24.如图,直线AB,CD相交于点O,OE平分∠BOD,∠AOC:∠BOC=4:5.
(1)求∠BOE的度数;
(2)若OF⊥OE,求∠COF的度数.

24.解:(1)$\because ∠ AOC:∠ BOC=4:5$,
∴ 设$∠ AOC=4x°,∠ BOC=5x°$.
$\because ∠ AOC+∠ BOC=180°$,
$\therefore 4x°+5x°=180°,\therefore x=20$,
$\therefore ∠ AOC=4x°=80°$,
$\therefore ∠ BOD=∠ AOC=80°$.
$\because OE$平分$∠ BOD$,
$\therefore ∠ BOE=\dfrac{1}{2}∠ BOD=40°$.
(2)$\because OF⊥ OE,\therefore ∠ EOF=90°$,
$\therefore ∠ AOF=180°-∠ BOE-∠ EOF$
$=180°-40°-90°=50°$.
$\because ∠ AOC=80°,\therefore ∠ COF=∠ AOC+∠ AOF=80°+50°=130°$.

【分析】
(1) 求解第一问时，首先明确∠AOC与∠BOC是邻补角，二者之和为180°，结合已知的角度比，可设未知数列方程求出∠AOC的度数；再利用对顶角相等的性质得到∠BOD的度数，最后根据角平分线的定义，即可算出∠BOE的度数。
(2) 求解第二问时，先根据垂直的定义得出∠EOF=90°，再结合平角为180°，通过角度的和差关系算出∠AOF的度数，最后将∠AOF与∠AOC相加，就能得到∠COF的度数。
【解析】
(1) $\because ∠ AOC:∠ BOC=4:5$，
$\therefore$ 设$∠ AOC=4x°$，$∠ BOC=5x°$。
$\because ∠ AOC$和$∠ BOC$是邻补角，$∠ AOC+∠ BOC=180°$，
$\therefore 4x°+5x°=180°$，解得$x=20$，
$\therefore ∠ AOC=4x°=80°$。
$\because ∠ BOD$和$∠ AOC$是对顶角，$\therefore ∠ BOD=∠ AOC=80°$。
$\because OE$平分$∠ BOD$，
$\therefore ∠ BOE=\dfrac{1}{2}∠ BOD=\dfrac{1}{2}×80°=40°$。
(2) $\because OF⊥ OE$，$\therefore ∠ EOF=90°$，
$\because ∠ AOF+∠ EOF+∠ BOE=180°$（平角的定义），
$\therefore ∠ AOF=180°-∠ BOE-∠ EOF=180°-40°-90°=50°$。
$\because ∠ AOC=80°$，
$\therefore ∠ COF=∠ AOC+∠ AOF=80°+50°=130°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{40°}$；(2) $\boldsymbol{130°}$
【知识点】
对顶角相等，角平分线的定义，垂直的性质
【点评】
本题是相交线角度计算的常规题型，综合考查了邻补角、对顶角、角平分线、垂直的相关性质，解题时要准确找到角度之间的数量关系，通过和差运算即可得到结果，有助于巩固相交线相关的基础性质。
【难度系数】
0.8

25.甲、乙两工程队共同修筑150 km的公路，原计划30个月完工.实际施工时，甲队通过技术创新，施工效率提高了50%，乙队施工效率不变，结果提前5个月完工.甲、乙两工程队原计划平均每月分别修筑多长？

25.解:设甲工程队原计划平均每月修筑$x$ km,乙工程队原计划平均每月修筑$y$ km,根据题意,得$\begin{cases}30(x+y)=150, \\(30-5)[(1+50\%)x+y]=150,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=2, \\y=3.\end{cases}$
答:甲工程队原计划平均每月修筑2 km,乙工程队原计划平均每月修筑3 km.

