1. 如图，$△ ABC$是等边三角形，被一矩形所截，AB被截成三等份，$EH // BC$，则四边形EFGH的面积是$△ ABC$的面积的（）

A.$\dfrac{1}{9}$
B.$\dfrac{4}{9}$
C.$\dfrac{1}{3}$
D.$\dfrac{9}{4}$

1.C

【分析】
解题时首先观察图形特征，矩形的对边互相平行，结合已知$EH// BC$，可得$EH// FG// BC$，根据相似三角形的判定定理，平行于三角形一边的直线截另外两边，所得三角形与原三角形相似，因此$△ AEH$、$△ AFG$均与$△ ABC$相似；已知$AB$被截成三等份，可得到三个三角形的相似比，再利用相似三角形面积比等于相似比的平方，分别求出$△ AEH$、$△ AFG$的面积占$△ ABC$面积的比例，二者作差即可得到四边形$EFGH$的面积占比。
【解析】
设$△ ABC$的面积为$S$。
∵$AB$被截成三等份，
∴$AE:AF:AB=1:2:3$，
∵$EH// BC$，且矩形对边平行，因此$FG// BC$，
∴$△ AEH∽△ ABC$，$△ AFG∽△ ABC$（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）。
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{△ AEH}}{S}=(\frac{AE}{AB})^2=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，即$S_{△ AEH}=\frac{1}{9}S$；
$\frac{S_{△ AFG}}{S}=(\frac{AF}{AB})^2=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$，即$S_{△ AFG}=\frac{4}{9}S$。
因此四边形$EFGH$的面积为：
$S_{四边形EFGH}=S_{△ AFG}-S_{△ AEH}=\frac{4}{9}S-\frac{1}{9}S=\frac{3}{9}S=\frac{1}{3}S$，
即四边形$EFGH$的面积是$△ ABC$面积的$\frac{1}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的面积性质，平行线的性质
【点评】
本题属于相似三角形应用的基础题，核心考查相似三角形的判定及面积比与相似比的关系，解题思路清晰，只要掌握相似三角形的相关性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7

2. 如图，在$△ ABC$中，$DE// BC$，$DF// AC$，若$\frac{AD}{DB}=\frac{1}{2}$，则下列结论正确的是（）

A.$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$
B.$\frac{DE}{DF}=\frac{1}{2}$
C.$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=\frac{1}{4}$
D.$\frac{S_{△ ADE}}{S_{四边形DECF}}=\frac{1}{4}$

2.D

【分析】
解题时首先根据已知的线段比$\frac{AD}{DB}=\frac{1}{2}$推出$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$，再结合两组平行线的条件，先判定$△ ADE ∽ △ ABC$、$△ BDF ∽ △ BAC$，同时得到四边形$DECF$是平行四边形；接下来利用相似三角形的边长比等于相似比、面积比等于相似比的平方这两个性质，逐一验证每个选项的正误即可。
【解析】
已知$\frac{AD}{DB}=\frac{1}{2}$，因此$\frac{AD}{AB}=\frac{AD}{AD+DB}=\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}$，$\frac{BD}{AB}=\frac{2}{3}$。
1. 判断选项A：
$\because DE// BC$，$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$，相似比为$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$，
$\therefore \frac{DE}{BC}=\frac{1}{3}$，故A选项错误。
2. 判断选项C：
相似三角形面积比等于相似比的平方，因此$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，故C选项错误。
3. 判断选项B：
$\because DF// AC$，$DE// BC$，$\therefore$四边形$DECF$是平行四边形，$DE=FC$，$DF=EC$。
又$\because DF// AC$，$\therefore △ BDF ∽ △ BAC$，相似比为$\frac{BD}{AB}=\frac{2}{3}$，$\frac{DF}{AC}=\frac{2}{3}$。
由于$△ ABC$的边$AC$和$BC$长度不一定相等，因此$\frac{DE}{DF}$不一定等于$\frac{1}{2}$，故B选项错误。
4. 判断选项D：
设$S_{△ ADE}=a$，由$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=\frac{1}{9}$得$S_{△ ABC}=9a$。
$△ BDF$与$△ BAC$的相似比为$\frac{2}{3}$，因此$\frac{S_{△ BDF}}{S_{△ ABC}}=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$，即$S_{△ BDF}=4a$。
则$S_{四边形DECF}=S_{△ ABC}-S_{△ ADE}-S_{△ BDF}=9a-a-4a=4a$，
因此$\frac{S_{△ ADE}}{S_{四边形DECF}}=\frac{a}{4a}=\frac{1}{4}$，故D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的性质，平行四边形的判定，平行线分线段成比例
【点评】
本题是相似三角形的基础综合题，解题的核心是准确找到相似三角形并求出对应相似比，结合面积比和相似比的关系即可快速判断选项，是对相似基础应用的常规考查。
【难度系数】
0.7

