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1. 把下列各式的分母有理化.
(1)$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{40}}$；
(2)$\frac{-3\sqrt{2}}{\sqrt{27}}$；
(3)$\frac{\sqrt{5a}}{\sqrt{10}a}(a＞0)$；
(4)$\frac{2y^2}{\sqrt{4xy}}(xy＞0)$.
(1)$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{40}}$；
(2)$\frac{-3\sqrt{2}}{\sqrt{27}}$；
(3)$\frac{\sqrt{5a}}{\sqrt{10}a}(a＞0)$；
(4)$\frac{2y^2}{\sqrt{4xy}}(xy＞0)$.
答案
(1)原式=$\frac{\sqrt{30}}{20}$；
(2)原式=$-\frac{\sqrt{6}}{3}$；
(3)原式=$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$；
(4)原式=$\frac{y \sqrt{xy}}{x}$.
(2)原式=$-\frac{\sqrt{6}}{3}$；
(3)原式=$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$；
(4)原式=$\frac{y \sqrt{xy}}{x}$.
解析
【分析】
本题考查二次根式的分母有理化，解题思路如下：1. 先将分母中的二次根式化为最简形式，或直接找到分母的有理化因式（即与分母相乘后能去掉根号的二次根式）；2. 分子分母同时乘以这个有理化因式，消去分母中的根号；3. 结合题目给出的字母取值范围，对结果进行约分，最终化为最简二次根式即可，注意运算过程中符号不要出错。
【解析】
(1) 先化简分母$\sqrt{40}=2\sqrt{10}$，再给分子分母同乘$\sqrt{10}$：
原式$=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{3}×\sqrt{10}}{2\sqrt{10}×\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{30}}{2×10}=\frac{\sqrt{30}}{20}$
(2) 先化简分母$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，先约分再有理化：
原式$=\frac{-3\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}=\frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{-\sqrt{2}×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{6}}{3}$
(3) 已知$a＞0$，给分子分母同乘$\sqrt{10}$消去分母根号，再约分：
原式$=\frac{\sqrt{5a}×\sqrt{10}}{\sqrt{10}a×\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{50a}}{10a}=\frac{5\sqrt{2a}}{10a}=\frac{\sqrt{2a}}{2a}$
(4) 已知$xy＞0$，先化简分母$\sqrt{4xy}=2\sqrt{xy}$，约分后再有理化：
原式$=\frac{2y^2}{2\sqrt{xy}}=\frac{y^2}{\sqrt{xy}}=\frac{y^2×\sqrt{xy}}{\sqrt{xy}×\sqrt{xy}}=\frac{y^2\sqrt{xy}}{xy}=\frac{y\sqrt{xy}}{x}$
【答案】
(1)$\frac{\sqrt{30}}{20}$；(2)$-\frac{\sqrt{6}}{3}$；(3)$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$；(4)$\frac{y \sqrt{xy}}{x}$
【知识点】
分母有理化，二次根式化简，二次根式乘除运算
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，核心是掌握分母有理化的操作方法，做题时要注意先约分再有理化可以简化计算，同时要结合给定的字母取值范围确保化简过程合法，最终结果要符合最简二次根式的要求。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的分母有理化，解题思路如下：1. 先将分母中的二次根式化为最简形式，或直接找到分母的有理化因式（即与分母相乘后能去掉根号的二次根式）；2. 分子分母同时乘以这个有理化因式，消去分母中的根号；3. 结合题目给出的字母取值范围，对结果进行约分，最终化为最简二次根式即可，注意运算过程中符号不要出错。
