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8.如图，在$△ ABC$中，$∠ CAB=65°$，将$△ ABC$绕点$A$逆时针旋转到$△ AB'C'$的位置，使得$CC'// AB$，则$∠ CAB'$的度数为________.
答案
8.15°
解析
【分析】
解题时首先结合旋转的性质得到相等的边与角：旋转前后对应边相等，对应角相等，因此可得$AC=AC'$，$∠C'AB'=∠CAB=65°$；接下来利用$CC'// AB$的平行关系，由平行线内错角相等得到$∠ACC'$的度数；再由$AC=AC'$判定$△ ACC'$是等腰三角形，结合三角形内角和求出$∠CAC'$的度数；最后用$∠C'AB'$减去$∠CAC'$即可得到$∠CAB'$的度数。
【解析】
解：
∵$△ ABC$绕点$A$逆时针旋转得到$△ AB'C'$，
∴$AC=AC'$，$∠C'AB'=∠CAB=65°$，
∵$CC'// AB$，
∴$∠ACC'=∠CAB=65°$（两直线平行，内错角相等），
∵$AC=AC'$，
∴$△ ACC'$为等腰三角形，$∠AC'C=∠ACC'=65°$，
∴$∠CAC'=180°-∠ACC'-∠AC'C=180°-65°-65°=50°$，
∴$∠CAB'=∠C'AB'-∠CAC'=65°-50°=15°$。
【答案】
$15°$
【知识点】
旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题是几何角度计算的常见题型，解题的核心是熟练掌握旋转、平行线及等腰三角形的相关性质，通过角度的转化与计算即可得出结果，需要注意旋转前后对应边、对应角的对应关系不要混淆。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合旋转的性质得到相等的边与角：旋转前后对应边相等，对应角相等，因此可得$AC=AC'$，$∠C'AB'=∠CAB=65°$；接下来利用$CC'// AB$的平行关系，由平行线内错角相等得到$∠ACC'$的度数；再由$AC=AC'$判定$△ ACC'$是等腰三角形，结合三角形内角和求出$∠CAC'$的度数；最后用$∠C'AB'$减去$∠CAC'$即可得到$∠CAB'$的度数。
【解析】
解：
∵$△ ABC$绕点$A$逆时针旋转得到$△ AB'C'$，
∴$AC=AC'$，$∠C'AB'=∠CAB=65°$，
∵$CC'// AB$，
∴$∠ACC'=∠CAB=65°$（两直线平行，内错角相等），
∵$AC=AC'$，
∴$△ ACC'$为等腰三角形，$∠AC'C=∠ACC'=65°$，
∴$∠CAC'=180°-∠ACC'-∠AC'C=180°-65°-65°=50°$，
∴$∠CAB'=∠C'AB'-∠CAC'=65°-50°=15°$。
【答案】
$15°$
【知识点】
旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题是几何角度计算的常见题型，解题的核心是熟练掌握旋转、平行线及等腰三角形的相关性质，通过角度的转化与计算即可得出结果，需要注意旋转前后对应边、对应角的对应关系不要混淆。
【难度系数】
0.7
9.如图,已知在△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=5,在平面内将△ABC绕点B旋转,旋转后点A的对应点为点A',点C的对应点为点C',若点C'在射线AB上,则AA'的长为
$4\sqrt{13}$或$6\sqrt{13}$
.答案
9.$4\sqrt{13}$或$6\sqrt{13}$
解析
【分析】
首先利用勾股定理计算Rt△ABC的斜边AB的长度；再根据旋转的性质，可得旋转后对应边相等、对应角相等，即BC'=BC=5，A'C'=AC=12，BA'=BA=13，且∠A'C'B=90°；注意“点C'在射线AB上”需分两种情况讨论：①C'落在线段AB上，②C'落在AB的延长线上；最后分别在两种情况下求出AC'的长度，在Rt△A'C'A中用勾股定理计算AA'的长度即可。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13$
