1. 下列各组数值是二元一次方程$x - 3y = 4$的解的是（）

A.$\begin{cases} x=1, \\ y=-1 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=2, \\ y=1 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=-1, \\ y=-2 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=4, \\ y=-1 \end{cases}$

1.A

【分析】要判断一组数值是不是二元一次方程的解，核心依据是二元一次方程解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。解题时只需将每个选项中的x、y值分别代入方程左边计算，再将计算结果和方程右边的4比较，若相等则为该方程的解，反之则不是，逐个验证即可得出答案。
【解析】已知二元一次方程为$x - 3y = 4$，方程右边的值为4，将各选项逐一代入验证：
选项A：把$\begin{cases} x=1, \\ y=-1 \end{cases}$代入左边，得$1 - 3×(-1) = 1 + 3 = 4$，左边=右边，因此是方程的解；
选项B：把$\begin{cases} x=2, \\ y=1 \end{cases}$代入左边，得$2 - 3×1 = 2 - 3 = -1 ≠ 4$，因此不是方程的解；
选项C：把$\begin{cases} x=-1, \\ y=-2 \end{cases}$代入左边，得$-1 - 3×(-2) = -1 + 6 = 5 ≠ 4$，因此不是方程的解；
选项D：把$\begin{cases} x=4, \\ y=-1 \end{cases}$代入左边，得$4 - 3×(-1) = 4 + 3 = 7 ≠ 4$，因此不是方程的解。
综上，选A。
【答案】A
【知识点】二元一次方程的解的定义；代入求值
【点评】本题属于基础题型，考查二元一次方程解的判定方法，代入验证法是解决此类问题的常用方法，熟练掌握即可快速得分。
【难度系数】0.9

2. 已知$\begin{cases}x=-1, \\ y=2\end{cases}$是二元一次方程组$\begin{cases}3x+2y=m, \\ nx-y=1\end{cases}$的解，则$m-n$的值是（ ）

A.1
B.2
C.3
D.4

2.D

【分析】
要解决这道题，首先需明确二元一次方程组解的定义：能使方程组中两个方程都成立的未知数的值就是方程组的解。因此我们可以先把已知的$x=-1$、$y=2$代入方程组的两个方程中，分别求出$m$和$n$的值，再计算$m-n$的结果即可。
【解析】
将$\begin{cases}x=-1, \\ y=2\end{cases}$代入方程组$\begin{cases}3x+2y=m, \\ nx-y=1\end{cases}$：
1. 代入第一个方程求$m$：
$3×(-1) + 2×2 = m$
计算左边得：$-3 + 4 = 1$，因此$m=1$；
2. 代入第二个方程求$n$：
$n×(-1) - 2 =1$
移项整理得：$-n=3$，因此$n=-3$；
3. 计算$m-n$的值：
$m-n = 1 - (-3) = 1+3=4$。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组的解；代入求值；代数式运算
【点评】
本题属于基础题，主要考察二元一次方程组解的概念的应用，解题思路清晰，计算难度低，只要掌握方程组的解满足组内所有方程这一要点，代入计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8

3. 用代入法解方程组 $\begin{cases}7x - 2y = 3, \mathrm{①} \\x - 2y = -12, \mathrm{②}\end{cases}$ 有以下步骤:(1)由①得 $2y = 7x - 3$, ③;(2)把③代入①,得 $7x -7x +3 =3$;(3)整理,得 $3=3$;(4)所以 $x$ 可取一切有理数,原方程有无数组解.以上步骤从 ______ (填序号)开始出错.

3.(2)

【分析】
要判断哪一步出错，首先明确代入消元法解二元一次方程组的核心逻辑：将其中一个方程变形，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数后，必须代入另一个未变形的方程，才能达到消去一个未知数的目的。本题步骤(1)从方程①移项得到③是正确的，接下来应将③代入方程②消去y，而题中步骤(2)错误地将③代回了原方程①，无法实现消元，后续推导都无意义，因此从步骤(2)开始出错。
【解析】
逐步骤验证正确性：
1. 步骤(1)：对①移项，将-2y移到等号右侧，3移到等号左侧，可得$2y=7x-3$，即③，该步运算正确。
2. 步骤(2)：③是由方程①变形得到的，若代回原方程①，相当于将方程①代入自身，只能得到恒等式，无法实现消元求解。代入法要求变形后的式子必须代入另一个未参与变形的方程②，因此该步操作错误，后续步骤都是错误推导的结果。
综上，解题步骤从(2)开始出错。
【答案】
(2)
【知识点】
代入消元法解二元一次方程组、等式的移项变形
【点评】
本题考查代入消元法的易错操作，解题时需注意：变形得到的代数式必须代入未参与变形的另一个方程，否则会出现恒等式，无法求出方程组的解。
【难度系数】
0.7

4. 已知二元一次方程组 $\begin{cases}x=y+5, \\ x+y+m=0\end{cases}$ 和 $\begin{cases}2x - y =5, \\ x+y+m=0\end{cases}$ 有相同的解，则 $m$ 的值是 ______ .

