登录
1. 下列说法:①所有等腰三角形都相似;②有一个底角相等的两个等腰三角形相似;③有一个角相等的两个等腰三角形相似;④有一个角为$60°$的两个直角三角形相似.其中正确的说法是 (
A.②④
B.①③
C.①②④
D.②③④
A
)A.②④
B.①③
C.①②④
D.②③④
答案
①中等腰三角形角不确定,所以①错;②中有一个底角相等即所有角都对应相等,②对;③中可能是一底角和一顶角相等,所以③错;④中两个角对应相等,所以相似,④对.故选 A.
2. 如图,已知 D 是$△ ABC$的边 BC 上的一点,$∠ BAD=∠ C$,$∠ ABC$的平分线交边 AC 于点 E,交 AD 于点 F,那么下列结论中错误的是 (
A.$△ BAC ∽ △ BDA$
B.$△ BFA ∽ △ BEC$
C.$△ BDF ∽ △ BEC$
D.$△ BDF ∽ △ BAE$
(第2题) (第3题)
C
)A.$△ BAC ∽ △ BDA$
B.$△ BFA ∽ △ BEC$
C.$△ BDF ∽ △ BEC$
D.$△ BDF ∽ △ BAE$
(第2题) (第3题)
答案
∵ ∠ C = ∠BAD, ∠ABC = ∠DBA,
∴ △BAC∽△BDA,故 A 正确;
∵ BE 平分∠ABC,
∴ ∠ABE = ∠CBE,
∴ △BFA ∽ △BEC,故 B 正确;
∴ ∠BFA = ∠BEC,
∴ ∠BFD=∠BEA,
∴ △BDF∽△BAE,故 D 正确;不能证明△BDF∽△BEC,故 C 错误.故选 C.
3. 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°,∠ B=30°,AD ⊥ BC,AE$平分$∠ BAD$,则$△ ABC ∽$
△DBA
,$△ BAD ∽$△ACD
.(写出一个三角形即可)答案
∵ AD ⊥ BC,∠BAC=90°,
∴ ∠ADB = ∠BAC,
∵ ∠B = ∠B,
∴ △ABC∽△DBA;
∵ AD ⊥ BC,
∴ ∠ADB=∠CDA,
∵ ∠B=30°, ∠BAC=90°,
∴ ∠BAD=∠ACD=90°-30°=60°,
∴ △BAD∽△ACD.
4. 新趋势 开放性试题（2026·成都月考）将两个全等的等腰直角三角板按如图所示的位置摆放，请写出一个与$△ ADE$相似而不全等的三角形：
（第4题）（第5题）
△CDA(或△BAE)
.（填写一个即可）（第4题）（第5题）
答案
∵ △ABC 和△AFG 是两个全等的等腰直角三角板,
∴ ∠FAG = ∠ACB = 45°,
∵ ∠ADE = ∠CDA,
∴ △ADE∽△CDA,同理可得△ADE∽△BAE,故答案为△CDA(或△BAE).
技法点拨 两个三角板全等且为等腰直角三角形,图中存在多个45°角和90°角,通过角度关系可判断△ADE∽△CDA,△ADE∽△BAE.
5. (2024·吉林中考)如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是OA的中点,点F是OD上一点.连接EF.若∠FEO=45°,则$\frac{EF}{BC}$的值为
$\frac{1}{2}$
.答案
∵ 正方形ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,
∴ ∠OAD=45°,AD=BC.
∵ 点 E 是 OA 的中点,
∴ $\frac{OE}{OA} = \frac{1}{2}$.
∵ ∠OEF=45°=∠OAD, ∠EOF = ∠AOD, △OEF∽△OAD,
∴ $\frac{EF}{AD} = \frac{OE}{OA} = \frac{1}{2}$,即$\frac{EF}{BC} = \frac{1}{2}$,故答案为$\frac{1}{2}$.
6. 如图,点 C,D 在线段 AB 上,且△PCD 是等边三角形,∠APB=120°.
(1)求证:△ACP∽△PDB;
(2)当AC=4,BD=9时,试求CD的值.
