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1. 如图，$△ ABC$ 的面积为 1.分别倍长(延长一倍)$AB,BC,CA$ 得到 $△ A_1B_1C_1$.再分别倍长 $A_1B_1$，$B_1C_1,C_1A_1$ 得到 $△ A_2B_2C_2······$按此规律,倍长 $n$ 次后得到的 $△ A_nB_nC_n$ 的面积为 ______.
答案
1. $7^n$
解析:连接$AB_1,BC_1,CA_1$,根据同(等)底同(等)高的三角形面积相等,得$△A_1BC、△A_1B_1C、△AB_1C、△AB_1C_1、△ABC_1、△A_1BC_1、△ABC$的面积都相等,$\therefore S_{△A_1B_1C_1}=7S_{△ABC}$,同理$S_{△A_2B_2C_2}=7S_{△A_1B_1C_1}=7^2S_{△ABC}$,依次类推,$S_{△A_nB_nC_n}=7^nS_{△ABC}.\because △ABC$的面积为1,$\therefore S_{△A_nB_nC_n}=7^n$.
解析:连接$AB_1,BC_1,CA_1$,根据同(等)底同(等)高的三角形面积相等,得$△A_1BC、△A_1B_1C、△AB_1C、△AB_1C_1、△ABC_1、△A_1BC_1、△ABC$的面积都相等,$\therefore S_{△A_1B_1C_1}=7S_{△ABC}$,同理$S_{△A_2B_2C_2}=7S_{△A_1B_1C_1}=7^2S_{△ABC}$,依次类推,$S_{△A_nB_nC_n}=7^nS_{△ABC}.\because △ABC$的面积为1,$\therefore S_{△A_nB_nC_n}=7^n$.
2. ★★ | 过程性学习 阅读材料:如图①,已知$△ ABC$的面积为60,$AB,AC$边上的中线$CD,BE$相交于点$O$,求四边形$ADOE$的面积.
小明的解答方法如下:连接$AO$,设$S_{△ ADO}=x$,$S_{△ AEO}=y$,则$S_{△ DBO}=x$,$S_{△ CEO}=y$,由题意,得$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=30$,$S_{△ ADC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=30$,可列方程组为$\begin{cases}2x+y=30,\\x+2y=30\end{cases}$……
解答问题:(1)根据小明的方法,四边形$ADOE$的面积为________;
(2)如图②,已知$△ ABC$的面积为60,$AD:BD=2:1$,$CE:AE=3:1$,$CD,BE$相交于点$O$,求四边形$ADOE$的面积.
小明的解答方法如下:连接$AO$,设$S_{△ ADO}=x$,$S_{△ AEO}=y$,则$S_{△ DBO}=x$,$S_{△ CEO}=y$,由题意,得$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=30$,$S_{△ ADC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=30$,可列方程组为$\begin{cases}2x+y=30,\\x+2y=30\end{cases}$……
解答问题:(1)根据小明的方法,四边形$ADOE$的面积为________;
(2)如图②,已知$△ ABC$的面积为60,$AD:BD=2:1$,$CE:AE=3:1$,$CD,BE$相交于点$O$,求四边形$ADOE$的面积.
答案
2. (1) 20
解析:由题意列方程组为$\begin{cases}2x+y=30,\\x+2y=30,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=10,\\y=10,\end{cases}\therefore S_{四边形ADOE}=S_{△ADO}+S_{△AEO}=x+y=20$.
(2)如图,连接$AO$,设$S_{△DBO}=a$,$S_{△AEO}=b$,$\because AD:BD=2:1$,$CE:AE=3:1$,$\therefore S_{△ADO}=2a$,$S_{△CEO}=3b$,$\therefore S_{△ACD}=2a+4b$,$S_{△ABE}=3a+b$,$S_{四边形ADOE}=2a+b$.$\because AD:BD=2:1$,$CE:AE=3:1$,$\therefore AD:AB=2:3$,$AE:AC=1:4$,$\therefore S_{△ACD}=\frac{2}{3}S_{△ABC}=40$,$S_{△ABE}=\frac{1}{4}S_{△ABC}=15$,可列方程组为$\begin{cases}2a+4b=40,\\3a+b=15,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=2,\\b=9,\end{cases}\therefore S_{四边形ADOE}=2a+b=13$.
3. 如图,一条直线截$△ ABC$的边$BC,CA,AB$(或它们的延长线)于点$D,E,F$.求证:$\dfrac{BD}{DC}·\dfrac{CE}{EA}·\dfrac{AF}{FB}=1$.
答案
3. 如图,连接$BE,AD$,$\because △BDE$与$△DCE$等高,$\therefore \dfrac{BD}{DC}=\dfrac{S_{△BDE}}{S_{△DCE}}$.
$\because △DCE$与$△ADE$等高,$\therefore \dfrac{CE}{EA}=\dfrac{S_{△DCE}}{S_{△AED}}$.$\because △ADF$与$△BDF$等高,$\therefore \dfrac{AF}{FB}=\dfrac{S_{△ADF}}{S_{△BDF}}$.$\because △AEF$与$△BEF$等高,$\therefore \dfrac{AF}{FB}=\dfrac{S_{△AEF}}{S_{△FEB}}$,
$\therefore \dfrac{AF}{FB}=\dfrac{S_{△AED}}{S_{△BDE}}$,$\therefore \dfrac{BD}{DC}·\dfrac{CE}{EA}·\dfrac{AF}{FB}=\dfrac{S_{△BDE}}{S_{△DCE}}·\dfrac{S_{△DCE}}{S_{△AED}}·\dfrac{S_{△AED}}{S_{△BDE}}=1$.