4.5

【分析】
两个二元一次方程组有相同的解，说明这个公共解同时满足所有方程。我们可以先把不含参数$m$的两个方程联立组成新的二元一次方程组，用代入消元法求出$x$和$y$的公共解，再把$x$、$y$代入含有$m$的方程，就能算出$m$的值。具体思路：第一步，提取不含$m$的方程$x=y+5$和$2x-y=5$；第二步，用代入法解这两个方程得到$x$、$y$；第三步，将$x$、$y$代入$x+y+m=0$求$m$。
【解析】
因为两个方程组有相同的解，所以该解同时满足$x=y+5$和$2x-y=5$，联立得方程组：
$\begin{cases}x=y+5 \quad \mathrm{①} \\2x-y=5 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
把①代入②得：
$2(y+5)-y=5$
去括号：$2y+10-y=5$
合并同类项：$y+10=5$
解得：$y=-5$
把$y=-5$代入①得：$x=-5+5=0$
所以公共解为$\begin{cases}x=0 \\ y=-5\end{cases}$
将公共解代入$x+y+m=0$得：
$0+(-5)+m=0$
解得：$m=5$
【答案】
5
【知识点】
同解方程组,代入消元法
【点评】
本题考查同解方程组的应用，核心是理解“相同解”的含义，先通过不含参数的方程求出公共解，再代入含参方程计算参数，是代入消元法的基础应用题型。
【难度系数】
0.7

5. 用代入法解方程组：
(1) $\begin{cases} x = y + 3, \\ y + 3x = 13; \end{cases}$
(2) $\begin{cases} y = 5 - x, \\ x - 2y = 2. \end{cases}$

5. 解:(1) $\begin{cases} x = y + 3,① \\ y + 3x = 13,② \end{cases}$ 把①代入②,得 $y + 3(y + 3) = 13$,整理,得 $4y=4$,所以 $y=1$,把 $y=1$ 代入①,得 $x=4$. 所以原方程组的解为 $\begin{cases} x=4, \\ y=1. \end{cases}$
(2) $\begin{cases} y = 5 - x,① \\ x - 2y = 2,② \end{cases}$ 把①代入②,得 $x - 2(5 - x) = 2$,解得 $x=4$,把 $x=4$ 代入①,得 $y=1$. 所以原方程组的解为 $\begin{cases} x=4, \\ y=1. \end{cases}$

【分析】
本题考查用代入消元法解二元一次方程组，解题思路如下：首先观察方程组特征，两个小题的第一个方程均直接给出了一个未知数用另一个未知数表示的形式，因此只需将该表达式代入第二个方程，即可消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程；求解得到一个未知数的值后，再代回原来的表达式求出另一个未知数的值即可，最后可将解代入原方程组检验是否成立。
【解析】
(1) 对原方程组编号：$\begin{cases} x = y + 3,① \\ y + 3x = 13,② \end{cases}$
把①代入②，得 $y + 3(y + 3) = 13$，
去括号得：$y + 3y + 9 =13$，
合并同类项得：$4y = 4$，
解得 $y=1$，
把 $y=1$ 代入①，得 $x=1+3=4$，
因此原方程组的解为 $\begin{cases} x=4, \\ y=1. \end{cases}$
(2) 对原方程组编号：$\begin{cases} y = 5 - x,① \\ x - 2y = 2,② \end{cases}$
把①代入②，得 $x - 2(5 - x) = 2$，
去括号得：$x -10 +2x =2$，
合并同类项得：$3x =12$，
解得 $x=4$，
把 $x=4$ 代入①，得 $y=5-4=1$，
因此原方程组的解为 $\begin{cases} x=4, \\ y=1. \end{cases}$
【答案】
(1) $\begin{cases} x=4, \\ y=1; \end{cases}$
(2) $\begin{cases} x=4, \\ y=1. \end{cases}$
【知识点】
代入消元法解二元一次方程组，一元一次方程的解法
【点评】
本题是代入消元法的基础应用题型，核心是理解代入消元法“消元”的思想，将二元方程组转化为一元方程求解，计算时要注意去括号的符号和漏乘问题，求出解后可代入原方程组验证，提高正确率。
【难度系数】
0.8

