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5.如图,小乐和小静一起从点A出发去拍摄木棉树FH.小乐沿着水平面步行17 m到达点B时拍到树顶点F,仰角为63°;小静沿着坡度i=5:12的斜坡步行13 m到达点C时拍到树顶点F,仰角为45°,则这棵木棉树的高度约为
20
m.(结果精确到1 m,参考数据:sin 63°≈0.9,cos 63°≈0.5,tan 63°≈2.0) 答案
5.20
解析
【分析】
本题是解直角三角形的实际应用问题，涉及仰角、坡度两个核心考点。解题思路如下：第一步，过点C作水平线和竖直线的垂线，构造直角三角形与矩形，将分散的已知条件转化到规则图形中；第二步，先利用斜坡的坡度和长度，求出C点的竖直高度、距A点的水平距离；第三步，设树高FH为未知数，结合45°仰角对应的等腰直角三角形的性质，表示出相关水平线段的长度；第四步，利用63°仰角的正切值建立方程，求解即可得到树高。
【解析】
过点C作$CD⊥ AH$于点D，$CE⊥ FH$于点E，则四边形CDHE是矩形，因此$CE=HD$，$CD=EH$。
1. 计算C点的竖直高度与水平偏移量：
斜坡AC的坡度$i=CD:AD=5:12$，$AC=13\mathrm{m}$，设$CD=5k$，$AD=12k$（$k＞0$）。
由勾股定理得：$(5k)^2+(12k)^2=13^2$，解得$k=1$，因此$CD=5\mathrm{m}$，$AD=12\mathrm{m}$，即$EH=5\mathrm{m}$。
2. 设未知数并表示相关线段：
设木棉树高度$FH=x\mathrm{m}$，则$FE=FH-EH=(x-5)\mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ FCE$中，$∠ FCE=45°$，故$△ FCE$为等腰直角三角形，$CE=FE=(x-5)\mathrm{m}$，因此$HD=CE=(x-5)\mathrm{m}$。
则$AH=HD+AD=(x-5)+12=(x+7)\mathrm{m}$，又$AB=17\mathrm{m}$，所以$HB=AH-AB=(x+7)-17=(x-10)\mathrm{m}$。
3. 建立方程求解：
在$\mathrm{Rt}△ FHB$中，$∠ FBH=63°$，由$\tan∠ FBH=\frac{FH}{HB}$，代入$\tan63°\approx2.0$得：
$\frac{x}{x-10}=2$
解得$x=20$。
【答案】
20
【知识点】
解直角三角形的应用，坡度的概念，仰角的概念
【点评】
本题是解直角三角形应用的常规题型，综合考查了坡度、仰角的相关知识，解题的核心是通过作辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为几何计算问题，再结合边角关系建立方程求解。
【难度系数】
0.7
本题是解直角三角形的实际应用问题，涉及仰角、坡度两个核心考点。解题思路如下：第一步，过点C作水平线和竖直线的垂线，构造直角三角形与矩形，将分散的已知条件转化到规则图形中；第二步，先利用斜坡的坡度和长度，求出C点的竖直高度、距A点的水平距离；第三步，设树高FH为未知数，结合45°仰角对应的等腰直角三角形的性质，表示出相关水平线段的长度；第四步，利用63°仰角的正切值建立方程，求解即可得到树高。
【解析】
过点C作$CD⊥ AH$于点D，$CE⊥ FH$于点E，则四边形CDHE是矩形，因此$CE=HD$，$CD=EH$。
1. 计算C点的竖直高度与水平偏移量：
斜坡AC的坡度$i=CD:AD=5:12$，$AC=13\mathrm{m}$，设$CD=5k$，$AD=12k$（$k＞0$）。
由勾股定理得：$(5k)^2+(12k)^2=13^2$，解得$k=1$，因此$CD=5\mathrm{m}$，$AD=12\mathrm{m}$，即$EH=5\mathrm{m}$。
2. 设未知数并表示相关线段：
设木棉树高度$FH=x\mathrm{m}$，则$FE=FH-EH=(x-5)\mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ FCE$中，$∠ FCE=45°$，故$△ FCE$为等腰直角三角形，$CE=FE=(x-5)\mathrm{m}$，因此$HD=CE=(x-5)\mathrm{m}$。