【解析】
(1) 先化简分母$\sqrt{40}=2\sqrt{10}$，再给分子分母同乘$\sqrt{10}$：
原式$=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{3}×\sqrt{10}}{2\sqrt{10}×\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{30}}{2×10}=\frac{\sqrt{30}}{20}$
(2) 先化简分母$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，先约分再有理化：
原式$=\frac{-3\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}=\frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{-\sqrt{2}×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{6}}{3}$
(3) 已知$a＞0$，给分子分母同乘$\sqrt{10}$消去分母根号，再约分：
原式$=\frac{\sqrt{5a}×\sqrt{10}}{\sqrt{10}a×\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{50a}}{10a}=\frac{5\sqrt{2a}}{10a}=\frac{\sqrt{2a}}{2a}$
(4) 已知$xy＞0$，先化简分母$\sqrt{4xy}=2\sqrt{xy}$，约分后再有理化：
原式$=\frac{2y^2}{2\sqrt{xy}}=\frac{y^2}{\sqrt{xy}}=\frac{y^2×\sqrt{xy}}{\sqrt{xy}×\sqrt{xy}}=\frac{y^2\sqrt{xy}}{xy}=\frac{y\sqrt{xy}}{x}$
【答案】
(1)$\frac{\sqrt{30}}{20}$；(2)$-\frac{\sqrt{6}}{3}$；(3)$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$；(4)$\frac{y \sqrt{xy}}{x}$
【知识点】
分母有理化，二次根式化简，二次根式乘除运算
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，核心是掌握分母有理化的操作方法，做题时要注意先约分再有理化可以简化计算，同时要结合给定的字母取值范围确保化简过程合法，最终结果要符合最简二次根式的要求。
【难度系数】
0.8
2. 化简：
(1)$\dfrac{\sqrt{72}}{\sqrt{6}}$；
(2)$\sqrt{1\dfrac{7}{9}}$；
(3)$\sqrt{1\dfrac{18}{27}+\dfrac{19}{27}}$；
(4)$\sqrt{(1\dfrac{1}{9})^2 - (\dfrac{2}{3})^2}$.
(1)$\dfrac{\sqrt{72}}{\sqrt{6}}$；
(2)$\sqrt{1\dfrac{7}{9}}$；
(3)$\sqrt{1\dfrac{18}{27}+\dfrac{19}{27}}$；
(4)$\sqrt{(1\dfrac{1}{9})^2 - (\dfrac{2}{3})^2}$.
答案
(1)原式=$2\sqrt{3}$；
(2)原式=$\frac{4}{3}$；
(3)原式=$\frac{8\sqrt{3}}{9}$；
(4)原式=$\frac{8}{9}$.
(2)原式=$\frac{4}{3}$；
(3)原式=$\frac{8\sqrt{3}}{9}$；
(4)原式=$\frac{8}{9}$.
解析
【分析】
这组是二次根式化简的基础题型，解题核心是运用二次根式的运算性质逐步化简得到最简结果。思考路径如下：①两个二次根式相除时，可先用除法法则$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$合并为一个二次根式再化简；②根号内有带分数或加减运算时，先把带分数化为假分数，先完成根号内的运算得到确定数值后再开方；③根号内是平方差形式时，可直接算平方求差，也可借助平方差公式简化计算；④最终结果要化为最简二次根式，即被开方数不含能开尽方的因数，分母不含根号。
【解析】
(1) 利用二次根式除法法则计算：