6. 用代入消元法解方程组$\begin{cases}3x + 4y = 2, ①\\2x - y = 5, ②\end{cases}$使得代入后化简比较容易的变形是（ ）

A.由①得$x=\dfrac{2 - 4y}{3}$
B.由①得$x=\dfrac{2 - 3x}{4}$
C.由②得$x=\dfrac{y + 5}{2}$
D.由②得$y=2x - 5$

6.D

【分析】
要找到代入后化简最容易的变形，首先明确代入消元法的变形原则：优先选择系数绝对值为1的未知数进行变形，这样变形后的式子不会出现分母，代入另一个方程时不用处理分数，化简最简便。首先观察方程组的两个方程：方程①中x、y的系数分别是3、4，都不是±1，变形后会出现分母；方程②中y的系数是-1，把y用含x的式子表示时不会产生分母，是最简便的变形方向，再逐一分析选项即可。
【解析】
首先判断变形正确性：选项B中，由①变形得到的式子右侧仍含有x，属于变形错误，直接排除。
分析剩余选项：
A选项，由①得$x=\dfrac{2 - 4y}{3}$，含有分母3，代入后需要处理分数运算，化简繁琐；
C选项，由②得$x=\dfrac{y + 5}{2}$，含有分母2，代入后也需要处理分数运算，不够简便；
D选项，由②移项得$y=2x - 5$，没有分母，代入方程①后直接替换y即可，不需要进行分数运算，化简最容易。
综上，正确选项为D。
【答案】
D
【知识点】
代入消元法；等式的性质
【点评】
本题考查代入消元法解二元一次方程组的变形技巧，牢记优先选取系数绝对值为1的未知数变形的原则，就能快速选出最优变形方式，降低后续计算的出错概率。
【难度系数】
0.85

7. 二元一次方程组$\begin{cases}2x + ky = 6, \\x - 2y = 0\end{cases}$有正整数解，则k的正整数值是（ ）

A.3
B.2
C.1
D.不存在

7.B

【分析】
要解决这道题，我们可以先利用代入消元法消去方程组中的x，得到用k表示y的代数式，再结合“方程组有正整数解、k是正整数”这两个限制条件分析k的取值。首先观察第二个方程很容易变形得到x=2y，代入第一个方程即可消去x，得到y和k的关系，再根据正整数的要求筛选符合条件的k即可。
【解析】
1. 对第二个方程$x-2y=0$移项，得$x=2y$ ③；
2. 将③代入第一个方程$2x+ky=6$，可得：$2×2y + ky=6$；
3. 合并同类项得：$(4+k)y=6$，变形得$y=\frac{6}{4+k}$；
4. 因为方程组的解是正整数，且k为正整数：
首先y为正整数，说明$4+k$是6的正约数，6的正约数有1、2、3、6；
又因为k是正整数，所以$4+k≥4+1=5$，在6的正约数中，满足大于等于5的只有6；
因此$4+k=6$，解得$k=2$，此时$y=1$，$x=2y=2$，均为正整数，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
代入法解二元一次方程组；正整数解应用
【点评】
本题主要考查代入消元法解二元一次方程组的运用，同时结合正整数的性质筛选参数值，解题核心是先消元得到参数与方程解的关系，再根据限制条件确定参数的取值。
【难度系数】
0.7

8. 如果方程组$\begin{cases}2x + y = □, \\x - 2y = 3\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = 5, \\y = △,\end{cases}$那么“$□$”和“$△$”所表示的数分别是（ ）

A.$14,4$
B.$11,1$
C.$9,-1$
D.$6,-4$

8.B

【分析】
解题时首先明确二元一次方程组的解满足方程组中的每一个方程。已知解中x=5，我们可以先把x=5代入第二个不含未知常数的方程x-2y=3，求出y（也就是△）的值，再将求出的x、y的值代入第一个方程，就能算出代表的数值，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
第一步：求△的值
已知方程组的解为$x=5$，将$x=5$代入方程$x-2y=3$中，可得：
$5 - 2y = 3$
移项得：$-2y = 3 - 5$
计算得：$-2y = -2$
系数化为1得：$y = 1$，即$△=1$。
第二步：求的值
将$x=5$，$y=1$代入方程$2x+y=□$中，可得：
$□ = 2×5 + 1 = 10 + 1 = 11$
因此$□=11$，$△=1$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的解、代入法解方程组
【点评】
本题是基础题型，核心是理解二元一次方程组的解的定义，即解要同时满足方程组的所有方程，通过两次代入计算即可得到结果，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8

