1. 将两块斜边长等于2的三角尺（$\mathrm{Rt}△ ABC$与$\mathrm{Rt}△ ABD$）的斜边完全叠合按如图所示摆放，$E$为$AB$中点，连接$EC$和$ED$，那么$△ ECD$的面积等于________。

1. $\frac{1}{4}$

2. 已知在$△ ABC$中，$AB=AC$，点$D$是边$AB$上一点，$∠ BCD=∠ A$。
(1) 如图①，试说明$CD=CB$的理由。
(2) 如图②，过点$B$作$BE⊥ AC$，垂足为点$E$，$BE$与$CD$相交于点$F$。
① 试说明$∠ BCD=2∠ CBE$的理由；
② 如果$△ BDF$是等腰三角形，求$∠ A$的度数。

2. (1) $\because AB=AC, \therefore ∠ ABC=∠ ACB. \because ∠ BDC$ 是 $△ ADC$ 的一个外角, $\therefore ∠ BDC=∠ A+∠ ACD. \because ∠ ACB=∠ BCD+∠ ACD$, $∠ BCD=∠ A, \therefore ∠ BDC=∠ ACB, \therefore ∠ ABC=∠ BDC, \therefore CD=CB.$
(2) ① $\because BE ⊥ AC, \therefore ∠ BEC=90°, \therefore ∠ CBE+∠ ACB=90°.$ 设 $∠ CBE=α$, 则 $∠ ACB=90°-α, \therefore ∠ ACB=∠ ABC=∠ BDC=90°-α, \therefore ∠ BCD=180°-∠ BDC-∠ ABC=180°-(90°-α)-(90°-α)=2α, \therefore ∠ BCD=2∠ CBE.$
② $\because ∠ BFD$ 是 $△ CBF$ 的一个外角, $\therefore ∠ BFD=∠ CBE+∠ BCD=α+2α=3α.$ 分三种情况: 当 $BD=BF$ 时, $\therefore ∠ BDC=∠ BFD=3α. \because ∠ ACB=∠ ABC=∠ BDC=90°-α, \therefore 90°-α=3α, \therefore α=22.5°, \therefore ∠ A=∠ BCD=2α=45°$; 当 $DB=DF$ 时, $\therefore ∠ DBE=∠ BFD=3α. \because ∠ DBE=∠ ABC-∠ CBE=90°-α-α=90°-2α, \therefore 90°-2α=3α, \therefore α=18°, \therefore ∠ A=∠ BCD=2α=36°$; 当 $FB=FD$ 时, $\therefore ∠ DBE=∠ BDF. \because ∠ BDF=∠ ABC＞∠ DBF, \therefore$ 不存在 $FB=FD.$ 综上所述, 如果 $△ BDF$ 是等腰三角形, $∠ A$ 的度数为 $45°$ 或 $36°.$

3. 在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=30°$，$BD$ 是$△ ABC$ 的角平分线，$DE ⊥ AB$ 于点 $E$.
(1) 如图①，连接 $EC$，求证：$△ EBC$ 是等边三角形.
(2) 点 $M$ 是线段 $CD$ 上的一点(不与点 $C,D$ 重合)，以 $BM$ 为一边，在 $BM$ 的下方作 $∠ BMG=60°$，$MG$ 交 $DE$ 的延长线于点 $G$.请你在图②中画出完整图形，并直接写出 $MD,DG$ 与 $AD$ 之间的数量关系.
(3) 如图③，点 $N$ 是线段 $AD$ 上的一点，以 $BN$ 为一边，在 $BN$ 的下方作 $∠ BNG=60°$，$NG$ 交 $DE$ 的延长线于点 $G$.试探究 $ND,DG$ 与 $AD$ 之间的数量关系，并说明理由.

$\gg$ 根据诊断结果，请完成对应的练习

3. (1) 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ ACB=90°, ∠ A=30°, \therefore ∠ ABC=60°$, $BC=\frac{1}{2}AB. \because BD$ 平分 $∠ ABC, \therefore ∠ CBD=∠ DBA=∠ A=30°.$
$\therefore DA=DB. \because DE ⊥ AB$ 于点 $E, \therefore AE=BE=\frac{1}{2}AB, \therefore BC=BE$, $\therefore △ EBC$ 是等边三角形.
(2) 作图如图, $AD=DG+DM.$ 解析: 如图所示. 延长 $ED$ 至 $W$, 使得 $DW=DM$, 连接 $MW, \because ∠ ACB=90°, ∠ A=30°, BD$ 是 $△ ABC$ 的角平分线, $DE ⊥ AB$ 于点 $E, \therefore ∠ ADE=∠ BDE=60°, AD=BD.$ 又 $\because DM=DW, ∠ WDM=∠ ADE=60°, \therefore △ WDM$ 是等边三角形, $\therefore MW=DM, ∠ W=∠ WMD=60°, \therefore ∠ WMD+∠ DMG=∠ BMG+∠ DMG$, 即 $∠ WMG=∠ DMB.$ 在 $△ WGM$ 和 $△ DBM$ 中, $\begin{cases} ∠ W=∠ MDB=60°, \\ MW=MD, \\ ∠ WMG=∠ DMB, \end{cases}$ $\therefore △ WGM ≌ △ DBM, \therefore BD=GW=DG+DM, \therefore AD=DG+DM.$
(3) $AD=DG-DN.$ 理由: 如图所示, 延长 $BD$ 至 $H$, 使得 $DH=DN$, 连接 $HN.$ 由(1)得 $DA=DB. \because DE ⊥ AB$ 于点 $E, ∠ A=30°$, $\therefore ∠ 2=∠ 3=60°, \therefore ∠ 4=∠ 5=60°, \therefore △ NDH$ 是等边三角形, $\therefore NH=ND, ∠ H=∠ 6=60°, \therefore ∠ H=∠ 2. \because ∠ BNG=60°$, $\therefore ∠ BNG+∠ 7=∠ 6+∠ 7$, 即 $∠ DNG=∠ HNB.$ 在 $△ DNG$ 和 $△ HNB$ 中, $\begin{cases} ∠ DNG=∠ HNB, \\ DN=HN, \\ ∠ 2=∠ H, \end{cases}$ $\therefore △ DNG ≌ △ HNB (\mathrm{ASA})$, $\therefore DG=HB. \because HB=HD+DB=ND+AD, \therefore DG=ND+AD, \therefore AD=DG-ND.$