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10.已知函数$y=(m^2 - 2m)x^{m^2 - m - 1}$。
(1)若y是关于x的正比例函数，求m的值。
(2)若y是关于x的反比例函数，求出m的值，并写出此时y与x的函数解析式。
(1)若y是关于x的正比例函数，求m的值。
(2)若y是关于x的反比例函数，求出m的值，并写出此时y与x的函数解析式。
答案
10.(1)y 是关于 x 的正比例函数,则 $m^2 -m -1=1$ 且 $m^2 -2m≠0$,解得 $m=-1$.
(2)y 是关于 x 的反比例函数,则 $m^2 -m -1=-1$ 且 $m^2 -2m≠0$,解得 $m=1$.
y 与 x 的函数解析式为 $y=-\dfrac{1}{x}$.
(2)y 是关于 x 的反比例函数,则 $m^2 -m -1=-1$ 且 $m^2 -2m≠0$,解得 $m=1$.
y 与 x 的函数解析式为 $y=-\dfrac{1}{x}$.
解析
【分析】
（1）求解正比例函数的参数问题，首先回忆正比例函数的定义：形如$y=kx$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数为正比例函数，对应本题的幂函数形式，需要同时满足两个条件：一是$x$的指数为1，二是$x$的系数不为0，联立两个条件求解并排除不符合要求的取值即可得到$m$的值。
（2）求解反比例函数的参数问题，回忆反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数为反比例函数，可变形为$y=kx^{-1}$，因此需要同时满足$x$的指数为-1、$x$的系数不为0两个条件，联立求解得到$m$的值后，代入原式即可得到对应的函数解析式。
【解析】
（1）若$y$是关于$x$的正比例函数，根据定义列条件：
$\begin{cases}m^2 - m -1 = 1 \quad ① \\ m^2 - 2m ≠ 0 \quad ② \end{cases}$
解方程①：移项得$m^2 - m -2=0$，因式分解得$(m-2)(m+1)=0$，解得$m=2$或$m=-1$。
解不等式②：提取公因式得$m(m-2)≠0$，即$m≠0$且$m≠2$。
排除不符合要求的$m=2$，最终得$m=-1$。
（2）若$y$是关于$x$的反比例函数，根据定义列条件：
$\begin{cases}m^2 - m -1 = -1 \quad ③ \\ m^2 - 2m ≠ 0 \quad ④ \end{cases}$
解方程③：移项得$m^2 - m=0$，因式分解得$m(m-1)=0$，解得$m=0$或$m=1$。
解不等式④得$m≠0$且$m≠2$。
排除不符合要求的$m=0$，最终得$m=1$。
将$m=1$代入原函数，得系数$m^2-2m=1^2-2×1=-1$，因此函数解析式为$y=-\frac{1}{x}$。
【答案】
(1)$m=-1$；
(2)$m=1$，此时$y$与$x$的函数解析式为$y=-\dfrac{1}{x}$。
【知识点】
正比例函数的定义；反比例函数的定义；一元二次方程的解法
【点评】
本题是函数概念类基础题，解题核心是准确掌握正比例、反比例函数的形式要求，尤其要注意两类函数都隐含自变量系数不为0的限制，求解方程后要验证取值是否满足该限制，避免出现增根错误。
【难度系数】
0.7
（1）求解正比例函数的参数问题，首先回忆正比例函数的定义：形如$y=kx$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数为正比例函数，对应本题的幂函数形式，需要同时满足两个条件：一是$x$的指数为1，二是$x$的系数不为0，联立两个条件求解并排除不符合要求的取值即可得到$m$的值。
（2）求解反比例函数的参数问题，回忆反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数为反比例函数，可变形为$y=kx^{-1}$，因此需要同时满足$x$的指数为-1、$x$的系数不为0两个条件，联立求解得到$m$的值后，代入原式即可得到对应的函数解析式。
【解析】
（1）若$y$是关于$x$的正比例函数，根据定义列条件：
$\begin{cases}m^2 - m -1 = 1 \quad ① \\ m^2 - 2m ≠ 0 \quad ② \end{cases}$
解方程①：移项得$m^2 - m -2=0$，因式分解得$(m-2)(m+1)=0$，解得$m=2$或$m=-1$。
解不等式②：提取公因式得$m(m-2)≠0$，即$m≠0$且$m≠2$。
排除不符合要求的$m=2$，最终得$m=-1$。
（2）若$y$是关于$x$的反比例函数，根据定义列条件：
$\begin{cases}m^2 - m -1 = -1 \quad ③ \\ m^2 - 2m ≠ 0 \quad ④ \end{cases}$
解方程③：移项得$m^2 - m=0$，因式分解得$m(m-1)=0$，解得$m=0$或$m=1$。
解不等式④得$m≠0$且$m≠2$。
排除不符合要求的$m=0$，最终得$m=1$。
将$m=1$代入原函数，得系数$m^2-2m=1^2-2×1=-1$，因此函数解析式为$y=-\frac{1}{x}$。
【答案】
(1)$m=-1$；
(2)$m=1$，此时$y$与$x$的函数解析式为$y=-\dfrac{1}{x}$。
【知识点】
正比例函数的定义；反比例函数的定义；一元二次方程的解法
【点评】
本题是函数概念类基础题，解题核心是准确掌握正比例、反比例函数的形式要求，尤其要注意两类函数都隐含自变量系数不为0的限制，求解方程后要验证取值是否满足该限制，避免出现增根错误。
【难度系数】
0.7
11.$y=y_1+y_2$，其中$y_1$与$(x-1)$成反比例，$y_2$与$x$成正比例，且当$x=2$时，$y_1=4$，$y=2$.
