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8. 洪洪在计算$(-9\frac{15}{16})×16$的过程中，产生了如图2-3-1所示的两种简便计算思路：
在图2-3-1中的“”和“○”内分别填上合适的数，并完成计算。
在图2-3-1中的“”和“○”内分别填上合适的数，并完成计算。
答案
8. 解:""和"○"内分别填的数略。
思路一:原式$=(-10+\frac{1}{16})×16$
$=(-10)×16+\frac{1}{16}×16$
$=-160+1$
$=-159$。
思路二:原式$=(-9-\frac{15}{16})×16$
$=(-9)×16+(-\frac{15}{16})×16$
$=-144+(-15)$
$=-159$。
思路一:原式$=(-10+\frac{1}{16})×16$
$=(-10)×16+\frac{1}{16}×16$
$=-160+1$
$=-159$。
思路二:原式$=(-9-\frac{15}{16})×16$
$=(-9)×16+(-\frac{15}{16})×16$
$=-144+(-15)$
$=-159$。
解析
【分析】
本题考查有理数乘法的简便计算，核心是利用乘法分配律简化运算，避免将带分数转化为假分数的复杂计算。思考路径：①思路一：将$-9\frac{15}{16}$凑成更易计算的整数与分数的和，$-9\frac{15}{16}$比$-10$多$\frac{1}{16}$，因此可拆为$-10+\frac{1}{16}$，再用乘法分配律展开计算；②思路二：直接将带分数拆为整数部分和分数部分的和，负带分数$-9\frac{15}{16}$可拆为$-9+(-\frac{15}{16})$，即$-9-\frac{15}{16}$，再用乘法分配律展开计算即可。
【解析】
思路一：内填$\frac{1}{16}$，计算过程如下：
$\begin{aligned}原式&=(-10+\frac{1}{16})×16\\&=(-10)×16+\frac{1}{16}×16\\&=-160+1\\&=-159\end{aligned}$
思路二：○内填“$-$”，计算过程如下：
$\begin{aligned}原式&=(-9-\frac{15}{16})×16\\&=(-9)×16+(-\frac{15}{16})×16\\&=-144-15\\&=-159\end{aligned}$
【答案】
填$\frac{1}{16}$，○填“$-$”，计算结果为$\boldsymbol{-159}$
【知识点】
乘法分配律；有理数乘法运算；带分数简便拆分
【点评】
本题是有理数运算中典型的简便计算题型，通过对带分数的合理拆分，结合乘法分配律可以大幅降低计算量、减少计算错误，这类拆分化简的思路在有理数混合运算中应用非常广泛，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
本题考查有理数乘法的简便计算，核心是利用乘法分配律简化运算，避免将带分数转化为假分数的复杂计算。思考路径：①思路一：将$-9\frac{15}{16}$凑成更易计算的整数与分数的和，$-9\frac{15}{16}$比$-10$多$\frac{1}{16}$，因此可拆为$-10+\frac{1}{16}$，再用乘法分配律展开计算；②思路二：直接将带分数拆为整数部分和分数部分的和，负带分数$-9\frac{15}{16}$可拆为$-9+(-\frac{15}{16})$，即$-9-\frac{15}{16}$，再用乘法分配律展开计算即可。
【解析】
思路一：内填$\frac{1}{16}$，计算过程如下：
$\begin{aligned}原式&=(-10+\frac{1}{16})×16\\&=(-10)×16+\frac{1}{16}×16\\&=-160+1\\&=-159\end{aligned}$
思路二：○内填“$-$”，计算过程如下：
$\begin{aligned}原式&=(-9-\frac{15}{16})×16\\&=(-9)×16+(-\frac{15}{16})×16\\&=-144-15\\&=-159\end{aligned}$
