8.如图，在$△ ABC$中，$∠ CAB=65°$，将$△ ABC$绕点$A$逆时针旋转到$△ AB'C'$的位置，使得$CC'// AB$，则$∠ CAB'$的度数为________.

8.15°

【分析】
解题时首先利用旋转的性质得到相等的边与对应角：$AC=AC'$，$∠ C'AB'=∠ CAB=65°$；再结合$CC'// AB$的条件，根据平行线内错角相等的性质求出$∠ ACC'$的度数；然后由$AC=AC'$可知$△ ACC'$为等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等的性质和三角形内角和定理求出旋转角$∠ C'AC$的度数；最后用$∠ C'AB'$减去$∠ C'AC$即可得到$∠ CAB'$的度数。
【解析】
解：$\because △ ABC$绕点$A$逆时针旋转得到$△ AB'C'$，
$\therefore AC=AC'$，$∠ C'AB'=∠ CAB=65°$，
$\because CC'// AB$，
$\therefore ∠ ACC'=∠ CAB=65°$（两直线平行，内错角相等），
又$\because AC=AC'$，
$\therefore △ ACC'$是等腰三角形，
$\therefore ∠ AC'C=∠ ACC'=65°$，
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ C'AC=180°-∠ ACC'-∠ AC'C=180°-65°-65°=50°$，
$\therefore ∠ CAB'=∠ C'AB'-∠ C'AC=65°-50°=15°$。
【答案】
$15°$
【知识点】
旋转的性质；平行线的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，将旋转、平行线、等腰三角形的相关性质结合考查，解题的关键是准确找到旋转前后的对应边、对应角，理清各角之间的数量关系，此类题型是几何部分的常见考题，需熟练掌握相关性质的灵活应用。
【难度系数】
0.7

9.如图,已知在△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=5,在平面内将△ABC绕点B旋转,旋转后点A的对应点为点A',点C的对应点为点C',若点C'在射线AB上,则AA'的长为.

9.$4\sqrt{13}$或$6\sqrt{13}$

【分析】
首先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB的长度，再结合旋转的性质得到对应边、对应角相等的关系；由于点C'在射线AB上，需分两种情况讨论：①点C'落在线段AB上；②点C'落在线段AB的延长线上，分别求出两种情况下AC'的长度，最后在Rt△AA'C'中用勾股定理计算AA'的长度即可。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13$
由旋转的性质可知：$BC'=BC=5$，$A'C'=AC=12$，$∠ A'C'B=∠ C=90°$，因此$∠ A'C'A=90°$，分两种情况讨论：
1. 当△ABC顺时针旋转，点C'在线段AB上时：
$AC'=AB-BC'=13-5=8$
在Rt△AA'C'中，由勾股定理得：
$AA'=\sqrt{AC'^2+A'C'^2}=\sqrt{8^2+12^2}=\sqrt{208}=4\sqrt{13}$
2. 当△ABC逆时针旋转，点C'在线段AB的延长线上时：
$AC'=AB+BC'=13+5=18$
在Rt△AA'C'中，由勾股定理得：
$AA'=\sqrt{AC'^2+A'C'^2}=\sqrt{18^2+12^2}=\sqrt{468}=6\sqrt{13}$
综上，AA'的长为$4\sqrt{13}$或$6\sqrt{13}$。
【答案】
$4\sqrt{13}$或$6\sqrt{13}$
【知识点】
勾股定理，旋转的性质，分类讨论
【点评】
本题解题的关键是明确射线AB包含线段AB和AB的延长线两种情况，避免漏解，同时要熟练掌握旋转前后图形的对应边、对应角相等的性质，结合勾股定理求解即可。
【难度系数】
0.6

10.如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=135°$，$AC+BC=6$，将$△ ABC$绕点A逆时针旋转$90°$得到$△ ADE$，连接$CD$，$CE$，则$∠ CED=\_\_\_\_\_\_°$，线段$CD$的最小值为________。

