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10.已知函数$y=(m^2 - 2m)x^{m^2 - m - 1}$。
(1)若y是关于x的正比例函数，求m的值。
(2)若y是关于x的反比例函数，求出m的值，并写出此时y与x的函数解析式。
(1)若y是关于x的正比例函数，求m的值。
(2)若y是关于x的反比例函数，求出m的值，并写出此时y与x的函数解析式。
答案
10.(1)y 是关于 x 的正比例函数,则 $m^2 -m -1=1$ 且 $m^2 -2m≠0$,解得 $m=-1$.
(2)y 是关于 x 的反比例函数,则 $m^2 -m -1=-1$ 且 $m^2 -2m≠0$,解得 $m=1$.
y 与 x 的函数解析式为 $y=-\dfrac{1}{x}$.
(2)y 是关于 x 的反比例函数,则 $m^2 -m -1=-1$ 且 $m^2 -2m≠0$,解得 $m=1$.
y 与 x 的函数解析式为 $y=-\dfrac{1}{x}$.
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆正比例函数和反比例函数的定义：
1. 正比例函数的形式为$y=kx$（$k$为常数，且$k≠0$），对应本题中$x$的指数需等于1，且$x$的系数不能为0；
2. 反比例函数的形式为$y=\frac{k}{x}$（也可写作$y=kx^{-1}$，$k$为常数，且$k≠0$），对应本题中$x$的指数需等于-1，且$x$的系数不能为0。
解题时先根据指数要求列方程求出$m$的可能值，再根据系数不为0的条件排除不符合的取值，最终得到正确结果。
【解析】
(1) 若$y$是关于$x$的正比例函数，需同时满足两个条件：
① $x$的指数为1：$m^2 - m - 1 = 1$
整理得$m^2 - m - 2 = 0$，因式分解得$(m-2)(m+1)=0$，解得$m=2$或$m=-1$
② 系数不为0：$m^2 - 2m ≠ 0$，即$m(m-2)≠0$，得$m≠0$且$m≠2$
结合两个条件，排除$m=2$，最终得$m=-1$。
(2) 若$y$是关于$x$的反比例函数，需同时满足两个条件：
① $x$的指数为-1：$m^2 - m -1 = -1$
整理得$m^2 - m = 0$，因式分解得$m(m-1)=0$，解得$m=0$或$m=1$
② 系数不为0：$m^2 -2m≠0$，即$m≠0$且$m≠2$
结合两个条件，排除$m=0$，得$m=1$。
将$m=1$代入原函数，得系数$m^2 -2m = 1^2 -2×1 = -1$，因此此时$y$与$x$的函数解析式为$y=-\frac{1}{x}$。
【答案】
(1) $m=-1$
(2) $m=1$，函数解析式为$y=-\dfrac{1}{x}$
【知识点】
正比例函数的定义，反比例函数的定义，解一元二次方程
【点评】
本题是函数概念类基础题，解题的核心是牢记正比例、反比例函数中自变量指数和系数的限制要求，尤其要注意不要遗漏“系数不为0”这个隐藏条件，避免求出多余的错误解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要回忆正比例函数和反比例函数的定义：
1. 正比例函数的形式为$y=kx$（$k$为常数，且$k≠0$），对应本题中$x$的指数需等于1，且$x$的系数不能为0；
2. 反比例函数的形式为$y=\frac{k}{x}$（也可写作$y=kx^{-1}$，$k$为常数，且$k≠0$），对应本题中$x$的指数需等于-1，且$x$的系数不能为0。
解题时先根据指数要求列方程求出$m$的可能值，再根据系数不为0的条件排除不符合的取值，最终得到正确结果。
【解析】
(1) 若$y$是关于$x$的正比例函数，需同时满足两个条件：
① $x$的指数为1：$m^2 - m - 1 = 1$
整理得$m^2 - m - 2 = 0$，因式分解得$(m-2)(m+1)=0$，解得$m=2$或$m=-1$
② 系数不为0：$m^2 - 2m ≠ 0$，即$m(m-2)≠0$，得$m≠0$且$m≠2$
结合两个条件，排除$m=2$，最终得$m=-1$。
(2) 若$y$是关于$x$的反比例函数，需同时满足两个条件：
① $x$的指数为-1：$m^2 - m -1 = -1$
整理得$m^2 - m = 0$，因式分解得$m(m-1)=0$，解得$m=0$或$m=1$
② 系数不为0：$m^2 -2m≠0$，即$m≠0$且$m≠2$
结合两个条件，排除$m=0$，得$m=1$。
将$m=1$代入原函数，得系数$m^2 -2m = 1^2 -2×1 = -1$，因此此时$y$与$x$的函数解析式为$y=-\frac{1}{x}$。
【答案】
(1) $m=-1$
(2) $m=1$，函数解析式为$y=-\dfrac{1}{x}$
【知识点】
正比例函数的定义，反比例函数的定义，解一元二次方程
【点评】
本题是函数概念类基础题，解题的核心是牢记正比例、反比例函数中自变量指数和系数的限制要求，尤其要注意不要遗漏“系数不为0”这个隐藏条件，避免求出多余的错误解。
【难度系数】
0.7
11.$y=y_1+y_2$，其中$y_1$与$(x-1)$成反比例，$y_2$与$x$成正比例，且当$x=2$时，$y_1=4$，$y=2$.
