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1. 两个数的和为9，积为14，这两个数为
2,7
。答案
1. 2,7
解析
【分析】
已知两个数的和与积求两数，可通过设未知数列一元二次方程求解。我们可以先设其中一个数为x，根据两数和为9，用含x的式子表示出另一个数为(9-x)，再根据两数积为14的等量关系列出方程，最后解方程即可得到这两个数。
【解析】
解：设其中一个数为$ x $，则另一个数为$ 9 - x $，根据题意得：
$ x(9 - x) = 14 $
整理方程，得：$ x^2 - 9x + 14 = 0 $
因式分解，得：$ (x - 2)(x - 7) = 0 $
解得：$ x_1 = 2 $，$ x_2 = 7 $
当$ x = 2 $时，另一个数为$ 9 - 2 = 7 $；当$ x = 7 $时，另一个数为$ 9 - 7 = 2 $
所以这两个数为2和7。
【答案】
2,7
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程应用的基础题型，核心是抓住两数和、积的等量关系列方程，解题思路清晰，掌握列方程解应用题的基本步骤即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
已知两个数的和与积求两数，可通过设未知数列一元二次方程求解。我们可以先设其中一个数为x，根据两数和为9，用含x的式子表示出另一个数为(9-x)，再根据两数积为14的等量关系列出方程，最后解方程即可得到这两个数。
【解析】
解：设其中一个数为$ x $，则另一个数为$ 9 - x $，根据题意得：
$ x(9 - x) = 14 $
整理方程，得：$ x^2 - 9x + 14 = 0 $
因式分解，得：$ (x - 2)(x - 7) = 0 $
解得：$ x_1 = 2 $，$ x_2 = 7 $
当$ x = 2 $时，另一个数为$ 9 - 2 = 7 $；当$ x = 7 $时，另一个数为$ 9 - 7 = 2 $
所以这两个数为2和7。
【答案】
2,7
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程应用的基础题型，核心是抓住两数和、积的等量关系列方程，解题思路清晰，掌握列方程解应用题的基本步骤即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
2. 如图是南宋数学家杨辉研究的垛积问题中“圭垛”的示意图，其问题如下：今有圭垛一堆. 上一束，底宽八束，问共几束. 如果将这个圭垛继续堆积下去，从上往下数前
24
的束数之和是300. [提示：$1+2+3+\dots+n=\frac{1}{2}n(n+1)$]答案
2. 24
解析
【分析】
首先观察圭垛的束数规律：从上到下第1层有1束，第2层有2束，……，第n层有n束，因此前n层的总束数为1+2+3+…+n。题目要求总束数为300，结合题干给出的求和公式，可列出关于n的一元二次方程，求解后结合n为正整数的实际意义舍去负根，即可得到答案。
【解析】
设从上往下数前n层的束数之和是300。
根据题意，结合求和公式$1+2+3+\dots+n=\frac{1}{2}n(n+1)$，可得：
$\frac{1}{2}n(n+1)=300$
整理方程，得：
$n^2 +n -600=0$
解这个一元二次方程，判别式$\Delta=1^2 +4×600=2401=49^2$，
因此$n=\frac{-1\pm49}{2}$，
解得$n_1=24$，$n_2=-25$。
由于层数n为正整数，故舍去$n_2=-25$，即n=24。
【答案】
24
【知识点】
1. 一元二次方程应用
2. 数字规律探究
3. 一元二次方程解法
【点评】
本题结合古代数学圭垛问题出题，既考查了学生归纳数字规律的能力，也考查了一元二次方程的求解和实际应用，解题时需注意方程的解要符合实际意义，需舍去不符合要求的负根。
【难度系数】
0.7
首先观察圭垛的束数规律：从上到下第1层有1束，第2层有2束，……，第n层有n束，因此前n层的总束数为1+2+3+…+n。题目要求总束数为300，结合题干给出的求和公式，可列出关于n的一元二次方程，求解后结合n为正整数的实际意义舍去负根，即可得到答案。
【解析】
设从上往下数前n层的束数之和是300。
根据题意，结合求和公式$1+2+3+\dots+n=\frac{1}{2}n(n+1)$，可得：
$\frac{1}{2}n(n+1)=300$
整理方程，得：
$n^2 +n -600=0$
解这个一元二次方程，判别式$\Delta=1^2 +4×600=2401=49^2$，
因此$n=\frac{-1\pm49}{2}$，
解得$n_1=24$，$n_2=-25$。
由于层数n为正整数，故舍去$n_2=-25$，即n=24。
