图中数据，同时熟练掌握二元一次方程组的解法，计算时注意避免符号错误即可。
【难度系数】
0.7
21.如图①，小红观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图②，已知AB//CD，∠BAE=93°，∠DCE=116°，则∠E的度数是
23
°。答案
21.23
解析
【分析】
已知AB平行CD，要求∠E的度数，可通过作辅助线构造平行线，利用平行线的性质求解。首先过点E作EF平行于AB，根据平行公理的推论可得EF也平行于CD，再利用“两直线平行，同旁内角互补”分别求出∠AEF和∠CEF的度数，二者的差就是∠E的度数。
【解析】
过点E作EF//AB，
∵ AB//CD，
∴ EF//CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
∵ EF//AB，
∴ ∠BAE + ∠AEF = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
又
∵ ∠BAE=93°，
∴ ∠AEF=180°-93°=87°。
∵ EF//CD，
∴ ∠DCE + ∠CEF = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
又
∵ ∠DCE=116°，
∴ ∠CEF=180°-116°=64°。
∴ ∠E=∠AEF - ∠CEF=87°-64°=23°。
【答案】
23
【知识点】
平行线的性质，平行公理推论，角度计算
【点评】
本题是平行线性质的典型应用题型，解题的关键是合理构造辅助线，将未知角转化为可借助平行线性质求解的角，熟练掌握平行线的相关性质是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.7
已知AB平行CD，要求∠E的度数，可通过作辅助线构造平行线，利用平行线的性质求解。首先过点E作EF平行于AB，根据平行公理的推论可得EF也平行于CD，再利用“两直线平行，同旁内角互补”分别求出∠AEF和∠CEF的度数，二者的差就是∠E的度数。
【解析】
过点E作EF//AB，
∵ AB//CD，
∴ EF//CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
∵ EF//AB，
∴ ∠BAE + ∠AEF = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
又
∵ ∠BAE=93°，
∴ ∠AEF=180°-93°=87°。
∵ EF//CD，
∴ ∠DCE + ∠CEF = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
又
∵ ∠DCE=116°，
∴ ∠CEF=180°-116°=64°。
∴ ∠E=∠AEF - ∠CEF=87°-64°=23°。
【答案】
23
【知识点】
平行线的性质，平行公理推论，角度计算
【点评】
本题是平行线性质的典型应用题型，解题的关键是合理构造辅助线，将未知角转化为可借助平行线性质求解的角，熟练掌握平行线的相关性质是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.7
22.如图,已知点$A(0,1)$,点$A_1(2,0)$,点$A_2(3,2)$,点$A_3(5,1)$,$···$,按照这样的规律排下去,点$A_{2023}$的坐标为
(3 035,1 011)
.答案
22.(3 035,1 011)
解析
【分析】
解决这类点坐标规律题，首先要分类观察已知点的坐标特征，本题可按点的下标是奇数、偶数分为两类分别找规律：先列出所有奇数下标的已知点坐标，对比横坐标、纵坐标的变化规律，总结出通用规律，再判断2023是奇数，代入对应规律计算即可。
【解析】
先整理已知的奇数下标点的坐标：
第1个奇数下标点$A_1(2,0)$，
第2个奇数下标点$A_3(5,1)$，
观察发现：每往后一个奇数下标点，横坐标增加3，纵坐标增加1。
由此可得，第$m$个奇数下标点的横坐标为$2+3(m-1)=3m-1$，纵坐标为$0+(m-1)=m-1$。