则$AH=HD+AD=(x-5)+12=(x+7)\mathrm{m}$，又$AB=17\mathrm{m}$，所以$HB=AH-AB=(x+7)-17=(x-10)\mathrm{m}$。
3. 建立方程求解：
在$\mathrm{Rt}△ FHB$中，$∠ FBH=63°$，由$\tan∠ FBH=\frac{FH}{HB}$，代入$\tan63°\approx2.0$得：
$\frac{x}{x-10}=2$
解得$x=20$。
【答案】
20
【知识点】
解直角三角形的应用，坡度的概念，仰角的概念
【点评】
本题是解直角三角形应用的常规题型，综合考查了坡度、仰角的相关知识，解题的核心是通过作辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为几何计算问题，再结合边角关系建立方程求解。
【难度系数】
0.7
6. 如图1，棱长为9 cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度BM=7 cm. 将此正方体容器放在坡角为α的斜坡上，此时水面MN恰好与点A齐平，其主视图如图2所示，则tan α=
第6题图 第7题图
$\frac{4}{9}$
.第6题图 第7题图
答案
6.$\frac{4}{9}$
解析
【分析】
解题核心是抓住水的体积不变的特点，第一步先计算水平放置时水的体积，再求出容器倾斜时空余部分的体积；第二步空余部分为直棱柱，结合其垂直主视图方向的棱长为9cm，计算出主视图中空余直角三角形的面积，进而求出三角形短直角边的长度；第三步根据水面始终水平的性质，结合坡角的定义，即可求出tanα的值。
【解析】
1. 计算水的体积和空余体积：
正方体棱长为9cm，水平放置时水面高7cm，
水的体积$V_水=9×9×7=567\ \mathrm{cm}^3$，
正方体总体积$V_总=9×9×9=729\ \mathrm{cm}^3$，
空余部分体积$V_空=V_总-V_水=729-567=162\ \mathrm{cm}^3$。
2. 计算主视图中空余三角形的面积：
倾斜时空余部分是直棱柱，垂直主视图方向的棱长为9cm，设空余三角形面积为$S$，
由直棱柱体积公式$V=S×$棱长，得$S=V_空÷9=162÷9=18\ \mathrm{cm}^2$。
3. 求直角边$DN$的长度：
主视图中$ABCD$是边长9cm的正方形，空余三角形为直角三角形，一条直角边$AD=9\ \mathrm{cm}$，设另一条直角边$DN=x$，
由三角形面积公式：$\frac{1}{2}× AD× x=18$，代入得$\frac{1}{2}×9x=18$，解得$x=4\ \mathrm{cm}$，即$DN=4\ \mathrm{cm}$。
4. 求$\tanα$：
水面始终为水平线，结合坡角的定义，可得$\tanα=\frac{DN}{AD}=\frac{4}{9}$。
【答案】
$\frac{4}{9}$
【知识点】
等积变换，解直角三角形，直棱柱体积计算
【点评】
本题结合生活场景考查几何综合应用，需要学生灵活运用体积不变的性质，将立体问题转化为平面几何问题求解，对学生的空间想象能力和知识迁移能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题核心是抓住水的体积不变的特点，第一步先计算水平放置时水的体积，再求出容器倾斜时空余部分的体积；第二步空余部分为直棱柱，结合其垂直主视图方向的棱长为9cm，计算出主视图中空余直角三角形的面积，进而求出三角形短直角边的长度；第三步根据水面始终水平的性质，结合坡角的定义，即可求出tanα的值。
【解析】
1. 计算水的体积和空余体积：
正方体棱长为9cm，水平放置时水面高7cm，
水的体积$V_水=9×9×7=567\ \mathrm{cm}^3$，
正方体总体积$V_总=9×9×9=729\ \mathrm{cm}^3$，
空余部分体积$V_空=V_总-V_水=729-567=162\ \mathrm{cm}^3$。
2. 计算主视图中空余三角形的面积：
倾斜时空余部分是直棱柱，垂直主视图方向的棱长为9cm，设空余三角形面积为$S$，
由直棱柱体积公式$V=S×$棱长，得$S=V_空÷9=162÷9=18\ \mathrm{cm}^2$。
3. 求直角边$DN$的长度：
主视图中$ABCD$是边长9cm的正方形，空余三角形为直角三角形，一条直角边$AD=9\ \mathrm{cm}$，设另一条直角边$DN=x$，