10.90，$2\sqrt{6}$

【分析】
首先利用旋转的性质得到对应边、对应角相等以及旋转角为90°，先推导△ACE为等腰直角三角形，进而求出∠CED的度数；再设AC的长度为x，将BC、CE、DE用含x的代数式表示，结合∠CED=90°，用勾股定理写出CD²关于x的二次函数表达式，通过配方求二次函数的最小值，即可得到CD的最小值。
【解析】
1. 求∠CED的度数：
∵ △ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，
∴ AC=AE，∠CAE=90°，∠AED=∠ACB=135°，△ABC≌△ADE，
∴ △ACE是等腰直角三角形，
∴ ∠AEC=45°，
∴ ∠CED=∠AED - ∠AEC =135°-45°=90°。
2. 求线段CD的最小值：
设AC=x，已知AC+BC=6，则BC=6-x，
由旋转性质得DE=BC=6-x，
∵ 等腰Rt△ACE中AC=x，
∴ CE=√2 AC=√2 x，
又
∵ ∠CED=90°，在Rt△CED中，根据勾股定理：
$CD^2=CE^2+DE^2=(\sqrt{2}x)^2+(6-x)^2=2x^2+x^2-12x+36=3x^2-12x+36$，
配方得：$3x^2-12x+36=3(x-2)^2+24$，
∵ 3＞0，
∴ 当x=2时，$CD^2$取最小值24，
∴ CD的最小值为$\sqrt{24}=2\sqrt{6}$。
【答案】
90，$2\sqrt{6}$
【知识点】
旋转的性质，勾股定理，二次函数的最值
【点评】
本题综合考查几何变换与代数求最值的相关知识，解题的关键是利用旋转的性质得到边角关系，通过设参数将线段长度转化为二次函数表达式求最值，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

三、解答题
11.如图,在平面直角坐标系中,$A(2,0),B(3,3)$.
(1)作出与$△ ABO$关于原点$O$对称的图形$△ A_{1}B_{1}O$.
(2)作出$△ ABO$绕原点$O$逆时针旋转$90°$后得到的图形$△ A_{2}B_{2}O$,并写出点$B_{2}$的坐标.

11.(1)如图所示。
(2)如图所示。点$B_2$的坐标为$(-3,3)$。

【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 作关于原点对称的三角形：首先回忆关于原点对称的点的坐标特征：若两点关于原点对称，则它们的横、纵坐标均互为相反数。先求出点A、B关于原点对称的对应点A₁、B₁的坐标，再顺次连接O、A₁、B₁即可得到所求图形。
(2) 作绕原点逆时针旋转90°的三角形：回忆平面直角坐标系中点绕原点逆时针旋转90°的坐标变化规律：点(x,y)绕原点逆时针旋转90°后，对应点的坐标为(-y,x)。先求出点A、B旋转后的对应点A₂、B₂的坐标，再顺次连接O、A₂、B₂即可得到旋转后的图形，同时直接得到B₂的坐标。
【解析】
(1) 求关于原点对称的对应点坐标：
已知A(2,0)，B(3,3)，关于原点对称的点横、纵坐标均取相反数，因此A₁的坐标为(-2,0)，B₁的坐标为(-3,-3)。在坐标系中描出A₁、B₁，顺次连接O、A₁、B₁，即可得到△A₁B₁O。
(2) 求绕原点逆时针旋转90°的对应点坐标：
根据旋转规律，点(x,y)绕原点逆时针旋转90°后对应点为(-y,x)：
点A(2,0)旋转后对应点A₂的坐标为(0,2)；
点B(3,3)旋转后对应点B₂的坐标为(-3,3)。
在坐标系中描出A₂、B₂，顺次连接O、A₂、B₂，即可得到△A₂B₂O。
【答案】
(1) 如图所示。
(2) 如图所示。点$B_2$的坐标为$(-3,3)$。
【知识点】
关于原点对称的坐标性质，旋转变换的坐标规律，坐标系作图
【点评】
本题是平面直角坐标系中图形变换的基础题，核心是掌握对称、旋转变换对应的坐标变化规律，只要准确求出对应点的坐标，就能顺利完成作图和求解。
【难度系数】
0.8

12.如图①,在等边三角形ABC中,点E是边AB上的一点,△BDE是以BE为边的等边三角形.如图②,将△BDE绕点B顺时针方向旋转α后,连接AE,CE,∠AEB=150°,∠BEC=90°.
(1)若α=10°,求∠ACE的度数.
(2)求证: BD=√3 AE.