现在求点$A_{2023}$的坐标：2023是奇数，它是第$m$个奇数，满足$2m-1=2023$，解得$m=(2023+1)÷2=1012$。
将$m=1012$代入规律：
横坐标：$3×1012 -1=3035$，
纵坐标：$1012-1=1011$。
【答案】
$(3035,1011)$
【知识点】
平面直角坐标系，点的坐标规律探究
【点评】
本题是典型的坐标规律探究题，解题的核心是通过分类观察已知点的坐标，总结出变化的通用规律，再代入所求数值计算，需要学生具备一定的观察和归纳能力。
【难度系数】
0.6
解决这类点坐标规律题，首先要分类观察已知点的坐标特征，本题可按点的下标是奇数、偶数分为两类分别找规律：先列出所有奇数下标的已知点坐标，对比横坐标、纵坐标的变化规律，总结出通用规律，再判断2023是奇数，代入对应规律计算即可。
【解析】
先整理已知的奇数下标点的坐标：
第1个奇数下标点$A_1(2,0)$，
第2个奇数下标点$A_3(5,1)$，
观察发现：每往后一个奇数下标点，横坐标增加3，纵坐标增加1。
由此可得，第$m$个奇数下标点的横坐标为$2+3(m-1)=3m-1$，纵坐标为$0+(m-1)=m-1$。
现在求点$A_{2023}$的坐标：2023是奇数，它是第$m$个奇数，满足$2m-1=2023$，解得$m=(2023+1)÷2=1012$。
将$m=1012$代入规律：
横坐标：$3×1012 -1=3035$，
纵坐标：$1012-1=1011$。
【答案】
$(3035,1011)$
【知识点】
平面直角坐标系，点的坐标规律探究
【点评】
本题是典型的坐标规律探究题，解题的核心是通过分类观察已知点的坐标，总结出变化的通用规律，再代入所求数值计算，需要学生具备一定的观察和归纳能力。
【难度系数】
0.6
三、综合运用
23.（1）计算：$| \sqrt{3} - 2 | - \sqrt{(-3)^2} - \sqrt[3]{-27}$；
（2）解方程组：$\begin{cases} 2x + 3y = 12, \\ 5x - 6y = 3; \end{cases}$
（3）解不等式组：$\begin{cases} 2x ＜ 3x - 2, \\ x - 1 ≤ \dfrac{x + 2}{3}. \end{cases}$
23.（1）计算：$| \sqrt{3} - 2 | - \sqrt{(-3)^2} - \sqrt[3]{-27}$；
（2）解方程组：$\begin{cases} 2x + 3y = 12, \\ 5x - 6y = 3; \end{cases}$
（3）解不等式组：$\begin{cases} 2x ＜ 3x - 2, \\ x - 1 ≤ \dfrac{x + 2}{3}. \end{cases}$
答案
23.解:(1)原式$=2-\sqrt{3}-3-(-3)=2-\sqrt{3}$.
(2)$\begin{cases}2x+3y=12,① \\5x-6y=3, ②\end{cases}$
①$×2+$②,得$4x+6y+5x-6y=24+3$,
合并同类项,得$9x=27$,解得$x=3$,
将$x=3$代入①,得$2×3+3y=12$,
解得$y=2$,
∴ 原方程组的解为$\begin{cases}x=3, \\y=2.\end{cases}$
(3)$\begin{cases}2x＜3x-2, ① \\x-1≤\dfrac{x+2}{3},②\end{cases}$
解不等式①,得$x＞2$,
解不等式②,得$x≤\dfrac{5}{2}$,
∴ 不等式组的解集为$2＜x≤\dfrac{5}{2}$.
(2)$\begin{cases}2x+3y=12,① \\5x-6y=3, ②\end{cases}$
①$×2+$②,得$4x+6y+5x-6y=24+3$,
合并同类项,得$9x=27$,解得$x=3$,
将$x=3$代入①,得$2×3+3y=12$,
解得$y=2$,
∴ 原方程组的解为$\begin{cases}x=3, \\y=2.\end{cases}$
(3)$\begin{cases}2x＜3x-2, ① \\x-1≤\dfrac{x+2}{3},②\end{cases}$
解不等式①,得$x＞2$,
解不等式②,得$x≤\dfrac{5}{2}$,
∴ 不等式组的解集为$2＜x≤\dfrac{5}{2}$.