【答案】
填$\frac{1}{16}$，○填“$-$”，计算结果为$\boldsymbol{-159}$
【知识点】
乘法分配律；有理数乘法运算；带分数简便拆分
【点评】
本题是有理数运算中典型的简便计算题型，通过对带分数的合理拆分，结合乘法分配律可以大幅降低计算量、减少计算错误，这类拆分化简的思路在有理数混合运算中应用非常广泛，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
9. 有时灵活运用乘法对加法的分配律可以简化有理数运算,使计算又快又准,例如逆用乘法对加法的分配律$ab+ac=a(b+c)$,可使运算大大简便,试逆用乘法对加法的分配律计算下列各题:
(1)$(-56)×(-32)+51×(-32);$
(2)$1\frac{1}{2}×\frac{5}{7}-(-\frac{5}{7})×2\frac{1}{2}+(-\frac{5}{2})×\frac{5}{7}。$
(1)$(-56)×(-32)+51×(-32);$
(2)$1\frac{1}{2}×\frac{5}{7}-(-\frac{5}{7})×2\frac{1}{2}+(-\frac{5}{2})×\frac{5}{7}。$
答案
9. 解:(1)原式$=(-32)×(-56+51)=-32×(-5)=160$；
(2)原式$=\frac{5}{7}×(1\frac{1}{2}+2\frac{1}{2}-\frac{5}{2})=\frac{5}{7}×\frac{3}{2}=\frac{15}{14}$。
(2)原式$=\frac{5}{7}×(1\frac{1}{2}+2\frac{1}{2}-\frac{5}{2})=\frac{5}{7}×\frac{3}{2}=\frac{15}{14}$。
解析
【分析】
本题要求逆用乘法分配律简化运算，解题思路如下：首先观察算式中各乘法项的公共因数（即公因式），再将公因式提取出来，把剩余的因数连同符号一同放到括号内进行加减运算，最后计算公因式与括号内结果的乘积即可。第一题的公因式为-32，提取后计算括号内加法再算乘法；第二题先根据有理数减法法则统一符号，再提取公因式$\frac{5}{7}$，合并剩余系数后计算乘积。
【解析】
(1) 观察原式两项均含有公因数$-32$，逆用乘法分配律：
原式$=(-32)×(-56 + 51)$
先计算括号内的加法：$-56+51=-5$
再计算乘法：$(-32)×(-5)=160$
(2) 先根据“减去一个负数等于加上它的相反数”化简原式：
原式$=1\frac{1}{2}×\frac{5}{7} + 2\frac{1}{2}×\frac{5}{7} + (-\frac{5}{2})×\frac{5}{7}$
观察到三项均含有公因数$\frac{5}{7}$，逆用乘法分配律：
原式$=\frac{5}{7}×(1\frac{1}{2} + 2\frac{1}{2} - \frac{5}{2})$
计算括号内的加减：$1\frac{1}{2}+2\frac{1}{2}=4$，$4-\frac{5}{2}=\frac{3}{2}$
再计算乘法：$\frac{5}{7}×\frac{3}{2}=\frac{15}{14}$
【答案】
(1) $160$；(2) $\frac{15}{14}$
【知识点】
逆用乘法分配律、有理数混合运算、有理数符号运算
【点评】
本题重点考查乘法分配律的灵活运用，逆用乘法分配律的核心是准确识别并提取各项的公共因数，运算时需注意符号的正确处理，该方法能大幅简化有理数混合运算步骤，降低计算失误率。
【难度系数】
0.75
本题要求逆用乘法分配律简化运算，解题思路如下：首先观察算式中各乘法项的公共因数（即公因式），再将公因式提取出来，把剩余的因数连同符号一同放到括号内进行加减运算，最后计算公因式与括号内结果的乘积即可。第一题的公因式为-32，提取后计算括号内加法再算乘法；第二题先根据有理数减法法则统一符号，再提取公因式$\frac{5}{7}$，合并剩余系数后计算乘积。