9. 已知二元一次方程组$\begin{cases}2x - 3y = -1, \\5y - 2x = 3,\end{cases}$用代入消元法消去$x$，得到关于$y$的一元一次方程为 ______ 。

9.$2y=2$

【分析】
本题要求用代入消元法消去x得到关于y的一元一次方程，解题思路如下：首先需要从其中一个方程中，将x相关的项用含y的代数式表示出来，再将这个代数式代入另一个方程，即可消去x，最后通过化简得到只含y的一元一次方程。观察方程组中x的系数分别为2和-2，先对第一个方程变形表示出2x，代入第二个方程时可以避免分数运算，更简便。
【解析】
第一步：对第一个方程进行变形，用含y的代数式表示2x：
由方程$2x - 3y = -1$，移项可得：$2x = 3y - 1$。
第二步：将$2x = 3y - 1$代入第二个方程$5y - 2x = 3$中，替换式子中的$2x$：
$5y - (3y - 1) = 3$。
第三步：化简上述方程：
去括号得：$5y - 3y + 1 = 3$，
合并同类项得：$2y + 1 = 3$，
移项得：$2y = 2$。
【答案】
$2y=2$
【知识点】
代入消元法，二元一次方程组消元，等式变形
【点评】
本题是代入消元法解二元一次方程组的基础考查，解题的关键是准确用含y的代数式正确表示x相关的项，代入时注意符号变化，去括号时不要出现符号错误。
【难度系数】
0.8

10.[学科素养·运算能力]解方程组$\begin{cases}ax + by = 6, \\cx - 4y = -2\end{cases}$时，小强正确解得$\begin{cases}x = 2, \\y = 2,\end{cases}$而小刚看错了$c$，解得$\begin{cases}x = -2, \\y = 4.\end{cases}$
(1)求出方程组中$c$的值；
(2)求$a,b$的值。

10. 解:(1)把 $\begin{cases} x=2, \\ y=2 \end{cases}$ 代入方程组,得 $\begin{cases} a + b = 3, \\ c - 4 = -1, \end{cases}$ 解得 $c=3$.
(2)方程组 $\begin{cases} ax + by = 6,① \\ cx - 4y = -2.② \end{cases}$ 把 $\begin{cases} x=-2, \\ y=4 \end{cases}$ 代入①,得 $-2a + 4b = 6$,即 $a = 2b - 3$,③. 把③代入 $a + b = 3$,得 $2b - 3 + b = 3$,解得 $b=2$. 把 $b=2$ 代入③,得 $a=1$. 则 $a,b$ 的值分别为 1,2.

【分析】
(1) 小强的解是方程组的正确解，满足方程组的所有方程，将其代入含参数$c$的第二个方程，即可直接求出$c$的值；
(2) 小刚仅看错了$c$，说明他求出的解仍然满足不含$c$的第一个方程，结合小强的解也满足第一个方程，可得到两个关于$a$、$b$的方程，联立成二元一次方程组，用代入消元法就能求出$a$、$b$的值。
【解析】
(1) 将小强的正确解$\begin{cases}x = 2, \\y = 2\end{cases}$代入方程$cx - 4y = -2$，可得：
$2c - 4×2 = -2$
化简得$2c - 8 = -2$，解得$c=3$。
(2) 因为小刚仅看错了$c$，所以他的解$\begin{cases}x = -2, \\y = 4\end{cases}$满足方程$ax + by = 6$，代入得：
$-2a + 4b = 6$，整理得$a = 2b - 3$ ①
再将小强的解$\begin{cases}x = 2, \\y = 2\end{cases}$代入$ax + by = 6$，可得：
$2a + 2b = 6$，整理得$a + b = 3$ ②
把①代入②，得$2b - 3 + b = 3$，
解得$b=2$，将$b=2$代入①，得$a=2×2 - 3=1$。
【答案】
(1) $c=3$；
(2) $a=1$，$b=2$
【知识点】
二元一次方程组的解的定义；代入消元法解二元一次方程组
【点评】
本题的易错点是忽略“看错参数的解仍然满足不含该参数的方程”这一规律，核心考查对二元一次方程组解的概念的理解，熟练掌握代入消元法即可顺利求解。
【难度系数】
0.7