解析
【分析】
（1）本题是实数混合运算，解题思路：先判断√3和2的大小，根据绝对值性质化简|√3-2|，再根据算术平方根的性质计算√(-3)²，根据立方根的性质计算³√-27，最后合并计算即可得到结果；
（2）本题是解二元一次方程组，观察到两个方程中y的系数为3和-6，刚好成倍数关系，优先选择加减消元法：先将第一个方程乘2，使两个方程中y的系数互为相反数，相加消去y求出x的值，再将x的值代入原方程求出y的值即可；
（3）本题是解一元一次不等式组，解题思路：分别求解两个一元一次不等式的解集，再找出两个解集的公共部分，即为不等式组的解集。
【解析】
（1）原式$=2-\sqrt{3}-3-(-3)=2-\sqrt{3}$；
（2）$\begin{cases}2x+3y=12,① \\5x-6y=3, ②\end{cases}$
①$×2+$②,得$4x+6y+5x-6y=24+3$，
合并同类项，得$9x=27$，解得$x=3$，
将$x=3$代入①，得$2×3+3y=12$，
解得$y=2$，
∴ 原方程组的解为$\begin{cases}x=3, \\y=2.\end{cases}$
（3）$\begin{cases}2x＜3x-2, ① \\x-1≤\dfrac{x+2}{3},②\end{cases}$
解不等式①，移项得$2x-3x＜-2$，即$-x＜-2$，解得$x＞2$，
解不等式②，两边同乘3得$3x-3≤x+2$，移项合并得$2x≤5$，解得$x≤\dfrac{5}{2}$，
∴ 不等式组的解集为$2＜x≤\dfrac{5}{2}$。
【答案】
（1）$2-\sqrt{3}$；（2）$\begin{cases}x=3 \\ y=2\end{cases}$；（3）$2＜x≤\dfrac{5}{2}$
【知识点】
实数的运算；二元一次方程组的解法；一元一次不等式组的解法
【点评】
本题属于基础综合题，考察了代数板块三类基础运算能力，解题时需注意根式、绝对值化简的符号问题，解方程组可根据系数特点灵活选择消元方法，解不等式时要注意不等号方向的变化规则，取公共解集时可结合数轴或者口诀判断，避免出错。
【难度系数】
0.8
（1）本题是实数混合运算，解题思路：先判断√3和2的大小，根据绝对值性质化简|√3-2|，再根据算术平方根的性质计算√(-3)²，根据立方根的性质计算³√-27，最后合并计算即可得到结果；
（2）本题是解二元一次方程组，观察到两个方程中y的系数为3和-6，刚好成倍数关系，优先选择加减消元法：先将第一个方程乘2，使两个方程中y的系数互为相反数，相加消去y求出x的值，再将x的值代入原方程求出y的值即可；
（3）本题是解一元一次不等式组，解题思路：分别求解两个一元一次不等式的解集，再找出两个解集的公共部分，即为不等式组的解集。
【解析】
（1）原式$=2-\sqrt{3}-3-(-3)=2-\sqrt{3}$；
（2）$\begin{cases}2x+3y=12,① \\5x-6y=3, ②\end{cases}$
①$×2+$②,得$4x+6y+5x-6y=24+3$，
合并同类项，得$9x=27$，解得$x=3$，
将$x=3$代入①，得$2×3+3y=12$，
解得$y=2$，
∴ 原方程组的解为$\begin{cases}x=3, \\y=2.\end{cases}$
（3）$\begin{cases}2x＜3x-2, ① \\x-1≤\dfrac{x+2}{3},②\end{cases}$
解不等式①，移项得$2x-3x＜-2$，即$-x＜-2$，解得$x＞2$，
解不等式②，两边同乘3得$3x-3≤x+2$，移项合并得$2x≤5$，解得$x≤\dfrac{5}{2}$，
∴ 不等式组的解集为$2＜x≤\dfrac{5}{2}$。
【答案】
（1）$2-\sqrt{3}$；（2）$\begin{cases}x=3 \\ y=2\end{cases}$；（3）$2＜x≤\dfrac{5}{2}$
【知识点】
实数的运算；二元一次方程组的解法；一元一次不等式组的解法
【点评】
本题属于基础综合题，考察了代数板块三类基础运算能力，解题时需注意根式、绝对值化简的符号问题，解方程组可根据系数特点灵活选择消元方法，解不等式时要注意不等号方向的变化规则，取公共解集时可结合数轴或者口诀判断，避免出错。
【难度系数】
0.8