【解析】
(1) 观察原式两项均含有公因数$-32$，逆用乘法分配律：
原式$=(-32)×(-56 + 51)$
先计算括号内的加法：$-56+51=-5$
再计算乘法：$(-32)×(-5)=160$
(2) 先根据“减去一个负数等于加上它的相反数”化简原式：
原式$=1\frac{1}{2}×\frac{5}{7} + 2\frac{1}{2}×\frac{5}{7} + (-\frac{5}{2})×\frac{5}{7}$
观察到三项均含有公因数$\frac{5}{7}$，逆用乘法分配律：
原式$=\frac{5}{7}×(1\frac{1}{2} + 2\frac{1}{2} - \frac{5}{2})$
计算括号内的加减：$1\frac{1}{2}+2\frac{1}{2}=4$，$4-\frac{5}{2}=\frac{3}{2}$
再计算乘法：$\frac{5}{7}×\frac{3}{2}=\frac{15}{14}$
【答案】
(1) $160$；(2) $\frac{15}{14}$
【知识点】
逆用乘法分配律、有理数混合运算、有理数符号运算
【点评】
本题重点考查乘法分配律的灵活运用，逆用乘法分配律的核心是准确识别并提取各项的公共因数，运算时需注意符号的正确处理，该方法能大幅简化有理数混合运算步骤，降低计算失误率。
【难度系数】
0.75
二、拓展性作业
10. 学习完有理数的运算律后，老师给同学们讲解了下面三道例题：
例1：$99×99=99×(100-1)=9900-99=9801$；
例2：$49\ \frac{1}{6}×5=(49+\frac{1}{6})×5=49×5+\frac{1}{6}×5=245\ \frac{5}{6}$；
例3：$-16×299+17×299=(-16+17)×299=299$。
请你参考老师例题的讲解方法，用运算律简便计算：
(1)①$99×(-15)$；②$19\ \frac{1}{16}×4$；
(2)$19×118\ \frac{4}{25}+19×(-\frac{1}{25})-19×18\ \frac{2}{25}$。
10. 学习完有理数的运算律后，老师给同学们讲解了下面三道例题：
例1：$99×99=99×(100-1)=9900-99=9801$；
例2：$49\ \frac{1}{6}×5=(49+\frac{1}{6})×5=49×5+\frac{1}{6}×5=245\ \frac{5}{6}$；
例3：$-16×299+17×299=(-16+17)×299=299$。
请你参考老师例题的讲解方法，用运算律简便计算：
(1)①$99×(-15)$；②$19\ \frac{1}{16}×4$；
(2)$19×118\ \frac{4}{25}+19×(-\frac{1}{25})-19×18\ \frac{2}{25}$。
答案
10. 解:(1)①-1 485；②$76\frac{1}{4}$；(2)$1900\frac{19}{25}$。
解析
【分析】
本题考查运用乘法分配律进行有理数的简便运算，解题思路如下：1. 对于接近整十、整百的整数，可将其拆成整十/整百数与一个较小数的和或差，再利用乘法分配律展开计算，避免直接硬算；2. 对于带分数乘整数的形式，可将带分数拆成整数与分数的和，再用乘法分配律计算；3. 若多个乘法算式中存在相同的因数，可逆用乘法分配律，先提取相同因数，将剩余部分合并计算后再相乘，简化运算过程。
【解析】
(1)① 计算$99×(-15)$：
将99变形为$100-1$，利用乘法分配律计算：
$\begin{aligned}99×(-15)&=(100-1)×(-15)\\&=100×(-15) - 1×(-15)\\&=-1500 + 15\\&=-1485\end{aligned}$
② 计算$19\ \frac{1}{16}×4$：
将带分数拆分为整数加分数的形式，利用乘法分配律计算：
$\begin{aligned}19\ \frac{1}{16}×4&=(19+\frac{1}{16})×4\\&=19×4 + \frac{1}{16}×4\\&=76 + \frac{1}{4}\\&=76\ \frac{1}{4}\end{aligned}$