由旋转的性质可知：$BC'=BC=5$，$A'C'=AC=12$，$BA'=BA=13$，$∠ A'C'B=∠ C=90°$，即$∠ A'C'A=90°$，分两种情况讨论：
1. 当点C'在线段AB上时：
$AC'=AB-BC'=13-5=8$
在Rt△A'C'A中，由勾股定理得：
$AA'=\sqrt{A'C'^2+AC'^2}=\sqrt{12^2+8^2}=\sqrt{208}=4\sqrt{13}$
2. 当点C'落在AB的延长线上时：
$AC'=AB+BC'=13+5=18$
在Rt△A'C'A中，由勾股定理得：
$AA'=\sqrt{A'C'^2+AC'^2}=\sqrt{12^2+18^2}=\sqrt{468}=6\sqrt{13}$
综上，AA'的长为$4\sqrt{13}$或$6\sqrt{13}$。
【答案】
$4\sqrt{13}$或$6\sqrt{13}$
【知识点】
勾股定理，旋转的性质，分类讨论
【点评】
本题易错点是忽略射线包含线段和线段延长线两种情况，容易漏解，解题时要熟练掌握旋转的性质，结合勾股定理分情况计算即可。
【难度系数】
0.6
首先利用勾股定理计算Rt△ABC的斜边AB的长度；再根据旋转的性质，可得旋转后对应边相等、对应角相等，即BC'=BC=5，A'C'=AC=12，BA'=BA=13，且∠A'C'B=90°；注意“点C'在射线AB上”需分两种情况讨论：①C'落在线段AB上，②C'落在AB的延长线上；最后分别在两种情况下求出AC'的长度，在Rt△A'C'A中用勾股定理计算AA'的长度即可。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13$
由旋转的性质可知：$BC'=BC=5$，$A'C'=AC=12$，$BA'=BA=13$，$∠ A'C'B=∠ C=90°$，即$∠ A'C'A=90°$，分两种情况讨论：
1. 当点C'在线段AB上时：
$AC'=AB-BC'=13-5=8$
在Rt△A'C'A中，由勾股定理得：
$AA'=\sqrt{A'C'^2+AC'^2}=\sqrt{12^2+8^2}=\sqrt{208}=4\sqrt{13}$
2. 当点C'落在AB的延长线上时：
$AC'=AB+BC'=13+5=18$
在Rt△A'C'A中，由勾股定理得：
$AA'=\sqrt{A'C'^2+AC'^2}=\sqrt{12^2+18^2}=\sqrt{468}=6\sqrt{13}$
综上，AA'的长为$4\sqrt{13}$或$6\sqrt{13}$。
【答案】
$4\sqrt{13}$或$6\sqrt{13}$
【知识点】
勾股定理，旋转的性质，分类讨论
【点评】
本题易错点是忽略射线包含线段和线段延长线两种情况，容易漏解，解题时要熟练掌握旋转的性质，结合勾股定理分情况计算即可。
【难度系数】
0.6
10.如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=135°$，$AC+BC=6$，将$△ ABC$绕点A逆时针旋转$90°$得到$△ ADE$，连接$CD$，$CE$，则$∠ CED=\_\_\_\_\_\_°$，线段$CD$的最小值为________。
答案
10.90，$2\sqrt{6}$
解析
【分析】
1. 求∠CED：首先根据旋转的性质，得到对应边相等、对应角相等、旋转角为90°，先判定△ACE是等腰直角三角形，得到底角∠AEC=45°，再结合旋转后∠AED=∠ACB=135°，两角作差即可得到∠CED的度数。
2. 求CD的最小值：设AC=x，用含x的式子表示BC的长度，再根据旋转性质和等腰直角三角形的性质，用含x的式子表示Rt△CED的两条直角边CE、DE的长度，结合勾股定理写出CD²关于x的二次函数，利用二次函数的最值性质即可求出CD的最小值。
【解析】
