5. 如图,$\odot P与x轴相切于原点O$,点$P坐标为(0,6)$,$A是\odot P$上一点,连接$OA$,作$PD\perp OA$,垂足为$D$,延长$PD交x轴于点B$,连接$AB$。
(1)求证：$AB是\odot P$的切线；
(2)若点$B的坐标为(8,0)$,是否存在到四点$O$,$P$,$A$,$B距离都相等的点Q$？若存在,求点$Q$坐标；若不存在,请说明理由。

(1)$\because PO=PA$，$PD\perp OA$，$\therefore \angle OPD=\angle APD$. $\because \begin{cases} PO=PA, \\ \angle OPB=\angle APB, \\ PB=PB, \end{cases}$ $\therefore \triangle POB\cong \triangle PAB$. $\therefore \angle POB=\angle PAB$. $\because \odot P$与 x 轴相切于原点 O，$\therefore \angle POB=90°$. $\therefore \angle PAB=90°$，$\therefore$ AB 是$\odot P$的切线.
(2)存在到四点 O，P，A，B 距离都相等的点 Q. 当点 Q 在线段 BP 中点时，$\because \angle POB=\angle PAB=90°$，$\therefore QO=QP=BQ=AQ$. 此时点 Q 到四点 O，P，A，B 距离都相等. 点 Q 的坐标为$(4,3)$.

如图,$AB是\odot O$的直径,点$C$,$D都在圆上且在AB$的两侧,连接$AC$,$BC$,过点$D作DE// AC$,交$CB的延长线于点E$,且$BD平分\angle ABE$。
(1)判断直线$DE与\odot O$的位置关系,并说明理由；
(2)若$AB = 10$,$AC = 8$,求线段$BD$的长。
]

(1)相切. 提示：连接 OD，证明$\angle ODE=90°$.
(2)在$Rt\triangle ABC$中，$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=6$. 作$OF\perp BC$，垂足为 F，则$CF=BF=3$. $\because OA=OB$，$CF=BF$，$\therefore$ OF 是$\triangle ABC$的中位线，$\therefore OF=\frac{1}{2}AC=4$，$\angle OFE=\angle E=\angle ODE=90°$，$\therefore$ 四边形 ODEF 是矩形，$\therefore EF=OD=\frac{1}{2}AB=5$，$DE=OF=4$，$\therefore BE=EF-BF=5-3=2$. 在$Rt\triangle BDE$中，$BD=\sqrt{DE^2+BE^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$.

1. 如图,$PA$,$PB为圆O$的切线,切点分别为$A$,$B$,$PO交AB于点C$,$PO的延长线交圆O于点D$。下列结论不一定成立的是( )

A.$\triangle BPA$为等腰三角形
B.$AB与PD$相互垂直平分
C.点$A$,$B都在以PO$为直径的圆上
D.$PC为\triangle BPA的边AB$上的中线

B

证明：
选项A：
∵PA、PB为圆O切线，
∴PA=PB，故△BPA为等腰三角形，A成立。
选项B：
∵PD为圆O直径，AB为弦，PD⊥AB（切线长定理），但AB平分PD需PO=OD且PC=CD，而PO＞OD（P在圆外），故AB不平分PD，B不一定成立。
选项C：连接OA、OB，则OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，故A、B在以PO为直径的圆上（直径所对圆周角为直角），C成立。
选项D：
∵△BPA为等腰三角形，PD⊥AB，
∴PC为AB边上中线（等腰三角形三线合一），D成立。
结论：B

2. 如图,$\triangle ABC的内切圆的三个切点分别为D$,$E$,$F$,$\angle A = 75^{\circ}$,$\angle B = 45^{\circ}$,则圆心角$\angle EOF = $______度。

$120°$

解：在$\triangle ABC$中，$\angle A=75°$，$\angle B=45°$，
$\angle C=180°-\angle A-\angle B=180°-75°-45°=60°$。
$\because E$，$F$为内切圆$\odot O$的切点，
$\therefore OE\perp BC$，$OF\perp AC$，
$\therefore \angle OEC=\angle OFC=90°$。
在四边形$OECF$中，
$\angle EOF=360°-\angle OEC-\angle OFC-\angle C=360°-90°-90°-60°=120°$。
$120$

3. 已知三角形的三边长分别是$5$,$7$,$8$,面积等于$10\sqrt{5}$,则此三角形的内切圆的半径是______,内切圆的面积是______。

$\sqrt{5}\pi$

设三角形的内切圆半径为$r$，三角形的面积为$S$，周长为$C$。
已知三角形三边长分别为$5$，$7$，$8$，则周长$C = 5 + 7 + 8 = 20$，面积$S = 10\sqrt{5}$。
根据三角形面积与内切圆半径的关系$S=\frac{1}{2}Cr$，可得$10\sqrt{5}=\frac{1}{2}×20× r$，解得$r = \sqrt{5}$。
内切圆面积为$\pi r^2=\pi(\sqrt{5})^2 = 5\pi$。
$\sqrt{5}$，$5\pi$

4. $\triangle ABC的内切圆分别和AB$,$BC$,$CA相切于D$,$E$,$F$,若$\angle B = 35^{\circ}$,$\angle C = 67^{\circ}$,则$\angle DEF = $______$^{\circ}$。

51

在$\triangle ABC$中，$\angle A + \angle B + \angle C = 180°$，已知$\angle B = 35°$，$\angle C = 67°$，则$\angle A = 180° - 35° - 67° = 78°$。
设$\triangle ABC$内切圆圆心为$O$，连接$OD$，$OF$。因为内切圆与$AB$，$AC$相切于$D$，$F$，所以$OD \perp AB$，$OF \perp AC$，即$\angle ODA = \angle OFA = 90°$。
在四边形$ADOF$中，$\angle DOF = 360° - \angle A - \angle ODA - \angle OFA = 360° - 78° - 90° - 90° = 102°$。
因为$\angle DEF$是圆周角，$\angle DOF$是圆心角，且它们所对的弧都是$\overset{\frown}{DF}$，所以$\angle DEF = \frac{1}{2}\angle DOF = \frac{1}{2} × 102° = 51°$。
$51$