3. 如图,在边长为6的正方形ABCD中,E为CD上的点,F为BC的中点,HF⊥EF交AB于点H,M、N分别是HF和BF的中点.若MN=1,则DE的长为 （）

A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{3}{2}$
C.2
D.1

3.B 解析:
∵四边形ABCD是边长为6的正方形，
∴∠C=∠B=90°,CD=BC=6.
∵F为BC的中点,HF⊥EF交AB于点H，
∴BF=FC=$\frac{1}{2}$BC=3,∠EFH=90°.
∵M、N分别是HF和BF的中点,且MN=1，
∴HB=2MN=2.
∵∠CEF+∠CFE=90°,∠BFH+∠CFE=90°,
∴∠CEF=∠BFH,
∴△CEF∽△BFH，
∴$\frac{CE}{BF}=\frac{FC}{HB}$,
∴$CE=\frac{BF·FC}{HB}=\frac{3×3}{2}=\frac{9}{2}$,
∴$DE=CD-CE=6-\frac{9}{2}=\frac{3}{2}$.

【分析】
解题时先观察图形中点的特征，M、N分别是HF、BF的中点，可联想到三角形中位线定理，先求出BH的长度；再结合HF⊥EF、正方形的直角特征，利用同角的余角相等得到等角，证明△CEF与△BFH相似，最后利用相似三角形对应边成比例求出CE的长度，用CD减去CE即可得到DE的长。
【解析】
∵四边形ABCD是边长为6的正方形，
∴∠C=∠B=90°，CD=BC=6。
∵F为BC的中点，HF⊥EF交AB于点H，
∴BF=FC=$\frac{1}{2}$BC=3，∠EFH=90°。
∵M、N分别是HF和BF的中点，且MN=1，
∴MN是△HBF的中位线，即HB=2MN=2。
∵∠CEF+∠CFE=90°，∠BFH+∠CFE=180°-∠EFH=90°，
∴∠CEF=∠BFH，
又
∵∠C=∠B=90°，
∴△CEF∽△BFH，
∴$\frac{CE}{BF}=\frac{FC}{HB}$，
代入数值可得$CE=\frac{BF·FC}{HB}=\frac{3×3}{2}=\frac{9}{2}$，
∴$DE=CD-CE=6-\frac{9}{2}=\frac{3}{2}$。
【答案】B
【知识点】正方形的性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质
【点评】本题是几何综合基础题，解题的关键是灵活运用中位线定理求出线段长度，再通过角的关系证明相似三角形，结合相似性质列式计算，对几何逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】0.6

4如图,正方形EGHF的一边在△ABC的边BC上,其余两个顶点分别在边AB、AC上.若△AEF、△BGE、△CHF的面积分别为4、6、3.给出下面四个结论:①△ABC的面积为24;②AE:EB=2:3;③EG=BG;④正方形EGHF的面积为12.上述结论中,正确结论的序号有.

4.②③④

【分析】
首先观察图形，由正方形EGHF的性质可得EF//BC，因此△AEF∽△ABC，可利用相似三角形的性质：相似比等于对应高的比、面积比等于相似比的平方解题。设正方形边长为x，先根据三个小三角形的面积表示出相关线段的长度，列方程求出正方形面积，再逐一验证四个结论即可。
【解析】
设正方形EGHF的边长为$x$，则$EG=GH=HF=EF=x$，且$EG⊥BC$，$FH⊥BC$，$EF//BC$。
1. 求$BG$、$CH$的长度：
$S_{△ BGE}=6$，即$\frac{1}{2} · BG · EG = 6$，代入$EG=x$，得$BG=\frac{12}{x}$；
$S_{△ CHF}=3$，即$\frac{1}{2} · CH · FH =3$，代入$FH=x$，得$CH=\frac{6}{x}$；
因此$BC=BG+GH+HC=\frac{12}{x} +x +\frac{6}{x} =x+\frac{18}{x}$。
2. 求$△ AEF$中$EF$边上的高：
$S_{△ AEF}=4$，底边$EF=x$，设该边上的高为$h$，则$\frac{1}{2} · x · h =4$，得$h=\frac{8}{x}$。
3. 利用相似性质列方程求正方形面积：
∵$EF//BC$，
∴$△ AEF∽△ ABC$，相似比等于对应高的比，即$\frac{EF}{BC}=\frac{h}{h+x}$，代入各表达式：
$\frac{x}{x+\frac{18}{x}}=\frac{\frac{8}{x}}{\frac{8}{x}+x}$，化简得$\frac{x^2}{x^2+18}=\frac{8}{x^2+8}$
交叉相乘整理得$x^4=144$，
∵$x＞0$，
∴$x^2=12$，即正方形面积为12，结论④正确。
4. 验证结论③：
$BG=\frac{12}{x}=\frac{12}{\sqrt{12}}=\sqrt{12}=x=EG$，故$EG=BG$，结论③正确。
5. 验证结论②：
$△ AEF$与$△ ABC$的相似比为$\frac{8}{x^2+8}=\frac{8}{12+8}=\frac{2}{5}$，即$\frac{AE}{AB}=\frac{2}{5}$，因此$AE:EB=2:(5-2)=2:3$，结论②正确。
6. 验证结论①：
相似三角形面积比为相似比的平方，即$S_{△ AEF}:S_{△ ABC}=(\frac{2}{5})^2=\frac{4}{25}$，已知$S_{△ AEF}=4$，故$S_{△ ABC}=25≠24$，结论①错误。
综上，正确结论为②③④。
【答案】
②③④
【知识点】
相似三角形的判定与性质，正方形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是相似三角形实际应用的典型题型，解题关键是利用相似三角形对应高的比等于相似比建立方程，求出正方形面积后即可逐一验证结论，需要学生具备一定的方程思想和运算能力。
【难度系数】
0.65