【答案】
24
【知识点】
1. 一元二次方程应用
2. 数字规律探究
3. 一元二次方程解法
【点评】
本题结合古代数学圭垛问题出题，既考查了学生归纳数字规律的能力，也考查了一元二次方程的求解和实际应用，解题时需注意方程的解要符合实际意义，需舍去不符合要求的负根。
【难度系数】
0.7
3. 在某次排球比赛中，参赛的每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，若邀请$x$个球队参加比赛，则可列方程 （
A.$x(x-1)=28$
B.$x(x-1)=14$
C.$\dfrac{x(x-1)}{2}=28$
D.$\dfrac{x(x-1)}{2}=14$
C
）A.$x(x-1)=28$
B.$x(x-1)=14$
C.$\dfrac{x(x-1)}{2}=28$
D.$\dfrac{x(x-1)}{2}=14$
答案
3. C
解析
【分析】
这是单循环比赛场景的一元二次方程应用题，解题思路分三步：①先明确每个球队的比赛场次：x个球队中，每个队需要和除自身外的(x-1)个队各赛1场，若直接累加所有队的场次会得到x(x-1)场；②注意去重：每两个队之间的同一场比赛会被计算2次（比如甲对乙和乙对甲是同一场），因此实际总场次需要除以2；③结合已知总场次28场，即可列出对应方程。
【解析】
解：本次比赛为单循环赛制，即每两队之间仅赛1场。
1. 每个球队需和其余(x-1)个球队各赛1场，不考虑重复的情况下，所有球队的场次总和为$x(x-1)$场；
2. 由于每1场比赛被重复统计了2次，因此实际总比赛场次为$\dfrac{x(x-1)}{2}$；
3. 已知计划安排28场比赛，因此可列方程：$\dfrac{x(x-1)}{2}=28$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程应用；单循环赛计数
【点评】
本题属于基础应用题，核心是掌握单循环赛制的计数规则，解题时要注意避免重复计数的错误，牢记单循环总场次计算公式即可快速作答。
【难度系数】
0.7
这是单循环比赛场景的一元二次方程应用题，解题思路分三步：①先明确每个球队的比赛场次：x个球队中，每个队需要和除自身外的(x-1)个队各赛1场，若直接累加所有队的场次会得到x(x-1)场；②注意去重：每两个队之间的同一场比赛会被计算2次（比如甲对乙和乙对甲是同一场），因此实际总场次需要除以2；③结合已知总场次28场，即可列出对应方程。
【解析】
解：本次比赛为单循环赛制，即每两队之间仅赛1场。
1. 每个球队需和其余(x-1)个球队各赛1场，不考虑重复的情况下，所有球队的场次总和为$x(x-1)$场；
2. 由于每1场比赛被重复统计了2次，因此实际总比赛场次为$\dfrac{x(x-1)}{2}$；
3. 已知计划安排28场比赛，因此可列方程：$\dfrac{x(x-1)}{2}=28$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程应用；单循环赛计数
【点评】
本题属于基础应用题，核心是掌握单循环赛制的计数规则，解题时要注意避免重复计数的错误，牢记单循环总场次计算公式即可快速作答。
【难度系数】
0.7
4. 一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件. 经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件. 每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1 200元？
（1）设每件衣服降价x元，根据题意填写下表：
（2）在(1)的条件下，可列方程：
（1）设每件衣服降价x元，根据题意填写下表：
（2）在(1)的条件下，可列方程：
(40−x)(20+2x)=1 200
.答案
4. (1) 40−x,20+2x (2) (40−x)(20+2x)=1 200
解析
【分析】
解题核心是明确“总利润=单件利润×销售数量”的等量关系。首先分析降价后的单件利润：原本每件盈利为售价减进价即40元，降价x元后，单件盈利减少x元；再分析降价后的销售量：原本每天售20件，每降1元多售2件，降价x元则多售2x件，总销售量为原销量加新增销量。第二问将得到的单件利润、销售量代入总利润公式，即可列出对应方程。
【解析】
（1）首先计算原单件盈利：$120-80=40$元，降价$x$元后，每件盈利为$(40-x)$元；
原销售量为20件，每降价1元多售出2件，降价$x$元后多售出$2x$件，因此总销售量为$(20+2x)$件。
（2）根据“总利润=单件利润×销售数量”，已知总盈利为1200元，代入上述两个代数式，可得方程$(40-x)(20+2x)=1200$。
【答案】
（1）$40-x$，$20+2x$；（2）$(40-x)(20+2x)=1200$
