六、我会挑战（附加10分）
阅读与解答。
同学们，在我们的生活中密铺现象无处不在，比如家里的瓷砖、蜂巢的结构、美丽的镶嵌画等。
用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形不留空隙、不重叠地拼接在一起，就叫作图形的密铺。其中只用一种图形是单独密铺，使用多种图形是组合密铺。密铺现象在我们的生活中随处可见，那为什么有的图形可以，有的图形不可以密铺呢？我们一起来研究一下。
1. 观察三角形密铺的规律，列式说明正方形和普通四边形可以密铺的理由，完成表格。（2分）
| 正三角形 | 普通三角形 | 正方形 | 普通四边形 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| | | | |
| $60°×6=360°$ | $∠1+∠2+∠3+∠1+∠2+∠3=360°$ | | |
2. 观察上表可以发现当图形中每个拼接点周围各个角的度数之和是()°时一定可以密铺。（1分）
3. 下面图形中不可以单独密铺的是()。（1分）
A.直角三角形 B.梯形 C.正五边形 D.正六边形
4. 下图是两种平行四边形的组合密铺,请用密铺的知识分别求出$∠1$、$∠2$和$∠3$的度数。（6分）

1. $90°×4=360°$ $∠1+∠2+∠3+∠4=360°$
2. 360
3. C
4. $∠1=360°÷5=72°$ $∠2=360°÷2-72°=108°$ $∠3=360°-108°×2=144°$

【分析】
解决本题的核心是理解图形密铺的本质：平面图形拼接时，拼接点周围的角之和需为360°，才能实现不留空隙、不重叠的拼接。
1. 对于正方形，每个内角为90°，拼接点周围有4个正方形内角，和为360°；普通四边形内角和为360°，拼接点周围有4个普通四边形内角，和为360°，据此填表格。
2. 观察表格中各图形拼接点的角和，可总结出密铺的关键条件。
3. 判断单独密铺的图形，需计算正多边形每个内角的度数，验证若干个内角能否凑成360°。
4. 组合密铺时，利用拼接点角和为360°的性质，结合正五边形的内外角关系计算各角度数。
【解析】
1. 正方形每个内角是90°，拼接点周围有4个正方形内角，故和为$90°×4=360°$；普通四边形内角和为360°，拼接点周围有4个普通四边形内角，故和为$∠1+∠2+∠3+∠4=360°$。
2. 由表格中各图形拼接点的角和（正三角形6×60°=360°、普通三角形6个内角和360°、正方形4×90°=360°、普通四边形4个内角和360°），可知当拼接点周围各角的度数之和为360°时可密铺。
3. 分析选项：A.直角三角形（普通三角形，6个内角和360°，可密铺）；B.梯形（普通四边形，4个内角和360°，可密铺）；C.正五边形，每个内角为$(5-2)×180°÷5=108°$，108°×3=324°＜360°，108°×4=432°＞360°，无法凑成360°，不能单独密铺；D.正六边形，每个内角为120°，120°×3=360°，可密铺。故选C。
4. 组合密铺时拼接点角和为360°：∠1是正五边形的外角，正五边形外角和为360°，故$∠1=360°÷5=72°$；正五边形内角为$180°-72°=108°$，即$∠2=108°$；∠3所在拼接点有两个∠2，故$∠3=360°-108°×2=144°$。
【答案】
1. $90°×4=360°$；$∠1+∠2+∠3+∠4=360°$
2. 360
3. C
4. $∠1=72°$，$∠2=108°$，$∠3=144°$
【知识点】
图形的密铺、多边形内角和、正多边形内角计算
【点评】
本题围绕图形密铺的核心原理展开，涵盖单独密铺和组合密铺的判断与计算，需学生理解密铺的本质，结合多边形内角和、正多边形内角的计算方法解题，是对几何图形拼接性质的综合考查。
【难度系数】
0.5