1. (2025·赤峰期末)将抛物线$y=2x^2+3$先向右平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度，所得新抛物线的函数表达式为 ()

A.$y=2(x+1)^2 -2$
B.$y=2(x-1)^2 -2$
C.$y=2(x-5)^2 +2$
D.$y=2(x+5)^2 +4$

将抛物线$y=2x^2+3$先向右平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度，所得新抛物线的函数表达式为$y=2(x-1)^2+3-5$,即$y=2(x-1)^2-2$. 故选 B.

2. (2026·沈阳期中)已知点$A(-2,y_1),B(1,y_2),C(6,y_3)$都在二次函数$y=-4(x-3)^2+8$的图象上,则$y_1,y_2,y_3$的大小关系为 ()

A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_2＞y_1＞y_3$
C.$y_2＞y_3＞y_1$
D.$y_3＞y_2＞y_1$

$\because$ 二次函数$y=-4(x-3)^2+8$的对称轴为直线$x=3$,$a=-4＜0$,$\therefore$ 抛物线开口向下,顶点$(3,8)$为最大值点.$\because$ 点$A(-2,y_1),B(1,y_2),C(6,y_3)$的横坐标与对称轴的距离分别为$|-2-3|=5$,$|1-3|=2$,$|6-3|=3$,$\therefore 2＜3＜5$.$\because$ 开口向下时,距离对称轴越近,函数值越大,$\therefore y_2＞y_3＞y_1$.故选 C.

3. (2026·泰安期中)在平面直角坐标系中,已知抛物线$y=mx^2 -2mx + m -3(m≠0)$的图象只经过三个象限,则$m$的取值范围为 ()

A.$m≤0$
B.$m≥3$
C.$m≤-1$
D.$m≤5$

如图,$\because y=mx^2-2mx+m-3=m(x-1)^2-3$,$\therefore$ 顶点坐标是$(1,-3)$.$\because$ 二次函数$y=mx^2-2mx+m-3(m≠0)$的图象只经过三个象限,$\therefore \begin{cases}m＞0,\\m-3≥0,\end{cases}$ 解得$m≥3$.故选 B.

4. 一次函数$y=cx+b$与二次函数$y=ax^2+bx+c$在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）

A. 由一次函数的图象可知,$b＞0$,由二次函数的图象可知,$b＜0$,不符合题意;B. 由一次函数的图象可知,$c＞0$,$b＞0$,由二次函数的图象可知,$c＞0$,$b＞0$,符合题意;C. 由一次函数的图象可知,$c＜0$,由二次函数的图象可知,$c＞0$,不符合题意;D. 由一次函数的图象可知,$b＞0$,由二次函数的图象可知,$b＜0$,不符合题意.故选 B.

5. 数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具，撑开后如图①所示，由此发现数学知识——抛物线。如图②，以伞柄所在的直线为y轴，以伞骨OA，OB的交点O为坐标原点建立平面直角坐标系。点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，OA，OB关于y轴对称。抛物线的表达式为$y=-0.1x^2+1$，若点A到x轴的距离是0.6 dm，则A，B两点之间的距离是 （）


A.4 dm
B.6 dm
C.8 dm
D.10 dm

根据题意可知$y_A=0.6$,当$y=0.6$时,$-0.1x^2+1=0.6$,解得$x=\pm2$,$\therefore AB=|2-(-2)|=4(\mathrm{dm})$.故选 A.

6. 在平面直角坐标系中有两点$A(-2,4),B(2,4)$,若二次函数$y=ax^2 -2ax -3a(a≠0)$的图象与线段AB只有一个交点,则 ()

A.$a$的值可以是$-\dfrac{4}{3}$
B.$a$的值可以是$\dfrac{3}{5}$
C.$a$的值不可能是$-1.2$
D.$a$的值不可能是1