5.如图,已知在梯形ABCD中,AD//BC,E是边AB上一点,CE与对角线BD交于点F,且$BE^2 = EF · EC$.求证:
(1)$△ ABD ∽ △ FCB$;
(2)$BD · BE = AD · CE$.

5.证明:(1)$\because BE^2 = EF · EC,\therefore \frac{BE}{EF}=\frac{CE}{BE}$.
$\because ∠ BEF=∠ CEB,\therefore △ BEF∽△ CEB$,
$\therefore ∠ EBF=∠ ECB$.
$\because AD// BC,\therefore ∠ ADB=∠ FBC$,
$\therefore △ ABD∽△ FCB$.
(2)$\because △ BEF∽△ CEB,\therefore \frac{BF}{BC}=\frac{BE}{CE}$.
$\because △ ABD∽△ FCB,\therefore \frac{AB}{FC}=\frac{BD}{CB}=\frac{AD}{FB}$,
$\therefore \frac{BF}{BC}=\frac{AD}{BD},\therefore \frac{BE}{CE}=\frac{AD}{BD},\therefore BD·BE=AD·CE$.

【分析】
（1）要证明$△ ABD ∽ △ FCB$，需找到两组对应角相等。首先将已知乘积式$BE^2 = EF · EC$变形为比例式，结合公共角先证$△ BEF ∽ △ CEB$，得到$∠ ABD=∠ FCB$；再利用$AD// BC$的平行线性质得到内错角$∠ ADB=∠ FBC$，即可通过两角对应相等证明相似。
（2）要证明$BD · BE = AD · CE$，先将乘积式转化为比例式$\frac{BE}{CE}=\frac{AD}{BD}$，结合前序已证的两组相似三角形的性质，通过中间比$\frac{BF}{BC}$等量代换，即可得到目标比例式，变形后得证。
【解析】
(1) $\because BE^2 = EF · EC$，由比例的基本性质可得$\frac{BE}{EF}=\frac{CE}{BE}$。
$\because ∠ BEF=∠ CEB$（公共角相等），$\therefore △ BEF∽△ CEB$（两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似），
$\therefore ∠ EBF=∠ ECB$（相似三角形对应角相等），即$∠ ABD=∠ FCB$。
$\because AD// BC$，$\therefore ∠ ADB=∠ FBC$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore △ ABD∽△ FCB$（两角对应相等，两三角形相似）。
(2) $\because △ BEF∽△ CEB$，$\therefore \frac{BF}{BC}=\frac{BE}{CE}$（相似三角形对应边成比例）。
$\because △ ABD∽△ FCB$，$\therefore \frac{AD}{BF}=\frac{BD}{CB}$（相似三角形对应边成比例），变形得$\frac{BF}{BC}=\frac{AD}{BD}$。
等量代换可得$\frac{BE}{CE}=\frac{AD}{BD}$，交叉相乘得$BD·BE=AD·CE$。
【答案】
(1) 证明成立，$△ ABD ∽ △ FCB$；
(2) 证明成立，$BD · BE = AD · CE$。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、平行线的性质
【点评】
本题是相似三角形综合应用的典型题型，解题核心是熟练掌握乘积式与比例式的互化，能通过公共角、平行线性质寻找角的等量关系证明相似，再借助相似三角形性质和中间比代换完成证明，可有效锻炼几何逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7