(2) 计算$19×118\ \frac{4}{25}+19×(-\frac{1}{25})-19×18\ \frac{2}{25}$：
观察到三项均含有公因数19，逆用乘法分配律提取19：
$\begin{aligned}原式&=19×[118\ \frac{4}{25} + (-\frac{1}{25}) - 18\ \frac{2}{25}]\\&=19×[(118 - 18) + (\frac{4}{25} - \frac{1}{25} - \frac{2}{25})]\\&=19×(100 + \frac{1}{25})\\&=19×100 + 19×\frac{1}{25}\\&=1900 + \frac{19}{25}\\&=1900\ \frac{19}{25}\end{aligned}$
【答案】
(1)①$\boxed{-1485}$；②$\boxed{76\ \frac{1}{4}}$；(2)$\boxed{1900\ \frac{19}{25}}$
【知识点】
乘法分配律，有理数简便运算，带分数运算
【点评】
本题侧重考查乘法分配律的灵活运用，通过合理拆分数字、提取公因数的方式，能够大幅降低有理数混合运算的计算量，减少计算失误，是有理数运算阶段必须熟练掌握的核心技巧。
【难度系数】
0.7
本题考查运用乘法分配律进行有理数的简便运算，解题思路如下：1. 对于接近整十、整百的整数，可将其拆成整十/整百数与一个较小数的和或差，再利用乘法分配律展开计算，避免直接硬算；2. 对于带分数乘整数的形式，可将带分数拆成整数与分数的和，再用乘法分配律计算；3. 若多个乘法算式中存在相同的因数，可逆用乘法分配律，先提取相同因数，将剩余部分合并计算后再相乘，简化运算过程。
【解析】
(1)① 计算$99×(-15)$：
将99变形为$100-1$，利用乘法分配律计算：
$\begin{aligned}99×(-15)&=(100-1)×(-15)\\&=100×(-15) - 1×(-15)\\&=-1500 + 15\\&=-1485\end{aligned}$
② 计算$19\ \frac{1}{16}×4$：
将带分数拆分为整数加分数的形式，利用乘法分配律计算：
$\begin{aligned}19\ \frac{1}{16}×4&=(19+\frac{1}{16})×4\\&=19×4 + \frac{1}{16}×4\\&=76 + \frac{1}{4}\\&=76\ \frac{1}{4}\end{aligned}$
(2) 计算$19×118\ \frac{4}{25}+19×(-\frac{1}{25})-19×18\ \frac{2}{25}$：
观察到三项均含有公因数19，逆用乘法分配律提取19：
$\begin{aligned}原式&=19×[118\ \frac{4}{25} + (-\frac{1}{25}) - 18\ \frac{2}{25}]\\&=19×[(118 - 18) + (\frac{4}{25} - \frac{1}{25} - \frac{2}{25})]\\&=19×(100 + \frac{1}{25})\\&=19×100 + 19×\frac{1}{25}\\&=1900 + \frac{19}{25}\\&=1900\ \frac{19}{25}\end{aligned}$
【答案】
(1)①$\boxed{-1485}$；②$\boxed{76\ \frac{1}{4}}$；(2)$\boxed{1900\ \frac{19}{25}}$
【知识点】
乘法分配律，有理数简便运算，带分数运算
【点评】
本题侧重考查乘法分配律的灵活运用，通过合理拆分数字、提取公因数的方式，能够大幅降低有理数混合运算的计算量，减少计算失误，是有理数运算阶段必须熟练掌握的核心技巧。
【难度系数】
0.7
11. 用“△”定义新运算:对于任意有理数a,b,当a≤b时,都有$a△b=a^2×b$;当a＞b时,都有$a△b=a×b^2$。
(1)求$2△6$的值。