12.(1)$\because α=10°,\therefore ∠ ABE=10°$,
$\because ∠ AEB=150°,\therefore ∠ BAE=180°-∠ ABE-∠ AEB=20°$,
$\because △ ABC$是等边三角形,$\therefore ∠ BAC=60°,\therefore ∠ CAE=40°$.
$\because ∠ BEC=90°,\therefore ∠ AEC=360°-∠ AEB-∠ BEC=120°$.
$\therefore ∠ ACE=180°-∠ AEC-∠ CAE=20°$.
(2)证明:连接$CD$.
$\because AB=BC,∠ ABE=∠ CBD=α,BE=BD,\therefore △ ABE≌△ CBD(\mathrm{SAS})$,
$\therefore AE=CD,∠ AEB=∠ CDB=150°$,
$\because △ BDE$是等边三角形,$\therefore ∠ BDE=∠ BED=60°,BD=DE$,
$\therefore ∠ EDC=∠ CDB-∠ BDE=150°-60°=90°,∠ CED=∠ BEC-∠ BED=90°-60°=30°$.
在$\mathrm{Rt}△ EDC$中,$CE=2CD$,$\therefore DE=\sqrt{CE^2-CD^2}=\sqrt{3}CD$,
$\therefore BD=\sqrt{3}AE$.

【分析】
(1) 先根据旋转角α的数值确定∠ABE的度数，在△ABE中利用内角和定理求出∠BAE，结合等边△ABC的内角为60°计算出∠CAE；再通过周角的性质求出∠AEC的度数，最后在△AEC中利用内角和定理即可求得∠ACE的度数。
(2) 要证明BD=√3 AE，先构造辅助线连接CD，利用等边三角形的等长边和旋转角相等的条件，证明△ABE≌△CBD，将AE转化为CD，同时得到∠CDB的度数；再结合等边△BDE的性质推导得出△EDC是含30°角的直角三角形，利用直角三角形的边角关系得到DE与CD的数量关系，最后通过BD=DE、CD=AE的等量代换即可证明结论。
【解析】
(1) 已知α=10°，由旋转的性质可得∠ABE=10°，
在△ABE中，∠AEB=150°，根据三角形内角和为180°：
$∠ BAE=180°-∠ ABE-∠ AEB=180°-10°-150°=20°$
∵△ABC是等边三角形，
∴$∠ BAC=60°$，
∴$∠ CAE=∠ BAC-∠ BAE=60°-20°=40°$
又
∵$∠ BEC=90°$，根据周角为360°：
$∠ AEC=360°-∠ AEB-∠ BEC=360°-150°-90°=120°$
在△AEC中，根据三角形内角和为180°：
$∠ ACE=180°-∠ AEC-∠ CAE=180°-120°-40°=20°$
(2) 证明：连接$CD$。
∵△ABC和△BDE都是等边三角形，
∴$AB=BC$，$BE=BD$，$∠ ABC=∠ EBD=60°$，
∴$∠ ABC-∠ EBC=∠ EBD-∠ EBC$，即$∠ ABE=∠ CBD=α$
在△ABE和△CBD中：
$\begin{cases} AB=BC \\ ∠ ABE=∠ CBD \\ BE=BD \end{cases}$
∴$△ ABE≌△ CBD(\mathrm{SAS})$
∴$AE=CD$，$∠ AEB=∠ CDB=150°$
∵△BDE是等边三角形，
∴$∠ BDE=∠ BED=60°$，$BD=DE$
∴$∠ EDC=∠ CDB-∠ BDE=150°-60°=90°$
$∠ CED=∠ BEC-∠ BED=90°-60°=30°$
在$\mathrm{Rt}△EDC$中，$∠ CED=30°$，
∴$CE=2CD$
由勾股定理得：$DE=\sqrt{CE^2-CD^2}=\sqrt{(2CD)^2-CD^2}=\sqrt{3}CD$
又
∵$BD=DE$，$CD=AE$，
∴$BD=\sqrt{3}AE$
【答案】
(1) $\boldsymbol{20°}$
(2) 证明见上述解析，辅助线：
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查了旋转的性质、三角形的角度计算、全等三角形的证明以及特殊直角三角形的边角关系，解题核心是通过构造辅助线完成全等三角形的证明，实现线段和角度的转化，对几何逻辑推导能力有一定的要求。
【难度系数】
0.6