由三角形面积公式：$\frac{1}{2}× AD× x=18$，代入得$\frac{1}{2}×9x=18$，解得$x=4\ \mathrm{cm}$，即$DN=4\ \mathrm{cm}$。
4. 求$\tanα$：
水面始终为水平线，结合坡角的定义，可得$\tanα=\frac{DN}{AD}=\frac{4}{9}$。
【答案】
$\frac{4}{9}$
【知识点】
等积变换，解直角三角形，直棱柱体积计算
【点评】
本题结合生活场景考查几何综合应用，需要学生灵活运用体积不变的性质，将立体问题转化为平面几何问题求解，对学生的空间想象能力和知识迁移能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
7.某篮球架的侧面示意图如图所示,现测得如下数据:底部支架AB的长为1.74 m,后拉杆AE的倾斜角∠EAB=53°,篮板MN到立柱BC的水平距离BH=1.74 m,在篮板MN另一侧,与篮球架横伸臂DG等高度处安装篮筐.已知篮筐到地面的距离GH的标准高度为3.05 m,则篮球架横伸臂DG的长约为
1.2
m.(结果保留一位小数,参考数据:$\sin 53°\approx\frac{4}{5}$,$\cos 53°\approx\frac{3}{5}$,$\tan 53°\approx\frac{4}{3}$)答案
7.1.2
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先明确线段位置关系：DG、AH是水平线段，GH是竖直线段，过点D作DP⊥AH，可得四边形DGHP为矩形，即DP等于篮筐高度3.05m，DG等于PH。2. 先算出A到H的总水平长度AH=AB+BH。3. 在Rt△ADP中，利用∠EAB=53°的正切值求出AP的长度。4. 用总水平长度AH减去AP即可得到DG的长度。
【解析】
解：过点D作$DP⊥ AH$于点P，
$\because DG// AH$，$GH⊥ AH$，$DP⊥ AH$，
$\therefore$ 四边形$DGHP$是矩形，
$\therefore DP=GH=3.05\ \mathrm{m}$，$DG=PH$。
由题意得$AB=1.74\ \mathrm{m}$，$BH=1.74\ \mathrm{m}$，
$\therefore AH=AB+BH=1.74+1.74=3.48\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADP$中，$∠ DAP=53°$，
$\tan∠ DAP=\frac{DP}{AP}$，
$\therefore AP=\frac{DP}{\tan53°}\approx3.05÷\frac{4}{3}=2.2875\ \mathrm{m}$，
$\therefore DG=PH=AH-AP\approx3.48-2.2875\approx1.2\ \mathrm{m}$。
【答案】
$1.2$
【知识点】
解直角三角形应用，锐角三角函数，矩形的性质
【点评】
本题结合生活场景考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为几何计算问题，能够锻炼学生将知识应用到实际的能力。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：1. 先明确线段位置关系：DG、AH是水平线段，GH是竖直线段，过点D作DP⊥AH，可得四边形DGHP为矩形，即DP等于篮筐高度3.05m，DG等于PH。2. 先算出A到H的总水平长度AH=AB+BH。3. 在Rt△ADP中，利用∠EAB=53°的正切值求出AP的长度。4. 用总水平长度AH减去AP即可得到DG的长度。
【解析】
解：过点D作$DP⊥ AH$于点P，
$\because DG// AH$，$GH⊥ AH$，$DP⊥ AH$，
$\therefore$ 四边形$DGHP$是矩形，
$\therefore DP=GH=3.05\ \mathrm{m}$，$DG=PH$。
由题意得$AB=1.74\ \mathrm{m}$，$BH=1.74\ \mathrm{m}$，
$\therefore AH=AB+BH=1.74+1.74=3.48\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADP$中，$∠ DAP=53°$，