原式$=\sqrt{\dfrac{72}{6}}=\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$
(2) 先将带分数化为假分数再开方：
原式$=\sqrt{\dfrac{16}{9}}=\dfrac{\sqrt{16}}{\sqrt{9}}=\dfrac{4}{3}$
(3) 先计算根号内的加法再化简：
原式$=\sqrt{\dfrac{45}{27}+\dfrac{19}{27}}=\sqrt{\dfrac{64}{27}}=\dfrac{\sqrt{64}}{\sqrt{27}}=\dfrac{8}{3\sqrt{3}}=\dfrac{8\sqrt{3}}{9}$
(4) 先计算根号内的平方差再开方：
原式$=\sqrt{(\dfrac{10}{9})^2 - (\dfrac{2}{3})^2}=\sqrt{\dfrac{100}{81}-\dfrac{36}{81}}=\sqrt{\dfrac{64}{81}}=\dfrac{8}{9}$
【答案】
(1)$2\sqrt{3}$；(2)$\dfrac{4}{3}$；(3)$\dfrac{8\sqrt{3}}{9}$；(4)$\dfrac{8}{9}$
【知识点】
二次根式的除法法则，最简二次根式，平方差公式
【点评】
本题是二次根式运算的基础训练题，重点考查二次根式的基本运算规则，计算时要注意优先处理根号内的运算，带分数需先转为假分数再计算，最终结果要化为最简形式，日常练习要注意提升运算的准确率。
【难度系数】
0.7
这组是二次根式化简的基础题型，解题核心是运用二次根式的运算性质逐步化简得到最简结果。思考路径如下：①两个二次根式相除时，可先用除法法则$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$合并为一个二次根式再化简；②根号内有带分数或加减运算时，先把带分数化为假分数，先完成根号内的运算得到确定数值后再开方；③根号内是平方差形式时，可直接算平方求差，也可借助平方差公式简化计算；④最终结果要化为最简二次根式，即被开方数不含能开尽方的因数，分母不含根号。
【解析】
(1) 利用二次根式除法法则计算：
原式$=\sqrt{\dfrac{72}{6}}=\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$
(2) 先将带分数化为假分数再开方：
原式$=\sqrt{\dfrac{16}{9}}=\dfrac{\sqrt{16}}{\sqrt{9}}=\dfrac{4}{3}$
(3) 先计算根号内的加法再化简：
原式$=\sqrt{\dfrac{45}{27}+\dfrac{19}{27}}=\sqrt{\dfrac{64}{27}}=\dfrac{\sqrt{64}}{\sqrt{27}}=\dfrac{8}{3\sqrt{3}}=\dfrac{8\sqrt{3}}{9}$
(4) 先计算根号内的平方差再开方：
原式$=\sqrt{(\dfrac{10}{9})^2 - (\dfrac{2}{3})^2}=\sqrt{\dfrac{100}{81}-\dfrac{36}{81}}=\sqrt{\dfrac{64}{81}}=\dfrac{8}{9}$
【答案】
(1)$2\sqrt{3}$；(2)$\dfrac{4}{3}$；(3)$\dfrac{8\sqrt{3}}{9}$；(4)$\dfrac{8}{9}$
【知识点】
二次根式的除法法则，最简二次根式，平方差公式
【点评】
本题是二次根式运算的基础训练题，重点考查二次根式的基本运算规则，计算时要注意优先处理根号内的运算，带分数需先转为假分数再计算，最终结果要化为最简形式，日常练习要注意提升运算的准确率。
【难度系数】
0.7
3. 计算或化简：
(1) $\sqrt{4\frac{1}{2}} ÷ \sqrt{2\frac{1}{4}}$；
(2) $3\sqrt{5} × 2\sqrt{10}$；
(3) $\sqrt{3x} · \sqrt{\frac{1}{3}xy} \ (x＞0,y＞0)$；
(4) $\frac{5\sqrt{3}}{4\sqrt{12}}$。
(1) $\sqrt{4\frac{1}{2}} ÷ \sqrt{2\frac{1}{4}}$；
(2) $3\sqrt{5} × 2\sqrt{10}$；
(3) $\sqrt{3x} · \sqrt{\frac{1}{3}xy} \ (x＞0,y＞0)$；
(4) $\frac{5\sqrt{3}}{4\sqrt{12}}$。
答案
(1)原式=$\sqrt{2}$；
(2)原式=$30\sqrt{2}$；
(3)原式=$x\sqrt{y}$；
(4)原式=$\frac{5}{8}$.
(2)原式=$30\sqrt{2}$；
(3)原式=$x\sqrt{y}$；
(4)原式=$\frac{5}{8}$.