由二次函数$y=ax^2-2ax-3a(a≠0)$的对称轴可知,直线$x=-\frac{-2a}{2a}=1$是该函数的对称轴,当函数与直线相交时,$4=ax^2-2ax-3a$有解,整理得$ax^2-2ax-(3a+4)=0$,根据根的判别式$\Delta=4a^2+4a(3a+4)=16a^2+16a≥0$,解得$a≥0$或$a≤-1$,$\because a≠0$,$\therefore a＞0$或$a≤-1$,且$a=-1$时,二次函数与AB有唯一的交点$(1,4)$.若函数与B点相交时,将$B(2,4)$代入$y=ax^2-2ax-3a(a≠0)$得$4a-4a-3a=4$,解得$a=-\frac{4}{3}$,则此时如图①,函数恰好与线段AB有两个交点,$\therefore$ 根据图象当$4a-4a-3a＞4$时,抛物线与线段AB只有一个交点,解得$a＜-\frac{4}{3}$;若函数与A点相交时,把$A(-2,4)$代入$y=ax^2-2ax-3a(a≠0)$得$4a+4a-3a=4$,解得$a=\frac{4}{5}$,则此时如图②,函数恰好与线段AB有一个交点,根据图象当$4a+4a-3a≥4$时,抛物线与线段AB也只有一个交点,解得$a≥\frac{4}{5}$.综上所述,$a＜-\frac{4}{3}$或$a≥\frac{4}{5}$或$a=-1$.A. $\because a＜-\frac{4}{3}$,$\therefore a$的值不可以是$-\frac{4}{3}$,故该选项不符合题意;B. $\because \frac{3}{5}＜\frac{4}{5}$,$\therefore a$的值不可以是$\frac{3}{5}$,故该选项不符合题意;C. $\because -1.2＞-\frac{4}{3}$,$\therefore a$的值不可能是$-1.2$,正确,故该选项符合题意;D. $\because 1＞\frac{4}{5}$,$\therefore a$的值可能是1,故该选项不符合题意.故选 C.

7. 新趋势 开放性试题（上海中考）一个二次函数$y=ax^2+bx+c$的顶点在$y$轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的表达式可以是。

$\because$ 二次函数$y=ax^2+bx+c$的对称轴左侧的部分是上升的,$\therefore$ 抛物线开口向下,即$a＜0$.$\because$ 二次函数$y=ax^2+bx+c$的顶点在y轴正半轴上,$\therefore -\frac{b}{2a}=0$,即$b=0$,$c＞0$,$\therefore$ 二次函数的表达式可以是$y=-x^2+1$(答案不唯一).

8. (2025·广州中考)若抛物线$y=x^2 -6mx +6m^2 +5m +3$的顶点在直线$y=x+2$上，则m的值为。

$\because y=x^2-6mx+6m^2+5m+3$,$\therefore$ 对称轴为直线$x=-\frac{-6m}{2×1}=3m$,把$x=3m$代入$y=x^2-6mx+6m^2+5m+3$,得$y=-3m^2+5m+3$,即顶点坐标为$(3m,-3m^2+5m+3)$.$\because$ 抛物线的顶点在直线$y=x+2$上,$\therefore -3m^2+5m+3=3m+2$,整理得$3m^2-2m-1=0$,则$\Delta=(-2)^2-4×3×(-1)=16$,$\therefore m=\frac{2\pm\sqrt{16}}{2×3}=\frac{2\pm4}{6}=\frac{1\pm2}{3}$,$\therefore m_1=1$,$m_2=-\frac{1}{3}$.故答案为$1或-\frac{1}{3}$.

9. 新题型 新定义（2024·上海中考）对于一个二次函数 $y=a(x-m)^2+k(a≠0)$ 中存在一点 $P(x',y')$，使得 $x'-m=y'-k≠0$，则称 $2|x'-m|$ 为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线 $y=-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x+3$“开口大小”为。

根据抛物线的“开口大小”的定义可知$y-k=a(x-m)^2$中存在一点$P(x',y')$,使得$x'-m=y'-k≠0$,则$a=\frac{y'-k}{(x'-m)^2}=\frac{1}{x'-m}$.$\because y=-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x+3=-\frac{1}{2}(x-\frac{1}{3})^2+\frac{55}{18}$,$\therefore y=-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x+3$中存在一点$P(x',y')$,有$-\frac{1}{2}=\frac{1}{x'-\frac{1}{3}}$,解得$x'-\frac{1}{3}=-2$,则$2\left|x'-\frac{1}{3}\right|=4$,$\therefore$ 抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x+3$的“开口大小”为4.