【知识点】
销售利润计算；列代数式；一元二次方程应用
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，解题关键是准确梳理降价后单件利润和销售量的变化规律，牢记总利润的计算公式即可顺利求解，是一元二次方程应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
解题核心是明确“总利润=单件利润×销售数量”的等量关系。首先分析降价后的单件利润：原本每件盈利为售价减进价即40元，降价x元后，单件盈利减少x元；再分析降价后的销售量：原本每天售20件，每降1元多售2件，降价x元则多售2x件，总销售量为原销量加新增销量。第二问将得到的单件利润、销售量代入总利润公式，即可列出对应方程。
【解析】
（1）首先计算原单件盈利：$120-80=40$元，降价$x$元后，每件盈利为$(40-x)$元；
原销售量为20件，每降价1元多售出2件，降价$x$元后多售出$2x$件，因此总销售量为$(20+2x)$件。
（2）根据“总利润=单件利润×销售数量”，已知总盈利为1200元，代入上述两个代数式，可得方程$(40-x)(20+2x)=1200$。
【答案】
（1）$40-x$，$20+2x$；（2）$(40-x)(20+2x)=1200$
【知识点】
销售利润计算；列代数式；一元二次方程应用
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，解题关键是准确梳理降价后单件利润和销售量的变化规律，牢记总利润的计算公式即可顺利求解，是一元二次方程应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
5. 如图，一个瓶身部分是圆柱体的瓶子的容积为$100π \ \mathrm{cm}^3$，瓶内装着水. 当瓶子正放时，瓶内水的高度为16 cm；将瓶子倒放时，空余部分的高度为4 cm. 则瓶子的底面半径为 （
A.3 cm
B.$\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
C.2 cm
D.$\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
B
）A.3 cm
B.$\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
C.2 cm
D.$\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
答案
5. B
解析
【分析】
解题的核心是抓住水的体积不变这一要点，瓶子的总容积等于正放时水的体积加上倒放时空余部分的体积，两部分均为规则的圆柱体，都可以用“底面积×高”计算体积。首先设瓶子的底面积为S，根据总容积列方程求出底面积，再结合圆的面积公式列一元二次方程求解底面半径即可。
【解析】
设瓶子圆柱部分的底面积为$ S\ \mathrm{cm}^2 $，底面半径为$ r\ \mathrm{cm} $。
由题意可知，瓶子容积=水的体积+倒放时空余部分的体积：
水的体积为$ 16S $，倒放时空余部分是高为4cm的圆柱，体积为$ 4S $，总容积为$ 100π\ \mathrm{cm}^3 $，因此列方程：
$16S+4S=100π$
合并同类项得：
$20S=100π$
解得：
$S=5π$
又因为圆柱底面积公式为$ S=π r^2 $，将$ S=5π $代入得：
$π r^2=5π$
两边同时除以$ π $得：
$r^2=5$
由于半径为正数，舍去负根，得$ r=\sqrt{5}\ \mathrm{cm} $。
【答案】
B
【知识点】
圆柱体积计算，一元二次方程应用，等积变形
【点评】
本题是结合生活场景的应用题，解题关键是将倒放后不规则的空余部分体积转化为规则的圆柱体积计算，理清等量关系后结合公式列方程即可求解，注意最终半径需取正值。
【难度系数】
0.7
解题的核心是抓住水的体积不变这一要点，瓶子的总容积等于正放时水的体积加上倒放时空余部分的体积，两部分均为规则的圆柱体，都可以用“底面积×高”计算体积。首先设瓶子的底面积为S，根据总容积列方程求出底面积，再结合圆的面积公式列一元二次方程求解底面半径即可。
【解析】
设瓶子圆柱部分的底面积为$ S\ \mathrm{cm}^2 $，底面半径为$ r\ \mathrm{cm} $。
由题意可知，瓶子容积=水的体积+倒放时空余部分的体积：
水的体积为$ 16S $，倒放时空余部分是高为4cm的圆柱，体积为$ 4S $，总容积为$ 100π\ \mathrm{cm}^3 $，因此列方程：
$16S+4S=100π$
合并同类项得：
$20S=100π$
解得：
$S=5π$
又因为圆柱底面积公式为$ S=π r^2 $，将$ S=5π $代入得：