解析
【分析】
这4道题均为二次根式的乘除运算，解题核心是运用二次根式的乘除运算法则：①二次根式乘法：$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），②二次根式除法：$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$），运算后需将结果化为最简二次根式。解题思路如下：(1)先将带分数化为假分数，再套用除法法则计算；(2)将系数与二次根式分别相乘，再化简结果；(3)直接套用乘法法则合并被开方数，再开方化简，注意x、y均为正数，开方后符号为正；(4)先化简分母中的二次根式，再约分得到结果。
【解析】
(1) 先将带分数化为假分数：
原式$=\sqrt{\frac{9}{2}} ÷ \sqrt{\frac{9}{4}}$
根据二次根式除法法则计算：
$=\sqrt{\frac{9}{2} ÷ \frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{9}{2} × \frac{4}{9}}=\sqrt{2}$
(2) 系数与二次根式分别相乘：
原式$=(3×2)×(\sqrt{5}×\sqrt{10})$
根据二次根式乘法法则计算：
$=6×\sqrt{5×10}=6×\sqrt{50}$
化简二次根式：
$=6×5\sqrt{2}=30\sqrt{2}$
(3) 已知$x＞0,y＞0$，根据二次根式乘法法则计算：
原式$=\sqrt{3x · \frac{1}{3}xy}=\sqrt{x^2 y}$
开方化简得：
$=x\sqrt{y}$
(4) 先化简分母中的二次根式$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，代入原式：
原式$=\frac{5\sqrt{3}}{4×2\sqrt{3}}$
约去分子分母的公因式$\sqrt{3}$得：
$=\frac{5}{8}$
【答案】
(1)$\sqrt{2}$；(2)$30\sqrt{2}$；(3)$x\sqrt{y}$；(4)$\frac{5}{8}$
【知识点】
二次根式乘除运算，最简二次根式，二次根式化简
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，重点考查二次根式乘除法则的应用，运算时需注意先将带分数转化为假分数、化简复杂二次根式，最终结果要化为最简二次根式，涉及含字母的二次根式运算时要注意给定的取值范围对开方结果的影响。
【难度系数】
0.8
这4道题均为二次根式的乘除运算，解题核心是运用二次根式的乘除运算法则：①二次根式乘法：$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），②二次根式除法：$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$），运算后需将结果化为最简二次根式。解题思路如下：(1)先将带分数化为假分数，再套用除法法则计算；(2)将系数与二次根式分别相乘，再化简结果；(3)直接套用乘法法则合并被开方数，再开方化简，注意x、y均为正数，开方后符号为正；(4)先化简分母中的二次根式，再约分得到结果。
【解析】
(1) 先将带分数化为假分数：
原式$=\sqrt{\frac{9}{2}} ÷ \sqrt{\frac{9}{4}}$
根据二次根式除法法则计算：
$=\sqrt{\frac{9}{2} ÷ \frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{9}{2} × \frac{4}{9}}=\sqrt{2}$
(2) 系数与二次根式分别相乘：
原式$=(3×2)×(\sqrt{5}×\sqrt{10})$
根据二次根式乘法法则计算：
$=6×\sqrt{5×10}=6×\sqrt{50}$
化简二次根式：
$=6×5\sqrt{2}=30\sqrt{2}$
(3) 已知$x＞0,y＞0$，根据二次根式乘法法则计算：
原式$=\sqrt{3x · \frac{1}{3}xy}=\sqrt{x^2 y}$
开方化简得：
$=x\sqrt{y}$
(4) 先化简分母中的二次根式$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，代入原式：
原式$=\frac{5\sqrt{3}}{4×2\sqrt{3}}$
约去分子分母的公因式$\sqrt{3}$得：
$=\frac{5}{8}$
【答案】
(1)$\sqrt{2}$；(2)$30\sqrt{2}$；(3)$x\sqrt{y}$；(4)$\frac{5}{8}$
【知识点】
二次根式乘除运算，最简二次根式，二次根式化简
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，重点考查二次根式乘除法则的应用，运算时需注意先将带分数转化为假分数、化简复杂二次根式，最终结果要化为最简二次根式，涉及含字母的二次根式运算时要注意给定的取值范围对开方结果的影响。
【难度系数】
0.8