解：① 计算∠CED的度数：
∵ △ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，
∴ AC=AE，旋转角∠CAE=90°，∠AED=∠ACB=135°，
∴ △ACE是等腰直角三角形，
∴ ∠AEC=45°，
∴ ∠CED=∠AED - ∠AEC = 135° - 45° = 90°。
② 求线段CD的最小值：
设AC=x，已知AC+BC=6，则BC=6-x，
由旋转性质可得DE=BC=6-x，
∵ △ACE是等腰直角三角形，直角边AC=x，
∴ 斜边CE=√2·AC=√2 x，
由①知∠CED=90°，在Rt△CED中，根据勾股定理：
CD² = CE² + DE² = (√2 x)² + (6 - x)² = 2x² + x² - 12x + 36 = 3x² - 12x + 36，
对二次函数配方得：CD² = 3(x - 2)² + 24，
∵ 二次项系数3＞0，
∴ 当x=2时，CD²取得最小值24，
∴ CD的最小值为√24 = 2√6。
【答案】
90，$2\sqrt{6}$
【知识点】
旋转的性质，勾股定理，二次函数的最值
【点评】
本题是几何与代数结合的典型题型，解题的关键是灵活运用旋转的性质得到相等的边和角，再通过构造二次函数求解线段最值，既考查了几何图形的性质，也考查了二次函数的应用，综合性较强。
【难度系数】
0.6
1. 求∠CED：首先根据旋转的性质，得到对应边相等、对应角相等、旋转角为90°，先判定△ACE是等腰直角三角形，得到底角∠AEC=45°，再结合旋转后∠AED=∠ACB=135°，两角作差即可得到∠CED的度数。
2. 求CD的最小值：设AC=x，用含x的式子表示BC的长度，再根据旋转性质和等腰直角三角形的性质，用含x的式子表示Rt△CED的两条直角边CE、DE的长度，结合勾股定理写出CD²关于x的二次函数，利用二次函数的最值性质即可求出CD的最小值。
【解析】
解：① 计算∠CED的度数：
∵ △ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，
∴ AC=AE，旋转角∠CAE=90°，∠AED=∠ACB=135°，
∴ △ACE是等腰直角三角形，
∴ ∠AEC=45°，
∴ ∠CED=∠AED - ∠AEC = 135° - 45° = 90°。
② 求线段CD的最小值：
设AC=x，已知AC+BC=6，则BC=6-x，
由旋转性质可得DE=BC=6-x，
∵ △ACE是等腰直角三角形，直角边AC=x，
∴ 斜边CE=√2·AC=√2 x，
由①知∠CED=90°，在Rt△CED中，根据勾股定理：
CD² = CE² + DE² = (√2 x)² + (6 - x)² = 2x² + x² - 12x + 36 = 3x² - 12x + 36，
对二次函数配方得：CD² = 3(x - 2)² + 24，
∵ 二次项系数3＞0，
∴ 当x=2时，CD²取得最小值24，
∴ CD的最小值为√24 = 2√6。
【答案】
90，$2\sqrt{6}$
【知识点】
旋转的性质，勾股定理，二次函数的最值
【点评】
本题是几何与代数结合的典型题型，解题的关键是灵活运用旋转的性质得到相等的边和角，再通过构造二次函数求解线段最值，既考查了几何图形的性质，也考查了二次函数的应用，综合性较强。
【难度系数】
0.6
三、解答题
11.如图,在平面直角坐标系中,$A(2,0),B(3,3)$.
(1)作出与$△ ABO$关于原点$O$对称的图形$△ A_{1}B_{1}O$.
(2)作出$△ ABO$绕原点$O$逆时针旋转$90°$后得到的图形$△ A_{2}B_{2}O$,并写出点$B_{2}$的坐标.
11.如图,在平面直角坐标系中,$A(2,0),B(3,3)$.
(1)作出与$△ ABO$关于原点$O$对称的图形$△ A_{1}B_{1}O$.
(2)作出$△ ABO$绕原点$O$逆时针旋转$90°$后得到的图形$△ A_{2}B_{2}O$,并写出点$B_{2}$的坐标.