(1)求$y$关于$x$的函数解析式.
(2)求当$x=3$时$y$的值.
(1)求$y$关于$x$的函数解析式.
(2)求当$x=3$时$y$的值.
答案
11.(1)设 $y_1=\dfrac{k_1}{x-1},y_2=k_2 x,y=\dfrac{k_1}{x-1}+k_2 x$,
把 $x=2,y_1=4,y=2$ 代入得$\begin{cases}4=\dfrac{k_1}{2-1},\\2=\dfrac{k_1}{2-1}+2k_2,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k_1=4,\\k_2=-1.\end{cases}$
∴y 关于 x 的函数解析式为 $y=\dfrac{4}{x-1}-x$.
(2)当 $x=3$ 时,$y=\dfrac{4}{3-1}-3=-1$.
把 $x=2,y_1=4,y=2$ 代入得$\begin{cases}4=\dfrac{k_1}{2-1},\\2=\dfrac{k_1}{2-1}+2k_2,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k_1=4,\\k_2=-1.\end{cases}$
∴y 关于 x 的函数解析式为 $y=\dfrac{4}{x-1}-x$.
(2)当 $x=3$ 时,$y=\dfrac{4}{3-1}-3=-1$.
解析
【分析】
解决本题首先要结合正比例、反比例函数的定义，分别设出$y_1$、$y_2$的含参表达式，进而得到$y$关于$x$的含参表达式；再将已知的$x$、$y_1$、$y$的值代入表达式，得到关于未知系数的方程组，求解系数后即可得到$y$关于$x$的函数解析式；第二问直接将$x=3$代入第一问求出的解析式计算即可得到$y$的值。
【解析】
(1) 根据题意，设$y_1=\dfrac{k_1}{x-1}$（$k_1≠0$），$y_2=k_2 x$（$k_2≠0$），则$y=y_1+y_2=\dfrac{k_1}{x-1}+k_2 x$。
将$x=2$，$y_1=4$，$y=2$代入上述式子，可得方程组：
$\begin{cases}4=\dfrac{k_1}{2-1}\\[1em]2=\dfrac{k_1}{2-1}+2k_2\end{cases}$
解第一个方程得$k_1=4$，将$k_1=4$代入第二个方程：
$2=4+2k_2$，解得$k_2=-1$。
因此，$y$关于$x$的函数解析式为$y=\dfrac{4}{x-1}-x$。
(2) 把$x=3$代入$y=\dfrac{4}{x-1}-x$，得：
$y=\dfrac{4}{3-1}-3=2-3=-1$。
【答案】
(1) $y=\dfrac{4}{x-1}-x$；(2) $-1$
【知识点】
反比例函数的概念，正比例函数的概念，待定系数法求解析式
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是熟练掌握正反比例函数的定义，能够正确设出含未知系数的函数表达式，再通过代入已知条件求解系数，计算时注意分母不为0的隐含条件即可。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要结合正比例、反比例函数的定义，分别设出$y_1$、$y_2$的含参表达式，进而得到$y$关于$x$的含参表达式；再将已知的$x$、$y_1$、$y$的值代入表达式，得到关于未知系数的方程组，求解系数后即可得到$y$关于$x$的函数解析式；第二问直接将$x=3$代入第一问求出的解析式计算即可得到$y$的值。
【解析】
(1) 根据题意，设$y_1=\dfrac{k_1}{x-1}$（$k_1≠0$），$y_2=k_2 x$（$k_2≠0$），则$y=y_1+y_2=\dfrac{k_1}{x-1}+k_2 x$。
将$x=2$，$y_1=4$，$y=2$代入上述式子，可得方程组：
$\begin{cases}4=\dfrac{k_1}{2-1}\\[1em]2=\dfrac{k_1}{2-1}+2k_2\end{cases}$
解第一个方程得$k_1=4$，将$k_1=4$代入第二个方程：
$2=4+2k_2$，解得$k_2=-1$。
因此，$y$关于$x$的函数解析式为$y=\dfrac{4}{x-1}-x$。
(2) 把$x=3$代入$y=\dfrac{4}{x-1}-x$，得：
$y=\dfrac{4}{3-1}-3=2-3=-1$。
【答案】
(1) $y=\dfrac{4}{x-1}-x$；(2) $-1$
【知识点】
反比例函数的概念，正比例函数的概念，待定系数法求解析式
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是熟练掌握正反比例函数的定义，能够正确设出含未知系数的函数表达式，再通过代入已知条件求解系数，计算时注意分母不为0的隐含条件即可。
【难度系数】
0.8
12.将$x_1=\frac{2}{3}$代入反比例函数$y=-\frac{1}{x}$中，所得函数值记为$y_1$，又将$x_2=y_1+1$代入函数中，所得函数值记为$y_2$，再将$x_3=y_2+1$代入函数中，所得函数值记为$y_3$……如此继续下去，求$y_{2026}$的值。
答案
12.$y_1=-\dfrac{3}{2},y_2=2,y_3=-\dfrac{1}{3},y_4=-\dfrac{3}{2},…$
总结规律为 $y_{3n+k}=y_k$($n$ 为自然数,$k=1,2,3$).