(1)求$y$关于$x$的函数解析式.
(2)求当$x=3$时$y$的值.
(1)求$y$关于$x$的函数解析式.
(2)求当$x=3$时$y$的值.
答案
11.(1)设 $y_1=\dfrac{k_1}{x-1},y_2=k_2 x,y=\dfrac{k_1}{x-1}+k_2 x$,
把 $x=2,y_1=4,y=2$ 代入得$\begin{cases}4=\dfrac{k_1}{2-1},\\2=\dfrac{k_1}{2-1}+2k_2,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k_1=4,\\k_2=-1.\end{cases}$
∴y 关于 x 的函数解析式为 $y=\dfrac{4}{x-1}-x$.
(2)当 $x=3$ 时,$y=\dfrac{4}{3-1}-3=-1$.
把 $x=2,y_1=4,y=2$ 代入得$\begin{cases}4=\dfrac{k_1}{2-1},\\2=\dfrac{k_1}{2-1}+2k_2,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k_1=4,\\k_2=-1.\end{cases}$
∴y 关于 x 的函数解析式为 $y=\dfrac{4}{x-1}-x$.
(2)当 $x=3$ 时,$y=\dfrac{4}{3-1}-3=-1$.
解析
【分析】
（1）求解y关于x的函数解析式，首先根据正比例、反比例函数的定义，分别设出$y_1$、$y_2$的表达式，进而得到y的含参表达式；再将$x=2$时的$y_1$、y值代入表达式，得到关于参数$k_1$、$k_2$的方程组，解方程组求出参数值，即可确定函数解析式。
（2）求$x=3$时的y值，只需将$x=3$直接代入（1）中求出的函数解析式，计算即可得到结果。
【解析】
(1) 解：根据题意，设$ y_1=\dfrac{k_1}{x-1} $（$ k_1≠0 $），$ y_2=k_2 x $（$ k_2≠0 $），
则$ y = y_1 + y_2 = \dfrac{k_1}{x-1} + k_2 x $。
将$ x=2 $，$ y_1=4 $，$ y=2 $代入得：
$\begin{cases}4=\dfrac{k_1}{2-1} \\2=\dfrac{k_1}{2-1} + 2k_2\end{cases}$
解第一个方程得$ k_1=4 $，将$ k_1=4 $代入第二个方程：
$ 2 = 4 + 2k_2 $，解得$ k_2=-1 $。
∴y关于x的函数解析式为$ y=\dfrac{4}{x-1} - x $。
(2) 把$ x=3 $代入$ y=\dfrac{4}{x-1} - x $得：
$ y=\dfrac{4}{3-1} - 3 = 2 - 3 = -1 $。
【答案】
(1) $ y=\dfrac{4}{x-1}-x $
(2) $-1$
【知识点】
正比例函数的定义，反比例函数的定义，待定系数法求解析式
【点评】
本题属于函数基础题型，解题关键是牢记正、反比例函数的表达式形式，按照待定系数法的步骤求解参数，代入求值时注意运算准确性即可。
【难度系数】
0.8
（1）求解y关于x的函数解析式，首先根据正比例、反比例函数的定义，分别设出$y_1$、$y_2$的表达式，进而得到y的含参表达式；再将$x=2$时的$y_1$、y值代入表达式，得到关于参数$k_1$、$k_2$的方程组，解方程组求出参数值，即可确定函数解析式。
（2）求$x=3$时的y值，只需将$x=3$直接代入（1）中求出的函数解析式，计算即可得到结果。
【解析】
(1) 解：根据题意，设$ y_1=\dfrac{k_1}{x-1} $（$ k_1≠0 $），$ y_2=k_2 x $（$ k_2≠0 $），
则$ y = y_1 + y_2 = \dfrac{k_1}{x-1} + k_2 x $。
将$ x=2 $，$ y_1=4 $，$ y=2 $代入得：
$\begin{cases}4=\dfrac{k_1}{2-1} \\2=\dfrac{k_1}{2-1} + 2k_2\end{cases}$
解第一个方程得$ k_1=4 $，将$ k_1=4 $代入第二个方程：
$ 2 = 4 + 2k_2 $，解得$ k_2=-1 $。
∴y关于x的函数解析式为$ y=\dfrac{4}{x-1} - x $。
(2) 把$ x=3 $代入$ y=\dfrac{4}{x-1} - x $得：
$ y=\dfrac{4}{3-1} - 3 = 2 - 3 = -1 $。
【答案】
(1) $ y=\dfrac{4}{x-1}-x $
(2) $-1$
【知识点】
正比例函数的定义，反比例函数的定义，待定系数法求解析式
【点评】
本题属于函数基础题型，解题关键是牢记正、反比例函数的表达式形式，按照待定系数法的步骤求解参数，代入求值时注意运算准确性即可。
【难度系数】
0.8
12.将$x_1=\frac{2}{3}$代入反比例函数$y=-\frac{1}{x}$中，所得函数值记为$y_1$，又将$x_2=y_1+1$代入函数中，所得函数值记为$y_2$，再将$x_3=y_2+1$代入函数中，所得函数值记为$y_3$……如此继续下去，求$y_{2026}$的值。
答案
12.$y_1=-\dfrac{3}{2},y_2=2,y_3=-\dfrac{1}{3},y_4=-\dfrac{3}{2},…$
总结规律为 $y_{3n+k}=y_k$($n$ 为自然数,$k=1,2,3$).