答案
11.(1)如图所示。
(2)如图所示。点$B_2$的坐标为$(-3,3)$。
解析
【分析】
(1) 要作△ABO关于原点O对称的△A₁B₁O，首先回忆关于原点对称的点的坐标特征：点(x,y)关于原点对称的点坐标为(-x,-y)，先求出A、B、O三点的对称点坐标，再依次连接三个对称点即可得到所求图形。
(2) 要作△ABO绕原点O逆时针旋转90°的△A₂B₂O，首先回忆平面直角坐标系中点绕原点逆时针旋转90°的坐标变换规律：点(x,y)逆时针旋转90°后对应点坐标为(-y,x)，先求出A、B、O三点旋转后的对应点坐标，依次连接得到旋转后的图形，再根据所作图形写出B₂的坐标即可。
【解析】
(1) 已知A(2,0)，B(3,3)，O(0,0)：
根据关于原点对称的坐标变换规则，得A对应点A₁的坐标为(-2,0)，B对应点B₁的坐标为(-3,-3)，O对应点仍为O(0,0)；
在坐标系中描出A₁、B₁，顺次连接A₁、B₁、O，得到的△A₁B₁O即为所求。
(2) 根据点绕原点逆时针旋转90°的坐标变换规则：
A(2,0)旋转后对应点A₂的坐标为(0,2)，B(3,3)旋转后对应点B₂的坐标为(-3,3)，O旋转后仍为O(0,0)；
在坐标系中描出A₂、B₂，顺次连接A₂、B₂、O，得到的△A₂B₂O即为所求。
【答案】
11.(1)如图所示。
(2)如图所示。点$B_2$的坐标为$(-3,3)$。
【知识点】
1.关于原点对称的坐标变换
2.旋转作图
3.旋转的坐标变换
【点评】
本题属于平面直角坐标系中图形变换的基础题型，核心是掌握对称、旋转后对应点的坐标变化规律，准确找到对应点后作图即可，是几何变换类的常考基础题。
【难度系数】
0.8
(1) 要作△ABO关于原点O对称的△A₁B₁O，首先回忆关于原点对称的点的坐标特征：点(x,y)关于原点对称的点坐标为(-x,-y)，先求出A、B、O三点的对称点坐标，再依次连接三个对称点即可得到所求图形。
(2) 要作△ABO绕原点O逆时针旋转90°的△A₂B₂O，首先回忆平面直角坐标系中点绕原点逆时针旋转90°的坐标变换规律：点(x,y)逆时针旋转90°后对应点坐标为(-y,x)，先求出A、B、O三点旋转后的对应点坐标，依次连接得到旋转后的图形，再根据所作图形写出B₂的坐标即可。
【解析】
(1) 已知A(2,0)，B(3,3)，O(0,0)：
根据关于原点对称的坐标变换规则，得A对应点A₁的坐标为(-2,0)，B对应点B₁的坐标为(-3,-3)，O对应点仍为O(0,0)；
在坐标系中描出A₁、B₁，顺次连接A₁、B₁、O，得到的△A₁B₁O即为所求。
(2) 根据点绕原点逆时针旋转90°的坐标变换规则：
A(2,0)旋转后对应点A₂的坐标为(0,2)，B(3,3)旋转后对应点B₂的坐标为(-3,3)，O旋转后仍为O(0,0)；
在坐标系中描出A₂、B₂，顺次连接A₂、B₂、O，得到的△A₂B₂O即为所求。
【答案】
11.(1)如图所示。
(2)如图所示。点$B_2$的坐标为$(-3,3)$。
【知识点】
1.关于原点对称的坐标变换
2.旋转作图
3.旋转的坐标变换
【点评】
本题属于平面直角坐标系中图形变换的基础题型，核心是掌握对称、旋转后对应点的坐标变化规律，准确找到对应点后作图即可，是几何变换类的常考基础题。
【难度系数】
0.8
12.如图①,在等边三角形ABC中,点E是边AB上的一点,△BDE是以BE为边的等边三角形.如图②,将△BDE绕点B顺时针方向旋转α后,连接AE,CE,∠AEB=150°,∠BEC=90°.
