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1. 我们知道等边三角形的每个内角都是$60°$.如图,将三个大小不同的等边三角形的一个顶点重合放置,若$∠ 1=10°$,$∠ 2=20°$,则$∠ 3$的度数为 （
A.$10°$
B.$20°$
C.$30°$
D.$40°$
C
）A.$10°$
B.$20°$
C.$30°$
D.$40°$
答案
1. C 【解析】如图,因为等边三角形的每个内角都是60°,所以∠1+∠4+∠3=60°,∠5+∠4+∠3=60°,∠2+∠5+∠3=60°.因为∠1=10°,∠2=20°,所以∠4+∠3=50°,∠5+∠3=40°,则∠4+∠3+∠5+∠3=50°+40°=90°,所以∠5+∠4+2∠3=90°.因为∠5+∠4+∠3=60°,所以∠3=30°,故选C.
2. 一副三角尺 $ AOB $ 与 $ COD $ 如图摆放，$ ∠ AOB = 60° $，$ ∠ COD = 45° $，$ ON $ 平分 $ ∠ COB $，$ OM $ 平分 $ ∠ AOD $，则 $ ∠ MON $ 的度数为 ______。
答案
2. 52.5° 【解析】因为 ON 平分∠COB,所以∠CON = $\frac{1}{2}$∠COB.因为∠COB = ∠COD + ∠BOD,所以∠CON = $\frac{1}{2}$(∠COD+∠BOD)=$\frac{1}{2}$∠COD+$\frac{1}{2}$∠BOD,所以∠NOD=∠COD-∠CON=∠COD-$\frac{1}{2}$∠COD-$\frac{1}{2}$∠BOD.因为 OM 平分∠AOD,所以∠MOD=$\frac{1}{2}$∠AOD.因为∠AOD=∠AOB+∠BOD,所以∠MOD=$\frac{1}{2}$(∠AOB+∠BOD)=$\frac{1}{2}$∠AOB+$\frac{1}{2}$∠BOD,所以∠NOD+∠MOD=∠COD-$\frac{1}{2}$∠COD-$\frac{1}{2}$∠BOD+$\frac{1}{2}$∠AOB+$\frac{1}{2}$∠BOD=$\frac{1}{2}$∠COD+$\frac{1}{2}$∠AOB.因为∠AOB=60°,∠COD=45°,所以∠NOD+∠MOD=$\frac{1}{2}$×45°+$\frac{1}{2}$×60°=52.5°,所以∠MON=∠NOD+∠MOD=52.5°.
3. 如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线.
(1)如图①,当∠AOB是直角,∠BOC=60°时,∠MON的度数是多少?
(2)如图②,当∠AOB=α,∠BOC=60°时,猜想∠MON与α的数量关系.
(3)如图③,当∠AOB=α,∠BOC=β时,猜想∠MON与α,β有数量关系吗?如果有,写出结论并说明理由.
＞＞ 进一步挑战进阶专题:P130 专题15~P137 专题21
(1)如图①,当∠AOB是直角,∠BOC=60°时,∠MON的度数是多少?
(2)如图②,当∠AOB=α,∠BOC=60°时,猜想∠MON与α的数量关系.
(3)如图③,当∠AOB=α,∠BOC=β时,猜想∠MON与α,β有数量关系吗?如果有,写出结论并说明理由.
＞＞ 进一步挑战进阶专题:P130 专题15~P137 专题21
答案
3. (1) 如题图①,因为∠AOB = 90°,∠BOC = 60°,所以∠AOC=90°+60°=150°.因为 OM 平分∠AOC,ON 平分∠BOC,所以∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=75°,∠NOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=30°,所以∠MON=∠MOC-∠NOC=45°.
(2) $∠ MON=\frac{1}{2}α$. 【解析】如题图②,因为∠AOB=α,∠BOC=60°,所以∠AOC=α+60°.因为 OM 平分∠AOC,ON 平分∠BOC,所以∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}α+30°$,∠NOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=30°,所以∠MON=∠MOC-∠NOC= $(\frac{1}{2}α+30°)-30°=\frac{1}{2}α$.
(3) ∠MON与α有数量关系,$∠ MON=\frac{1}{2}α$.理由:如题图③,因为∠AOB=α,∠BOC=β,所以∠AOC=α+β.因为 OM是∠AOC的平分线,ON是∠BOC的平分线,所以∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}(α+β)$,∠NOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}β$,所以∠MON=∠MOC-∠NOC=$\frac{1}{2}(α+β)-\frac{1}{2}β=\frac{1}{2}α$,即$∠ MON=\frac{1}{2}α$.
(2) $∠ MON=\frac{1}{2}α$. 【解析】如题图②,因为∠AOB=α,∠BOC=60°,所以∠AOC=α+60°.因为 OM 平分∠AOC,ON 平分∠BOC,所以∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}α+30°$,∠NOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=30°,所以∠MON=∠MOC-∠NOC= $(\frac{1}{2}α+30°)-30°=\frac{1}{2}α$.
(3) ∠MON与α有数量关系,$∠ MON=\frac{1}{2}α$.理由:如题图③,因为∠AOB=α,∠BOC=β,所以∠AOC=α+β.因为 OM是∠AOC的平分线,ON是∠BOC的平分线,所以∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}(α+β)$,∠NOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}β$,所以∠MON=∠MOC-∠NOC=$\frac{1}{2}(α+β)-\frac{1}{2}β=\frac{1}{2}α$,即$∠ MON=\frac{1}{2}α$.