$\tan∠ DAP=\frac{DP}{AP}$，
$\therefore AP=\frac{DP}{\tan53°}\approx3.05÷\frac{4}{3}=2.2875\ \mathrm{m}$，
$\therefore DG=PH=AH-AP\approx3.48-2.2875\approx1.2\ \mathrm{m}$。
【答案】
$1.2$
【知识点】
解直角三角形应用，锐角三角函数，矩形的性质
【点评】
本题结合生活场景考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为几何计算问题，能够锻炼学生将知识应用到实际的能力。
【难度系数】
0.6
8 如图，某社区附近有A、B、C三个快递中转站：B站在A站南偏西$53°$方向上，C站在B站的东北方向上，A站在C站的北偏东$60°$方向上且距离C站4 km处(A、B、C、D在同一平面内)，则B站到C站的距离为
3.4
km.(结果精确到0.1 km.参考数据：$\sqrt{2}\approx1.41,\sqrt{3}\approx1.73,\sqrt{6}\approx2.45$，$\sin 37°\approx\frac{3}{5},\cos 37°\approx\frac{4}{5},\tan 37°\approx\frac{3}{4}$)答案
8.3.4
解析
【分析】
解题时先利用方向角的特征，通过作辅助线将问题转化为直角三角形和矩形的问题求解：首先过点C作CE⊥BD于E、CF⊥AD于F，得到矩形CEDF，可得两组对边相等；再结合AC的长度和A在C北偏东60°的条件，求出CF、AF的长度；接着设CE=x，结合C在B东北方向的性质，用x表示出BE、BC，以及AD、BD的长度；最后在Rt△ABD中利用53°的正切值列方程求出x，即可计算得到BC的长度。
【解析】
解：过点C作$CE⊥ BD$于点E，$CF⊥ AD$于点F。
$\because ∠ D=90°$，$\therefore$ 四边形CEDF是矩形，$\therefore CE=DF$，$CF=DE$。
由题意得$AC=4\mathrm{km}$，A在C的北偏东$60°$方向，
在$\mathrm{Rt}△ ACF$中，$∠ ACF=60°$，
$\therefore CF=AC·\sin60°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\mathrm{km}$，
$AF=AC·\cos60°=4×\frac{1}{2}=2\mathrm{km}$。
设$CE=x\mathrm{km}$，则$DF=x\mathrm{km}$，
$\because$ C在B的东北方向，即$∠ CBE=45°$，
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，$BE=CE=x\mathrm{km}$，$BC=\sqrt{2}CE=\sqrt{2}x\mathrm{km}$，
$\therefore AD=AF+FD=(2+x)\mathrm{km}$，$BD=BE+ED=(x+2\sqrt{3})\mathrm{km}$。
$\because$ B在A的南偏西$53°$方向，$\therefore ∠ BAD=53°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$\tan∠ BAD=\frac{BD}{AD}$，$\tan53°\approx\frac{4}{3}$，
$\therefore \frac{x+2\sqrt{3}}{x+2}=\frac{4}{3}$，
解得$x=6\sqrt{3}-8$，
$\therefore BC=\sqrt{2}x=\sqrt{2}(6\sqrt{3}-8)=6\sqrt{6}-8\sqrt{2}$，
代入参考数据计算：$BC\approx6×2.45 - 8×1.41=3.42\approx3.4\mathrm{km}$。
【答案】
3.4
【知识点】
方向角问题，解直角三角形，矩形的性质
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用问题，核心是通过作辅助线构造直角三角形和矩形，将未知线段用含同一未知数的式子表示，再结合锐角三角函数建立方程求解，既考查了三角函数的应用，也考查了方程思想和转化思想的运用。