(1)若α=10°,求∠ACE的度数.
(2)求证: BD=√3 AE.
(1)若α=10°,求∠ACE的度数.
(2)求证: BD=√3 AE.
答案
12.(1)$\because α=10°,\therefore ∠ ABE=10°$,
$\because ∠ AEB=150°,\therefore ∠ BAE=180°-∠ ABE-∠ AEB=20°$,
$\because △ ABC$是等边三角形,$\therefore ∠ BAC=60°,\therefore ∠ CAE=40°$.
$\because ∠ BEC=90°,\therefore ∠ AEC=360°-∠ AEB-∠ BEC=120°$.
$\therefore ∠ ACE=180°-∠ AEC-∠ CAE=20°$.
(2)证明:连接$CD$.
$\because AB=BC,∠ ABE=∠ CBD=α,BE=BD,\therefore △ ABE≌△ CBD(\mathrm{SAS})$,
$\therefore AE=CD,∠ AEB=∠ CDB=150°$,
$\because △ BDE$是等边三角形,$\therefore ∠ BDE=∠ BED=60°,BD=DE$,
$\therefore ∠ EDC=∠ CDB-∠ BDE=150°-60°=90°,∠ CED=∠ BEC-∠ BED=90°-60°=30°$.
在$\mathrm{Rt}△ EDC$中,$CE=2CD$,$\therefore DE=\sqrt{CE^2-CD^2}=\sqrt{3}CD$,
$\therefore BD=\sqrt{3}AE$.
解析
【分析】
(1) 求解∠ACE的度数可按角度推导的思路逐步进行：首先由旋转角α=10°得到∠ABE的度数，在△ABE中利用内角和求出∠BAE，再结合等边△ABC的内角为60°求出∠CAE；接着用周角360°减去已知的∠AEB和∠BEC得到∠AEC，最后在△AEC中利用内角和即可算出∠ACE。
(2) 要证明BD=√3 AE，可通过转化思想推导：BD是等边△BDE的边，和DE相等，因此先添加辅助线连接CD，通过SAS证明△ABE≌△CBD，将AE转化为CD，同时得到∠CDB=150°；再结合等边△BDE的角度特征，推出△EDC是含30°角的直角三角形，利用直角三角形性质和勾股定理得到DE与CD的数量关系，最终替换得到BD与AE的关系。
【解析】
(1) 解：
∵α=10°，
∴∠ABE=10°，
∵∠AEB=150°，
∴∠BAE=180°-∠ABE-∠AEB=20°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠CAE=60°-20°=40°，
∵∠BEC=90°，
∴∠AEC=360°-∠AEB-∠BEC=360°-150°-90°=120°，
∴∠ACE=180°-∠AEC-∠CAE=180°-120°-40°=20°。
(2) 证明：
连接CD。
∵AB=BC，∠ABE=∠CBD=α，BE=BD，
∴△ABE≌△CBD(SAS)，
∴AE=CD，∠AEB=∠CDB=150°，
∵△BDE是等边三角形，
∴∠BDE=∠BED=60°，BD=DE，
∴∠EDC=∠CDB-∠BDE=150°-60°=90°，∠CED=∠BEC-∠BED=90°-60°=30°，
在Rt△EDC中，CE=2CD，
∴$DE=\sqrt{CE^2-CD^2}=\sqrt{(2CD)^2-CD^2}=\sqrt{3}CD$，
∴BD=√3 AE。
【答案】
(1) $\boldsymbol{20°}$
(2) 证明：连接$CD$。
$\because AB=BC,∠ ABE=∠ CBD=α,BE=BD,\therefore △ ABE≌△ CBD(\mathrm{SAS})$,
$\therefore AE=CD,∠ AEB=∠ CDB=150°$,
$\because △ BDE$是等边三角形,$\therefore ∠ BDE=∠ BED=60°,BD=DE$,
$\therefore ∠ EDC=∠ CDB-∠ BDE=150°-60°=90°,∠ CED=∠ BEC-∠ BED=90°-60°=30°$.