10. 新题型 双空题（2024·成都中考）在平面直角坐标系$xOy$中，$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$是二次函数$y=-x^2+4x-1$图象上三点。若$0＜x_1＜1,x_2＞4$，则$y_1$$y_2$（填“＞”或“＜”）；若对于$m＜x_1＜m+1,m+1＜x_2＜m+2,m+2＜x_3＜m+3$，存在$y_1＜y_3＜y_2$，则$m$的取值范围是。

由$y=-x^2+4x-1=-(x-2)^2+3$得抛物线的对称轴为直线$x=2$,开口向下.$\because 0＜x_1＜1$,$x_2＞4$,$\therefore |x_1-2|＜|x_2-2|$,$\therefore y_1＞y_2$.$\because m＜m+1＜m+2$,$m＜x_1＜m+1$,$m+1＜x_2＜m+2$,$m+2＜x_3＜m+3$,$\therefore x_1＜x_2＜x_3$.$\because$ 存在$y_1＜y_3＜y_2$,$\therefore x_1＜2$,$x_3＞2$,且$A(x_1,y_1)$离对称轴最远,$B(x_2,y_2)$离对称轴最近,$\therefore 2-x_1＞x_3-2＞|x_2-2|$,即$x_1+x_3＜4$,且$x_2+x_3＞4$.$\because 2m+2＜x_1+x_3＜2m+4$,$2m+3＜x_2+x_3＜2m+5$,$\therefore 2m+2＜4$且$2m+5＞4$,解得$-\frac{1}{2}＜m＜1$.

11. (2026·成都期中)在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，P为AD边上的中点，F为CD边上的动点且不与端点重合，连接PF，过P作PE⊥PF交BC边于E，连接EF，连接AC，O为AC中点，Q为EF中点，连接OQ.则OQ的取值范围为.

$\because$ 四边形ABCD是矩形,$\therefore CD=AB=8$,$AD=BC=12$,$∠ BAD=∠ ABC=∠ ADC=90°$,过点E作$EH⊥ AD$于点H,则四边形ABEH是矩形,$\therefore BE=AH$,$EH=AB=8$.$\because$ 点P是AD的中点,$\therefore PD=PA=6$.设$DF=x$,$\because PE⊥ PF$,$\therefore ∠ EPF=90°$,$\therefore ∠ EPH+∠ FPD=90°$.又$∠ FPD+∠ PFD=90°$,$\therefore ∠ EPH=∠ PFD$.$\because ∠ PHE=∠ PDF=90°$,$\therefore △ EHP ∽ △ PDF$,$\therefore \frac{PH}{DF}=\frac{EH}{PD}$,即$\frac{PH}{x}=\frac{8}{6}$,$\therefore PH=\frac{4}{3}x$,$\therefore AH=AP-PH=6-\frac{4}{3}x$,$\therefore BE=6-\frac{4}{3}x$;连接BD,DE,则点O为BD中点,取DE的中点T,连接OT,TQ,则$OT// BE$,$OT=\frac{1}{2}BE=3-\frac{2}{3}x$,$TQ// CD$,$TQ=\frac{1}{2}DF=\frac{1}{2}x$,$\therefore ∠ OTQ=90°$,即$△ OTQ$是直角三角形,$\therefore OQ=\sqrt{OT^2+QT^2}=\sqrt{(3-\frac{2}{3}x)^2+(\frac{1}{2}x)^2}=\sqrt{\frac{25}{36}(x-\frac{72}{25})^2+\frac{81}{25}}$,$\therefore$ 当$x=\frac{72}{25}$时,OQ有最小值$\frac{9}{5}$,当F与D重合时,OQ的值为3,由题意可得F不与D重合,$\therefore \frac{9}{5}≤ OQ＜3$.