【难度系数】
0.6
解题时先利用方向角的特征，通过作辅助线将问题转化为直角三角形和矩形的问题求解：首先过点C作CE⊥BD于E、CF⊥AD于F，得到矩形CEDF，可得两组对边相等；再结合AC的长度和A在C北偏东60°的条件，求出CF、AF的长度；接着设CE=x，结合C在B东北方向的性质，用x表示出BE、BC，以及AD、BD的长度；最后在Rt△ABD中利用53°的正切值列方程求出x，即可计算得到BC的长度。
【解析】
解：过点C作$CE⊥ BD$于点E，$CF⊥ AD$于点F。
$\because ∠ D=90°$，$\therefore$ 四边形CEDF是矩形，$\therefore CE=DF$，$CF=DE$。
由题意得$AC=4\mathrm{km}$，A在C的北偏东$60°$方向，
在$\mathrm{Rt}△ ACF$中，$∠ ACF=60°$，
$\therefore CF=AC·\sin60°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\mathrm{km}$，
$AF=AC·\cos60°=4×\frac{1}{2}=2\mathrm{km}$。
设$CE=x\mathrm{km}$，则$DF=x\mathrm{km}$，
$\because$ C在B的东北方向，即$∠ CBE=45°$，
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，$BE=CE=x\mathrm{km}$，$BC=\sqrt{2}CE=\sqrt{2}x\mathrm{km}$，
$\therefore AD=AF+FD=(2+x)\mathrm{km}$，$BD=BE+ED=(x+2\sqrt{3})\mathrm{km}$。
$\because$ B在A的南偏西$53°$方向，$\therefore ∠ BAD=53°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$\tan∠ BAD=\frac{BD}{AD}$，$\tan53°\approx\frac{4}{3}$，
$\therefore \frac{x+2\sqrt{3}}{x+2}=\frac{4}{3}$，
解得$x=6\sqrt{3}-8$，
$\therefore BC=\sqrt{2}x=\sqrt{2}(6\sqrt{3}-8)=6\sqrt{6}-8\sqrt{2}$，
代入参考数据计算：$BC\approx6×2.45 - 8×1.41=3.42\approx3.4\mathrm{km}$。
【答案】
3.4
【知识点】
方向角问题，解直角三角形，矩形的性质
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用问题，核心是通过作辅助线构造直角三角形和矩形，将未知线段用含同一未知数的式子表示，再结合锐角三角函数建立方程求解，既考查了三角函数的应用，也考查了方程思想和转化思想的运用。
【难度系数】
0.6
9 某校“综合与实践”活动小组的同学要测量两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为65 m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为$70°$，楼CD上点E处的俯角为$30°$。沿水平方向由点O飞行36 m到达点F，此时测得点E处俯角为$60°$，其中点A、B、C、D、E、F、O均在同一竖直平面内，则楼AB与CD之间的距离AC的长约为
78
m.（结果精确到1 m.参考数据：$\sin 70° \approx 0.94$，$\cos 70° \approx 0.34$，$\tan 70° \approx 2.75$，$\sqrt{3} \approx 1.73$）答案
9.78
解析
【分析】
本题属于解直角三角形的实际应用类问题，解题思路可分为三步：1. 过点O作AC的垂线OH，构造含70°俯角的直角三角形OAH，利用三角函数求出A点到H点的水平距离AH；2. 设E点到H点的水平距离HC为x，结合两处观测E点的俯角，用x分别表示出E点到水平线OF的竖直高度，建立方程求解得到HC的长度；3. AC的长度为AH与HC之和，代入数值计算并取近似值即可。
【解析】