$π r^2=5π$
两边同时除以$ π $得：
$r^2=5$
由于半径为正数，舍去负根，得$ r=\sqrt{5}\ \mathrm{cm} $。
【答案】
B
【知识点】
圆柱体积计算，一元二次方程应用，等积变形
【点评】
本题是结合生活场景的应用题，解题关键是将倒放后不规则的空余部分体积转化为规则的圆柱体积计算，理清等量关系后结合公式列方程即可求解，注意最终半径需取正值。
【难度系数】
0.7
6. 有两个正偶数，较小的数比较大的数小4，且积为32，则这两个数是
8,4
。答案
6. 8,4
解析
【分析】
本题是利用一元二次方程求解数字的问题，解题思路清晰：首先根据两个正偶数的差为4的数量关系设未知数，设较小的正偶数为x，则较大的正偶数可表示为x+4；再根据两数乘积为32的等量关系列一元二次方程；最后解方程，结合“正偶数”的限定条件舍去不符合要求的根，就能得到最终结果。
【解析】
设较小的正偶数为$ x $，则较大的正偶数为$ x+4 $。
根据题意两数积为32，可列方程：
$ x(x+4) = 32 $
整理得一元二次方程的一般形式：
$ x^2 + 4x - 32 = 0 $
用因式分解法解方程：
$ (x+8)(x-4) = 0 $
解得$ x_1 = -8 $，$ x_2 = 4 $
因为$ x $是正偶数，所以$ x=-8 $不符合题意，舍去。
因此较小的数为4，较大的数为$ 4+4=8 $。
【答案】
8,4
【知识点】
一元二次方程应用，解一元二次方程，偶数的性质
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础题，解题核心是找准等量关系列方程，求解后要注意结合题干给出的数的属性验证根的合理性，排除不符合要求的解。
【难度系数】
0.9
本题是利用一元二次方程求解数字的问题，解题思路清晰：首先根据两个正偶数的差为4的数量关系设未知数，设较小的正偶数为x，则较大的正偶数可表示为x+4；再根据两数乘积为32的等量关系列一元二次方程；最后解方程，结合“正偶数”的限定条件舍去不符合要求的根，就能得到最终结果。
【解析】
设较小的正偶数为$ x $，则较大的正偶数为$ x+4 $。
根据题意两数积为32，可列方程：
$ x(x+4) = 32 $
整理得一元二次方程的一般形式：
$ x^2 + 4x - 32 = 0 $
用因式分解法解方程：
$ (x+8)(x-4) = 0 $
解得$ x_1 = -8 $，$ x_2 = 4 $
因为$ x $是正偶数，所以$ x=-8 $不符合题意，舍去。
因此较小的数为4，较大的数为$ 4+4=8 $。
【答案】
8,4
【知识点】
一元二次方程应用，解一元二次方程，偶数的性质
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础题，解题核心是找准等量关系列方程，求解后要注意结合题干给出的数的属性验证根的合理性，排除不符合要求的解。
【难度系数】
0.9
7. 已知点C在线段AB上，且满足$AC^2=BC· AB$，那么$\frac{BC}{AC}=$
$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
.（结果保留根号）答案
7. $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
解析
【分析】
本题要求线段的比值，我们可以通过设未知比值为参数，将各线段长度用含参数的式子表示，再代入题中等量关系得到一元二次方程，求解方程后结合线段比值为正数的实际意义舍去负根即可得到结果。
【解析】
设$\frac{BC}{AC}=x$（$x＞0$，线段长度均为正数，故比值为正），令$AC=a$（$a＞0$），则$BC=xa$。
∵点C在线段AB上，
∴$AB=AC+BC=a+xa=a(1+x)$。
将$AC=a$、$BC=xa$、$AB=a(1+x)$代入$AC^2=BC·AB$，得：
$a^2 = xa·a(1+x)$
∵$a≠0$，等式两边同时除以$a^2$，化简得：
$x^2 + x - 1 = 0$
用求根公式解该一元二次方程：
$x=\frac{-1±\sqrt{1^2 + 4×1×1}}{2×1}=\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$
∵$x＞0$，故舍去负根$x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$，得：
$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
【答案】
$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
【知识点】
黄金分割的定义；一元二次方程的解法；比例的性质
【点评】