∵2 026=3×675+1,
∴$y_{2\ 026}=-\dfrac{3}{2}$.
总结规律为 $y_{3n+k}=y_k$($n$ 为自然数,$k=1,2,3$).
∵2 026=3×675+1,
∴$y_{2\ 026}=-\dfrac{3}{2}$.
解析
【分析】
这是一道迭代代入反比例函数求指定项函数值的问题，解题思路为：首先按照题目给出的代入规则，依次计算前几项的函数值，观察数值变化特征，可发现其存在周期循环规律；接着确定循环周期；最后用总项数除以周期得到余数，根据余数对应周期内的项即可求出$y_{2026}$的值，无需逐一计算到第2026项，可大幅简化运算。
【解析】
1. 计算前几项函数值，寻找循环规律：
将$x_1=\frac{2}{3}$代入反比例函数$y=-\frac{1}{x}$，得：
$y_1=-\frac{1}{\frac{2}{3}}=-\frac{3}{2}$
则$x_2=y_1+1=-\frac{3}{2}+1=-\frac{1}{2}$，代入函数得：
$y_2=-\frac{1}{-\frac{1}{2}}=2$
则$x_3=y_2+1=2+1=3$，代入函数得：
$y_3=-\frac{1}{3}$
则$x_4=y_3+1=-\frac{1}{3}+1=\frac{2}{3}=x_1$，代入函数得$y_4=y_1=-\frac{3}{2}$。
由此可总结规律：函数值每3项为一个周期循环，即$y_{3n+k}=y_k$（$n$为自然数，$k=1,2,3$）。
2. 求$y_{2026}$的值：
计算2026除以周期3的余数：$2026=3×675+1$，余数为1，对应周期内第1项，因此$y_{2026}=y_1$。
【答案】
$-\dfrac{3}{2}$
【知识点】
反比例函数求值，周期规律探究
【点评】
本题既考查反比例函数的基本代入求值能力，也考查归纳总结规律的能力，解题核心是通过计算前若干项找到迭代的周期规律，将大数项的求解转化为周期内对应项的求解，避免了大量重复计算。
【难度系数】
0.7
这是一道迭代代入反比例函数求指定项函数值的问题，解题思路为：首先按照题目给出的代入规则，依次计算前几项的函数值，观察数值变化特征，可发现其存在周期循环规律；接着确定循环周期；最后用总项数除以周期得到余数，根据余数对应周期内的项即可求出$y_{2026}$的值，无需逐一计算到第2026项，可大幅简化运算。
【解析】
1. 计算前几项函数值，寻找循环规律：
将$x_1=\frac{2}{3}$代入反比例函数$y=-\frac{1}{x}$，得：
$y_1=-\frac{1}{\frac{2}{3}}=-\frac{3}{2}$
则$x_2=y_1+1=-\frac{3}{2}+1=-\frac{1}{2}$，代入函数得：
$y_2=-\frac{1}{-\frac{1}{2}}=2$
则$x_3=y_2+1=2+1=3$，代入函数得：
$y_3=-\frac{1}{3}$
则$x_4=y_3+1=-\frac{1}{3}+1=\frac{2}{3}=x_1$，代入函数得$y_4=y_1=-\frac{3}{2}$。
由此可总结规律：函数值每3项为一个周期循环，即$y_{3n+k}=y_k$（$n$为自然数，$k=1,2,3$）。
2. 求$y_{2026}$的值：
计算2026除以周期3的余数：$2026=3×675+1$，余数为1，对应周期内第1项，因此$y_{2026}=y_1$。
【答案】
$-\dfrac{3}{2}$
【知识点】
反比例函数求值，周期规律探究
【点评】
本题既考查反比例函数的基本代入求值能力，也考查归纳总结规律的能力，解题核心是通过计算前若干项找到迭代的周期规律，将大数项的求解转化为周期内对应项的求解，避免了大量重复计算。
【难度系数】
0.7