解：过点O作$OH⊥ AC$，垂足为H，由题意可知$OH=65\ \mathrm{m}$，$OF=36\ \mathrm{m}$，过E作$EG⊥ OH$于G，四边形EGHC为矩形，故$EG=HC$。
1. 求$AH$的长度：
由观测A点的俯角为$70°$，得$∠ OAH=70°$，在$\mathrm{Rt}△ OAH$中：
$\tan70°=\frac{OH}{AH}$
代入数据得：$AH=\frac{OH}{\tan70°}\approx\frac{65}{2.75}\approx23.64\ \mathrm{m}$
2. 求$HC$的长度：
设$HC=x\ \mathrm{m}$，E点到水平线OF的竖直距离为$h\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ OGE$中，$∠ EOG=30°$，则$\tan30°=\frac{h}{x}$，即$h=\frac{\sqrt{3}}{3}x$；
在$\mathrm{Rt}△ FGE$中，$∠ EFG=60°$，F到E的水平距离为$(x-36)\ \mathrm{m}$，则$\tan60°=\frac{h}{x-36}$，即$h=\sqrt{3}(x-36)$。
联立两个表达式得：
$\frac{\sqrt{3}}{3}x=\sqrt{3}(x-36)$
两边同除以$\sqrt{3}$，化简得：$\frac{1}{3}x=x-36$，解得$x=54$，即$HC=54\ \mathrm{m}$。
3. 计算$AC$的长度：
$AC=AH+HC\approx23.64+54\approx78\ \mathrm{m}$
【答案】
78
【知识点】
解直角三角形的应用；俯角的定义；三角函数计算
【点评】
本题结合实际测量场景考查解直角三角形的相关知识，解题的核心是通过作辅助线构造直角三角形，结合俯角的含义找到边角关系，必要时建立方程求解，计算时注意参考数据的正确使用，最终结果按要求取近似值。
【难度系数】
0.65
本题属于解直角三角形的实际应用类问题，解题思路可分为三步：1. 过点O作AC的垂线OH，构造含70°俯角的直角三角形OAH，利用三角函数求出A点到H点的水平距离AH；2. 设E点到H点的水平距离HC为x，结合两处观测E点的俯角，用x分别表示出E点到水平线OF的竖直高度，建立方程求解得到HC的长度；3. AC的长度为AH与HC之和，代入数值计算并取近似值即可。
【解析】
解：过点O作$OH⊥ AC$，垂足为H，由题意可知$OH=65\ \mathrm{m}$，$OF=36\ \mathrm{m}$，过E作$EG⊥ OH$于G，四边形EGHC为矩形，故$EG=HC$。
1. 求$AH$的长度：
由观测A点的俯角为$70°$，得$∠ OAH=70°$，在$\mathrm{Rt}△ OAH$中：
$\tan70°=\frac{OH}{AH}$
代入数据得：$AH=\frac{OH}{\tan70°}\approx\frac{65}{2.75}\approx23.64\ \mathrm{m}$
2. 求$HC$的长度：
设$HC=x\ \mathrm{m}$，E点到水平线OF的竖直距离为$h\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ OGE$中，$∠ EOG=30°$，则$\tan30°=\frac{h}{x}$，即$h=\frac{\sqrt{3}}{3}x$；
在$\mathrm{Rt}△ FGE$中，$∠ EFG=60°$，F到E的水平距离为$(x-36)\ \mathrm{m}$，则$\tan60°=\frac{h}{x-36}$，即$h=\sqrt{3}(x-36)$。
联立两个表达式得：
$\frac{\sqrt{3}}{3}x=\sqrt{3}(x-36)$
两边同除以$\sqrt{3}$，化简得：$\frac{1}{3}x=x-36$，解得$x=54$，即$HC=54\ \mathrm{m}$。
3. 计算$AC$的长度：
$AC=AH+HC\approx23.64+54\approx78\ \mathrm{m}$
【答案】
78
【知识点】
解直角三角形的应用；俯角的定义；三角函数计算
【点评】
本题结合实际测量场景考查解直角三角形的相关知识，解题的核心是通过作辅助线构造直角三角形，结合俯角的含义找到边角关系，必要时建立方程求解，计算时注意参考数据的正确使用，最终结果按要求取近似值。
【难度系数】
0.65
