1. 下列图形中，属于相似图形的是()

D

相似图形是指形状相同的图形。A中正方形和长方形，边的比例不同，形状不同；B中圆和椭圆，形状不同；C中两个三角形，形状不同；D中两个正五边形，形状相同，属于相似图形。

2. 如图，梯形 $ABCD$ 中，$E$，$F$ 分别为 $AB$，$DC$ 两腰上的点，且 $EF// BC$. 若 $AE = 2$，$AB = 5$，且梯形 $AEFD$ 与梯形 $EBCF$ 相似，则 $BC$ 与 $AD$ 的比值为()


A.$\frac{9}{4}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\frac{4}{9}$
D.$\frac{5}{2}$

A

∵梯形AEFD与梯形EBCF相似，且EF//BC//AD，∴对应边成比例，相似比为$\frac{AE}{EB}$。
∵AE=2，AB=5，∴EB=AB-AE=3，相似比$k=\frac{AE}{EB}=\frac{2}{3}$。
由相似梯形对应底成比例得：$\frac{AD}{EF}=k=\frac{2}{3}$，$\frac{EF}{BC}=k=\frac{2}{3}$。
∴$AD=\frac{2}{3}EF$，$EF=\frac{2}{3}BC$，则$AD=\frac{2}{3}×\frac{2}{3}BC=\frac{4}{9}BC$。
∴$\frac{BC}{AD}=\frac{9}{4}$。

3. 在设计人体雕像时，使雕像的上部与下部的高度比等于下部与全身的高度比，可以增加视觉美感.按此比例，如果雕像的高为 $2m$，设它的下部的高度应设计为 $x m$，则 $x$ 满足的关系式为()

A.$(2 - x):x = x:2$
B.$x:(2 - x) = (2 - x):2$
C.$(1 - x):x = x:1$
D.$(1 - x):2x = 1:x$

A

设下部的高度为$x \, \mathrm{m}$，则上部的高度为$2 - x \, \mathrm{m}$。根据题意，上部与下部的高度比等于下部与全身的高度比，即：
$\frac{2 - x}{x} = \frac{x}{2}$
整理后得到：
$(2 - x):x = x:2$
此方程对应选项A。

4. 已知线段 $a$，$b$，$c$，若 $a:b:c = 2:3:5$，且 $3a - 2b + 5c = 25$，则 $a =$，$b =$，$c =$.

$a = \boxed{2}$，$b = \boxed{3}$，$c = \boxed{5}$

已知 $a : b : c = 2 : 3 : 5$，设 $a = 2k$，$b = 3k$，$c = 5k$。
代入方程 $3a - 2b + 5c = 25$，得：
$3(2k) - 2(3k) + 5(5k) = 25$$ $6k - 6k + 25k = 25$$
$25k = 25$$ $k = 1$$
因此：
$a = 2k = 2 × 1 = 2$，
$b = 3k = 3 × 1 = 3$，
$c = 5k = 5 × 1 = 5$。

5. 若 $\frac{b + c}{a} = \frac{a + c}{b} = \frac{a + b}{c}$，则 $\frac{(a + b)(b + c)(c + a)}{abc}$ 的值是.

8

设$\frac{b + c}{a} = \frac{a + c}{b} = \frac{a + b}{c} = k$，则$b + c = ak$，$a + c = bk$，$a + b = ck$。三式相加得$2(a + b + c) = k(a + b + c)$。
若$a + b + c \neq 0$，则$k = 2$，此时$a + b = 2c$，$b + c = 2a$，$c + a = 2b$，代入$\frac{(a + b)(b + c)(c + a)}{abc}$得$\frac{2c · 2a · 2b}{abc} = 8$。
若$a + b + c = 0$，则$a + b = -c$，$b + c = -a$，$c + a = -b$，代入得$\frac{(-c)(-a)(-b)}{abc} = -1$。
因题目未明确限制，通常九年级题目默认$a + b + c \neq 0$，故值为$8$。