在$\mathrm{Rt}△ EDC$中,$CE=2CD$,$\therefore DE=\sqrt{CE^2-CD^2}=\sqrt{3}CD$,
$\therefore BD=\sqrt{3}AE$.
【知识点】
1. 等边三角形的性质
2. 全等三角形的判定与性质
3. 含30°角直角三角形的性质
【点评】
本题是几何旋转类综合题，将等边三角形、全等三角形、直角三角形的性质结合考查，解题的核心是通过添加辅助线构造全等三角形，实现线段与角度的转化，能有效锻炼学生的几何逻辑推理和综合分析能力。
【难度系数】
0.6
(1) 求解∠ACE的度数可按角度推导的思路逐步进行：首先由旋转角α=10°得到∠ABE的度数，在△ABE中利用内角和求出∠BAE，再结合等边△ABC的内角为60°求出∠CAE；接着用周角360°减去已知的∠AEB和∠BEC得到∠AEC，最后在△AEC中利用内角和即可算出∠ACE。
(2) 要证明BD=√3 AE，可通过转化思想推导：BD是等边△BDE的边，和DE相等，因此先添加辅助线连接CD，通过SAS证明△ABE≌△CBD，将AE转化为CD，同时得到∠CDB=150°；再结合等边△BDE的角度特征，推出△EDC是含30°角的直角三角形，利用直角三角形性质和勾股定理得到DE与CD的数量关系，最终替换得到BD与AE的关系。
【解析】
(1) 解：
∵α=10°，
∴∠ABE=10°，
∵∠AEB=150°，
∴∠BAE=180°-∠ABE-∠AEB=20°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠CAE=60°-20°=40°，
∵∠BEC=90°，
∴∠AEC=360°-∠AEB-∠BEC=360°-150°-90°=120°，
∴∠ACE=180°-∠AEC-∠CAE=180°-120°-40°=20°。
(2) 证明：
连接CD。
∵AB=BC，∠ABE=∠CBD=α，BE=BD，
∴△ABE≌△CBD(SAS)，
∴AE=CD，∠AEB=∠CDB=150°，
∵△BDE是等边三角形，
∴∠BDE=∠BED=60°，BD=DE，
∴∠EDC=∠CDB-∠BDE=150°-60°=90°，∠CED=∠BEC-∠BED=90°-60°=30°，
在Rt△EDC中，CE=2CD，
∴$DE=\sqrt{CE^2-CD^2}=\sqrt{(2CD)^2-CD^2}=\sqrt{3}CD$，
∴BD=√3 AE。
【答案】
(1) $\boldsymbol{20°}$
(2) 证明：连接$CD$。
$\because AB=BC,∠ ABE=∠ CBD=α,BE=BD,\therefore △ ABE≌△ CBD(\mathrm{SAS})$,
$\therefore AE=CD,∠ AEB=∠ CDB=150°$,
$\because △ BDE$是等边三角形,$\therefore ∠ BDE=∠ BED=60°,BD=DE$,
$\therefore ∠ EDC=∠ CDB-∠ BDE=150°-60°=90°,∠ CED=∠ BEC-∠ BED=90°-60°=30°$.
在$\mathrm{Rt}△ EDC$中,$CE=2CD$,$\therefore DE=\sqrt{CE^2-CD^2}=\sqrt{3}CD$,
$\therefore BD=\sqrt{3}AE$.
【知识点】
1. 等边三角形的性质
2. 全等三角形的判定与性质
3. 含30°角直角三角形的性质
【点评】
本题是几何旋转类综合题，将等边三角形、全等三角形、直角三角形的性质结合考查，解题的核心是通过添加辅助线构造全等三角形，实现线段与角度的转化，能有效锻炼学生的几何逻辑推理和综合分析能力。
【难度系数】
0.6
