问题 如图,$I是\triangle ABC$的内心,$AB = 8$,$BC = 5$,$AC = 7$,求内切圆$\odot I$的半径。
名师指导
由于三角形的内心$I$到三边的距离相等,故可考虑用面积法求解。连接$AI$,$BI$,$CI$,把$\triangle ABC$分割成三个高相等的三角形,因为三角形的三边长是已知的,故关键是求出$\triangle ABC$的面积,可考虑作高$AH$,利用勾股定理求出$AH$来解决问题。
解题示范(学生在教师指导下,独立完成)
解：
]

解：过点A作AH⊥BC于H，设BH=x，则HC=5-x。
在Rt△ABH中，AH²=AB²-BH²=8²-x²=64-x²。
在Rt△AHC中，AH²=AC²-HC²=7²-(5-x)²=49-(25-10x+x²)=24+10x-x²。
∴64-x²=24+10x-x²，解得x=4。
∴AH²=64-4²=48，AH=4√3。
S△ABC=1/2×BC×AH=1/2×5×4√3=10√3。
连接AI、BI、CI，设内切圆半径为r，则S△ABC=S△ABI+S△BCI+S△ACI=1/2×AB×r+1/2×BC×r+1/2×AC×r=1/2×(AB+BC+AC)×r。
∵AB+BC+AC=8+5+7=20，
∴10√3=1/2×20×r，解得r=√3。
答：内切圆⊙I的半径为√3。

1. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,点$D在AC$边上,过$\triangle ABD的内心I作IE\perp BD于点E$。若$BD = 10$,$CD = 4$,则$BE$的长为( )

A.$6$
B.$7$
C.$8$
D.$9$

B

证明：设$AB = AC = x$，则$AD = AC - CD = x - 4$。
在$\triangle ABD$中，内心$I$到三边距离相等，设$I$到$AB$、$AD$、$BD$的距离均为$r$，$AB$、$AD$、$BD$边上的切点分别为$F$、$G$、$E$。
由切线长定理得：$BE = BF$，$DE = DG$，$AF = AG$。
设$BE = BF = m$，$DE = DG = n$，则$m + n = BD = 10$。
$AF = AG = \frac{AB + AD - BD}{2} = \frac{x + (x - 4) - 10}{2} = x - 7$。
在$\triangle ABC$中，由余弦定理：$\cos\angle BAC = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2AB \cdot AC} = \frac{2x^2 - BC^2}{2x^2}$。
在$\triangle ABD$中，$\cos\angle BAC = \frac{AB^2 + AD^2 - BD^2}{2AB \cdot AD} = \frac{x^2 + (x - 4)^2 - 100}{2x(x - 4)}$。
联立得：$\frac{2x^2 - BC^2}{2x^2} = \frac{x^2 + (x - 4)^2 - 100}{2x(x - 4)}$，化简后发现$x$的方程恒成立（或无需具体求$x$）。
因为$BE = m = x - AF = x - (x - 7) = 7$。
故$BE = 7$。
答案：B

2. 点$P为\odot O$外一点,$PA$,$PB分别切\odot O于点A$,$B$,$\angle APB = 50^{\circ}$,点$C为\odot O$上一点(不与$A$,$B$重合),则$\angle ACB$的度数为______$^{\circ}$。

$65°$或$115°$

连接OA，OB。
∵PA，PB切⊙O于A，B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，∠OAP=∠OBP=90°。
在四边形OAPB中，∠APB=50°，
∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠APB=360°-90°-90°-50°=130°。
当点C在优弧AB上时，∠ACB=1/2∠AOB=65°；
当点C在劣弧AB上时，∠ACB=180°-65°=115°。
65°或115°

3. 如图,$\odot O分别切\triangle ABC的三条边AB$,$BC$,$CA于点D$,$E$,$F$。若$AB = 5$,$AC = 6$,$BC = 7$,则$AD = $______,$BE = $______,$CF = $______。

$2:3:4$

解：设$AD = AF = x$，$BD = BE = y$，$CE = CF = z$。
由题意得：
$\begin{cases}x + y = 5 \\y + z = 7 \\x + z = 6\end{cases}$
解得：$x = 2$，$y = 3$，$z = 4$。
$AD = 2$，$BE = 3$，$CF = 4$。

4. 如图,$Rt\triangle ABC的两直角边AC = 4$,$BC = 3$,它的内切圆$\odot O与边AB$,$BC$,$AC分别相切于点D$,$E$,$F$,则$\odot O$的半径长为______。

1

解：在$Rt\triangle ABC$中，$AC=4$，$BC=3$，
由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5$。
设$\odot O$的半径为$r$，
因为$\odot O$是$Rt\triangle ABC$的内切圆，
所以$r=\frac{AC+BC-AB}{2}=\frac{4+3-5}{2}=1$。
故$\odot O$的半径长为$1$。

5. 如图,$PA$,$PB是\odot O$的切线,$CD切\odot O于点E$,$PA = 6$,$\angle APB = 60^{\circ}$。求：
(1)$\triangle PDC$的周长；
(2)$\odot O$的半径；
(3)$\angle COD$的度数。

(1)12；
(2)$2\sqrt{3}$；
(3)$60°$