【分析】
这是一道工程类的二元一次方程组应用题，解题时需先明确两个核心等量关系：一是原计划30个月甲、乙两队的总施工长度为150km；二是实际施工时工期提前5个月，甲队施工效率提升50%，此时两队25个月的总施工长度也为150km。我们可以分别设甲、乙原计划每月修筑的长度为未知数，将未知数代入两个等量关系列出方程组，再用代入消元法求解即可得到结果。
【解析】
解：设甲工程队原计划平均每月修筑$x$ km，乙工程队原计划平均每月修筑$y$ km，根据题意可列方程组：
$\begin{cases}30(x+y)=150 \\(30-5)[(1+50\%)x+y]=150\end{cases}$
先化简第一个方程，两边同时除以30可得：$x+y=5$，变形得$y=5-x$。
将$y=5-x$代入第二个方程：
$25(1.5x+5-x)=150$
$25(0.5x+5)=150$
两边同时除以25得：$0.5x+5=6$
解得$x=2$，将$x=2$代入$y=5-x$得$y=3$。
经检验，$x=2$，$y=3$符合题意。
答：甲工程队原计划平均每月修筑2 km，乙工程队原计划平均每月修筑3 km。
【答案】
甲工程队原计划平均每月修筑2 km，乙工程队原计划平均每月修筑3 km。
【知识点】
二元一次方程组的应用，工程问题计算
【点评】
本题属于基础的工程类应用题，解题核心是准确梳理原计划、实际施工两种场景下工作总量、工作效率、工作时间三者的对应关系，找准等量关系列方程组求解，计算量小，思路清晰，掌握二元一次方程组的基本解法即可顺利解答。
【难度系数】
0.7

26.【社会实践】某中学课外兴趣活动小组对某水稻品种的稻穗谷粒数目(单位:粒)进行调查,从试验田中随机抽取了30株,并对抽取的30株水稻稻穗谷粒数进行统计分析,得到不完整的统计表、频数分布直方图和扇形图.



(1)请补全表中空格.
(2)补全频数分布直方图.
(3)在扇形图中,扇形B所占的百分比是,扇形A对应的圆心角度数为.
(4)该试验田中大约有3000株水稻,据此估计,其中稻穗谷粒数量大于或等于205粒的水稻有多少株?

26.解:(1)补全表中空格:
| 谷粒数量/粒 | $175≤ x＜185$ | $185≤ x＜195$ | $195≤ x＜205$ | $205≤ x＜215$ | $215≤ x＜225$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 频数 | 3 | 8 | 10 | 6 | 3 |
| 对应扇形图中区域 | $\underline{B}$ | D | E | $\underline{A}$ | C |
(2)补全频数分布直方图(如图所示).
(3)$10\% \quad 72°$
(4)$3\ 000×\dfrac{6+3}{30}=900$(株).
答:经估计,稻穗谷粒数量大于或等于205粒的水稻有900株.

【分析】
本题属于统计类综合题，结合频数分布直方图、扇形统计图的特征逐步求解即可：1. 首先读取频数分布直方图中各谷粒数量区间的频数，验证总频数为30和抽取的样本总量一致，即可补全统计表；2. 依据各组对应的频数补全直方图中对应矩形的高度；3. 计算扇形区域占比时，用对应组的频数除以总样本量再乘100%即可，扇形圆心角用对应组的频率乘360°计算；4. 估计总体中符合条件的水稻数量时，先算出样本中谷粒数大于或等于205粒的个体的频率，再乘试验田水稻总数量即可得到估计值。
【解析】
(1) 读取频数分布直方图可得各区间的频数：$175≤x＜185$区间频数为3，对应扇形区域B；$185≤x＜195$区间频数为8；$195≤x＜205$区间频数为10；$205≤x＜215$区间频数为6，对应扇形区域A；$215≤x＜225$区间频数为3。总频数$3+8+10+6+3=30$，和抽取的样本总量一致，据此补全表格。
(2) 按照各组对应的频数，在频数分布直方图中绘制对应高度的矩形即可补全直方图。
(3) 扇形B对应的频数为3，所占百分比为：$\frac{3}{30}×100\%=10\%$；
扇形A对应的频数为6，对应的圆心角度数为：$\frac{6}{30}×360°=72°$。
(4) 样本中稻穗谷粒数量大于或等于205粒的频数为$6+3=9$，对应频率为$\frac{9}{30}$，据此估计3000株水稻中符合条件的数量为：
$3000×\frac{6+3}{30}=900$（株）
【答案】
(1)
| 谷粒数量/粒 | $175≤ x＜185$ | $185≤ x＜195$ | $195≤ x＜205$ | $205≤ x＜215$ | $215≤ x＜225$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 频数 | 3 | 8 | 10 | 6 | 3 |
| 对应扇形图中区域 | $\underline{B}$ | D | E | $\underline{A}$ | C |
(2) 补全频数分布直方图：
(3) $10\%$；$72°$
(4) 经估计,稻穗谷粒数量大于或等于205粒的水稻有900株。
【知识点】
频数分布直方图；扇形统计图；用样本估计总体
【点评】
本题考查统计图表的综合应用，要求能够准确读取频数分布直方图、扇形统计图中的信息，掌握频率、扇形圆心角的计算方法，以及用样本特征估计总体特征的统计思想，整体侧重基础能力的考查。
【难度系数】
0.7