(2)定义一种新运算,就要研究它的运算律:
①求$(-1)△(-3)$和$(-3)△(-1)$的值;
②这个计算结果说明了这个运算满足
(1)求$2△6$的值。
(2)定义一种新运算,就要研究它的运算律:
①求$(-1)△(-3)$和$(-3)△(-1)$的值;
②这个计算结果说明了这个运算满足
乘法交换
律(填运算律)。答案
11. 解:(1)因为当a≤b时，$a△b=a^2×b$，
所以$2△6=2^2×6=4×6=24$。
(2)①因为当a≤b时，$a△b=a^2×b$；当a＞b时，$a△b=a×b^2$，
所以$(-1)△(-3)=(-1)×(-3)^2=-9$，
$(-3)△(-1)=(-3)^2×(-1)=-9$。
②乘法交换。
所以$2△6=2^2×6=4×6=24$。
(2)①因为当a≤b时，$a△b=a^2×b$；当a＞b时，$a△b=a×b^2$，
所以$(-1)△(-3)=(-1)×(-3)^2=-9$，
$(-3)△(-1)=(-3)^2×(-1)=-9$。
②乘法交换。
解析
【分析】
解决新定义运算类题目的核心是先明确运算规则的适用条件：第一步先比较运算符号前后两个数a和b的大小，第二步根据大小关系选择对应的运算公式代入计算。(1)先判断2和6的大小，匹配对应公式代入即可求解；(2)①分别判断两组参与运算的数的大小，对应代入公式计算出结果，②对比两个计算结果，发现交换两个运算数的位置后结果不变，即可得出对应的运算律。
【解析】
(1) 根据新运算规则，当$a≤b$时，$a△b=a^2×b$，因为$2＜6$，满足$a≤b$的条件，因此：
$2△6=2^2×6=4×6=24$
(2)① 计算$(-1)△(-3)$：因为$-1＞-3$，满足$a＞b$的条件，对应公式$a△b=a×b^2$，因此：
$(-1)△(-3)=(-1)×(-3)^2=(-1)×9=-9$
计算$(-3)△(-1)$：因为$-3＜-1$，满足$a≤b$的条件，对应公式$a△b=a^2×b$，因此：
$(-3)△(-1)=(-3)^2×(-1)=9×(-1)=-9$
② 对比两个运算结果，交换两个运算数的位置后运算结果相等，说明该运算满足乘法交换律。
【答案】
(1) $24$
(2)① $(-1)△(-3)=-9$，$(-3)△(-1)=-9$；② 乘法交换
【知识点】
新定义运算，有理数大小比较，有理数乘方运算
【点评】
本题考查新定义运算的理解与应用，解题关键是准确判断两个运算数的大小，匹配对应的运算规则后代入计算，通过运算结果总结运算规律，属于基础运算题，细心审题即可得分。
【难度系数】
0.8
解决新定义运算类题目的核心是先明确运算规则的适用条件：第一步先比较运算符号前后两个数a和b的大小，第二步根据大小关系选择对应的运算公式代入计算。(1)先判断2和6的大小，匹配对应公式代入即可求解；(2)①分别判断两组参与运算的数的大小，对应代入公式计算出结果，②对比两个计算结果，发现交换两个运算数的位置后结果不变，即可得出对应的运算律。
【解析】
(1) 根据新运算规则，当$a≤b$时，$a△b=a^2×b$，因为$2＜6$，满足$a≤b$的条件，因此：
$2△6=2^2×6=4×6=24$
(2)① 计算$(-1)△(-3)$：因为$-1＞-3$，满足$a＞b$的条件，对应公式$a△b=a×b^2$，因此：
$(-1)△(-3)=(-1)×(-3)^2=(-1)×9=-9$
计算$(-3)△(-1)$：因为$-3＜-1$，满足$a≤b$的条件，对应公式$a△b=a^2×b$，因此：
$(-3)△(-1)=(-3)^2×(-1)=9×(-1)=-9$
② 对比两个运算结果，交换两个运算数的位置后运算结果相等，说明该运算满足乘法交换律。
【答案】
(1) $24$
(2)① $(-1)△(-3)=-9$，$(-3)△(-1)=-9$；② 乘法交换
【知识点】
新定义运算，有理数大小比较，有理数乘方运算
【点评】
本题考查新定义运算的理解与应用，解题关键是准确判断两个运算数的大小，匹配对应的运算规则后代入计算，通过运算结果总结运算规律，属于基础运算题，细心审题即可得分。
【难度系数】
0.8