∵2 026=3×675+1,
∴$y_{2\ 026}=-\dfrac{3}{2}$.
总结规律为 $y_{3n+k}=y_k$($n$ 为自然数,$k=1,2,3$).
∵2 026=3×675+1,
∴$y_{2\ 026}=-\dfrac{3}{2}$.
解析
【分析】
遇到这类求反复代入后第n项（n数值较大）函数值的问题，首先想到运算结果存在周期性循环规律，无需逐项计算到第2026项。解题思路为：先按题目给定的代入规则，依次计算前几项的函数值，观察找到循环周期，再用总项数除以周期得到余数，根据余数对应周期内的项即可得到最终结果。
【解析】
1. 依次计算前几项函数值：
将$x_1=\frac{2}{3}$代入反比例函数$y=-\frac{1}{x}$，得$y_1=-\frac{1}{\frac{2}{3}}=-\frac{3}{2}$；
计算$x_2=y_1+1=-\frac{3}{2}+1=-\frac{1}{2}$，代入函数得$y_2=-\frac{1}{-\frac{1}{2}}=2$；
计算$x_3=y_2+1=2+1=3$，代入函数得$y_3=-\frac{1}{3}$；
计算$x_4=y_3+1=-\frac{1}{3}+1=\frac{2}{3}=x_1$，代入函数得$y_4=y_1=-\frac{3}{2}$。
2. 总结规律：
可发现函数值每3个为一个周期循环，即$y_{3n+k}=y_k$（n为自然数，$k=1,2,3$）。
3. 定位$y_{2026}$对应的周期位置：
因为$2026=3×675+1$，余数为1，对应周期内第1个函数值，因此$y_{2026}=y_1$。
【答案】
$-\dfrac{3}{2}$
【知识点】
反比例函数代值计算，周期规律探究
【点评】
本题结合反比例函数基础运算和规律探究进行考察，解题核心是通过计算前几项找到循环周期，大幅简化了大数项的计算过程，能够很好地检验学生的归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
遇到这类求反复代入后第n项（n数值较大）函数值的问题，首先想到运算结果存在周期性循环规律，无需逐项计算到第2026项。解题思路为：先按题目给定的代入规则，依次计算前几项的函数值，观察找到循环周期，再用总项数除以周期得到余数，根据余数对应周期内的项即可得到最终结果。
【解析】
1. 依次计算前几项函数值：
将$x_1=\frac{2}{3}$代入反比例函数$y=-\frac{1}{x}$，得$y_1=-\frac{1}{\frac{2}{3}}=-\frac{3}{2}$；
计算$x_2=y_1+1=-\frac{3}{2}+1=-\frac{1}{2}$，代入函数得$y_2=-\frac{1}{-\frac{1}{2}}=2$；
计算$x_3=y_2+1=2+1=3$，代入函数得$y_3=-\frac{1}{3}$；
计算$x_4=y_3+1=-\frac{1}{3}+1=\frac{2}{3}=x_1$，代入函数得$y_4=y_1=-\frac{3}{2}$。
2. 总结规律：
可发现函数值每3个为一个周期循环，即$y_{3n+k}=y_k$（n为自然数，$k=1,2,3$）。
3. 定位$y_{2026}$对应的周期位置：
因为$2026=3×675+1$，余数为1，对应周期内第1个函数值，因此$y_{2026}=y_1$。
【答案】
$-\dfrac{3}{2}$
【知识点】
反比例函数代值计算，周期规律探究
【点评】
本题结合反比例函数基础运算和规律探究进行考察，解题核心是通过计算前几项找到循环周期，大幅简化了大数项的计算过程，能够很好地检验学生的归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