(1)求证:△ACP∽△PDB;
(2)当AC=4,BD=9时,试求CD的值.
答案
(1)
∵ △PCD 为等边三角形,
∴ ∠PCD = ∠PDC = 60°,
∴ ∠ACP=∠PDB=120°.
∵ ∠APB=120°,
∴ ∠A+∠B=60°.
∵ ∠PDB = 120°,
∴ ∠DPB + ∠B = 60°,
∴ ∠A = ∠DPB,
∴ △ACP∽△PDB.
(2)由(1)得△ACP∽△PDB,
∴ $\frac{AC}{PD} = \frac{PC}{BD}$.
∵ △PCD 是等边三角形,
∴ PC = PD = CD,
∴ $\frac{AC}{CD} = \frac{CD}{BD}$,
∴ $CD^2 = AC · BD$.
∵ AC=4,BD=9,
∴ CD=6.
∵ △PCD 为等边三角形,
∴ ∠PCD = ∠PDC = 60°,
∴ ∠ACP=∠PDB=120°.
∵ ∠APB=120°,
∴ ∠A+∠B=60°.
∵ ∠PDB = 120°,
∴ ∠DPB + ∠B = 60°,
∴ ∠A = ∠DPB,
∴ △ACP∽△PDB.
(2)由(1)得△ACP∽△PDB,
∴ $\frac{AC}{PD} = \frac{PC}{BD}$.
∵ △PCD 是等边三角形,
∴ PC = PD = CD,
∴ $\frac{AC}{CD} = \frac{CD}{BD}$,
∴ $CD^2 = AC · BD$.
∵ AC=4,BD=9,
∴ CD=6.
7. 新趋势 数学文化 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法.如图所示,在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB,从木杆的顶端B观察井水水面D,视线BD与井口的直径AC交于点E,若测得AB=1 m,AC=1.6 m,AE=0.4 m,那么CD为 (
A.1 m
B.2 m
C.3 m
D.4 m
C
)A.1 m
B.2 m
C.3 m
D.4 m
答案
根据题意,得 AB // CD,
∴ ∠BAE = ∠C, ∠B = ∠CDE,
∴ △ABE∽△CDE,
∴ $\frac{AB}{CD} = \frac{AE}{CE}$,
∴ $\frac{1}{CD} = \frac{0.4}{1.6-0.4}$,解得CD=3 m.故选 C.
∴ ∠BAE = ∠C, ∠B = ∠CDE,
∴ △ABE∽△CDE,
∴ $\frac{AB}{CD} = \frac{AE}{CE}$,
∴ $\frac{1}{CD} = \frac{0.4}{1.6-0.4}$,解得CD=3 m.故选 C.
8. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ABC=90°$, $AB = 6$, $BC = 8$, 在$Rt△ MPN$中, $∠ MPN = 90°$, 点$P$在$AC$上, $PM$交$AB$于点$E$, $PN$交$BC$于点$F$, 当$PE=2PF$时, $AP$的
长为（
A.4
B.6
C.$\dfrac{24}{5}$
D.$\dfrac{25}{6}$
长为（B
）A.4
B.6
C.$\dfrac{24}{5}$
D.$\dfrac{25}{6}$
答案
如图,作 PQ ⊥ AB 于点 Q,PR ⊥ BC 于点 R,
∵ ∠PQB = ∠QBR = ∠BRP=90°,
∴ 四边形 PQBR 是矩形,
∴ ∠QPR = 90° = ∠MPN,
∴ ∠QPE = ∠RPF,
∴ △QPE ∽ △RPF,
∴ $\frac{PQ}{PR} = \frac{PE}{PF}=2$,
∴ PQ=2PR=2BQ.
∵ △ABC 是直角三角形,
∴ AC=$\sqrt{AB^2+BC^2}$ = 10,
∵ PQ//BC,
∴ AQ : QP : AP = AB : BC : AC = 3 : 4 : 5,设 PQ=4x,则 AQ=3x,AP=5x,BQ=2x,
∴ 2x+3x=6,
∴ $x=\frac{6}{5}$,
∴ AP=5x=6.故选 B.