本题是比例计算与一元二次方程应用结合的典型题目，解题的关键是合理设参数建立方程，同时要注意结合实际意义对方程的根进行取舍。
【难度系数】
0.7
本题要求线段的比值，我们可以通过设未知比值为参数，将各线段长度用含参数的式子表示，再代入题中等量关系得到一元二次方程，求解方程后结合线段比值为正数的实际意义舍去负根即可得到结果。
【解析】
设$\frac{BC}{AC}=x$（$x＞0$，线段长度均为正数，故比值为正），令$AC=a$（$a＞0$），则$BC=xa$。
∵点C在线段AB上，
∴$AB=AC+BC=a+xa=a(1+x)$。
将$AC=a$、$BC=xa$、$AB=a(1+x)$代入$AC^2=BC·AB$，得：
$a^2 = xa·a(1+x)$
∵$a≠0$，等式两边同时除以$a^2$，化简得：
$x^2 + x - 1 = 0$
用求根公式解该一元二次方程：
$x=\frac{-1±\sqrt{1^2 + 4×1×1}}{2×1}=\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$
∵$x＞0$，故舍去负根$x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$，得：
$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
【答案】
$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
【知识点】
黄金分割的定义；一元二次方程的解法；比例的性质
【点评】
本题是比例计算与一元二次方程应用结合的典型题目，解题的关键是合理设参数建立方程，同时要注意结合实际意义对方程的根进行取舍。
【难度系数】
0.7
8. 某批发市场销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为扩大销量，超市准备适当降价，据测算，每箱每降价1元平均每天可多售出20箱，若要使每天销售饮料获利1440元，则每箱应降价
4
元.答案
8. 4
解析
【分析】
本题属于销售利润类一元二次方程应用题，解题时先抓住核心等量关系：总利润=单件利润×销售数量。第一步设降价金额为未知数x，第二步分别用含x的式子表示出降价后的单箱利润和日销售量，第三步根据总获利1440元列方程求解，最后结合“扩大销量”的实际要求筛选出符合题意的解即可。
【解析】
解：设每箱应降价$ x $元。
降价后每箱利润为$ (12 - x) $元，每天的销售量为$ (100 + 20x) $箱。
根据总利润的等量关系列方程：
$(12 - x)(100 + 20x) = 1440$
展开并整理方程：
$1200 + 240x - 100x - 20x^2 = 1440$
$-20x^2 + 140x - 240 = 0$
两边同时除以$ -20 $化简得：
$x^2 - 7x + 12 = 0$
因式分解得：
$(x - 3)(x - 4) = 0$
解得：$ x_1 = 3 $，$ x_2 = 4 $。
因为要扩大销量，降价越多销售量越大，因此选择$ x = 4 $。
【答案】
4
【知识点】
一元二次方程的应用、销售利润问题、一元二次方程的解法
【点评】
本题考查用方程解决实际销售问题，关键是准确找到等量关系列方程，解题时需注意结合实际背景对方程的根进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
本题属于销售利润类一元二次方程应用题，解题时先抓住核心等量关系：总利润=单件利润×销售数量。第一步设降价金额为未知数x，第二步分别用含x的式子表示出降价后的单箱利润和日销售量，第三步根据总获利1440元列方程求解，最后结合“扩大销量”的实际要求筛选出符合题意的解即可。
【解析】
解：设每箱应降价$ x $元。
降价后每箱利润为$ (12 - x) $元，每天的销售量为$ (100 + 20x) $箱。
根据总利润的等量关系列方程：
$(12 - x)(100 + 20x) = 1440$
展开并整理方程：
$1200 + 240x - 100x - 20x^2 = 1440$
$-20x^2 + 140x - 240 = 0$
两边同时除以$ -20 $化简得：
$x^2 - 7x + 12 = 0$
因式分解得：
$(x - 3)(x - 4) = 0$
解得：$ x_1 = 3 $，$ x_2 = 4 $。
因为要扩大销量，降价越多销售量越大，因此选择$ x = 4 $。
【答案】
4
【知识点】
一元二次方程的应用、销售利润问题、一元二次方程的解法
【点评】
本题考查用方程解决实际销售问题，关键是准确找到等量关系列方程，解题时需注意结合实际背景对方程的根进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
