12.(2024·烟台中考)已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的$y$与$x$的部分对应值如下表：

下列结论：
①$abc＞0$；
②关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=9$有两个相等的实数根；
③当$-4＜x＜1$时，$y$的取值范围为$0＜y＜5$；
④若点$(m,y_1),(-m-2,y_2)$均在二次函数图象上，则$y_1=y_2$；
⑤满足$ax^2+(b+1)x+c＜2$的$x$的取值范围是$x＜-2$或$x＞3$。
其中正确结论的序号为。

把$(-4,0),(-1,9),(1,5)$代入$y=ax^2+bx+c$,得$\begin{cases}16a-4b+c=0,\\a-b+c=9,\\a+b+c=5,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-1,\\b=-2,\\c=8,\end{cases}$ $\therefore abc＞0$,故①正确；$\because a=-1,b=-2,c=8$,$\therefore y=-x^2-2x+8$,当$y=9$时,$-x^2-2x+8=9$,$\therefore x^2+2x+1=0$.$\because \Delta=2^2-4×1×1=0$,$\therefore$ 关于x的一元二次方程$ax^2+bx+c=9$有两个相等的实数根,故②正确；$\because$ 抛物线的对称轴为直线$x=\frac{-3+1}{2}=-1$,$\therefore$ 抛物线的顶点坐标为$(-1,9)$.又$\because a＜0$,$\therefore$ 当$x＜-1$时,y随x的增大而增大,当$x＞-1$时,y随x的增大而减小,当$x=-1$时,函数取最大值为9.$\because x=-3$与$x=1$时函数值相等,都等于5,$x=-4$时,$y=0$,$\therefore$ 当$-4＜x＜1$时, y的取值范围为$0＜y≤9$,故③错误；$\because \frac{m+(-m-2)}{2}=-1$,$\therefore$ 点$(m,y_1),(-m-2,y_2)$关于对称轴直线$x=-1$对称,$\therefore y_1=y_2$,故④正确；由$ax^2+(b+1)x+c＜2$得$ax^2+bx+c＜-x+2$,即$-x^2-2x+8＜-x+2$,画函数$y=-x^2-2x+8$和$y=-x+2$图象如图.由$\begin{cases}y=-x+2,\\y=-x^2-2x+8,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x_1=2,\\y_1=0,\end{cases}$$\begin{cases}x_2=-3,\\y_2=5,\end{cases}$ $\therefore A(2,0),B(-3,5)$,由图象可得当$x＜-3$或$x＞2$时,$-x^2-2x+8＜-x+2$,即$ax^2+(b+1)x+c＜2$,故⑤错误.综上,正确的结论为①②④,故答案为①②④.

三、解答题(共52分)
13. (6分)已知二次函数$y=-x^2+bx+c$的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为$(-1,0)$，与y轴的交点坐标为$(0,3)$。
(1)写出此二次函数的表达式；
(2)根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围。

(1)把$(-1,0),(0,3)$代入$y=-x^2+bx+c$,得$\begin{cases}-1-b+c=0,\\c=3,\end{cases}$则$b=2$,$\therefore$ 二次函数的表达式为$y=-x^2+2x+3$.
(2)当$y=0$时,$-x^2+2x+3=0$,解得$x_1=-1$,$x_2=3$,则抛物线与x轴的两交点坐标为$(-1,0)$,$(3,0)$,$\therefore$ 函数值y为正数时,自变量x的取值范围是$-1＜x＜3$.

14. (10分)(2026·西安期末)2026马年春晚四骏吉祥物惊艳亮相!某商场销售该吉祥物玩具,平均每天可销售30件,每件盈利50元.为尽可能让利于顾客,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现:每件吉祥物玩具每降价1元,商场平均每天可多售出2件.设每件吉祥物玩具降价x元,商场销售这种吉祥物玩具日盈利为y元.
(1)求y与x之间的函数表达式;
(2)当每件吉祥物玩具降价多少元时,商场销售这种吉祥物玩具日盈利可达到2100元?

(1)每件吉祥物玩具降价x元,此吉祥物玩具每件盈利$(50-x)$元,此吉祥物玩具每天可销售$(30+2x)$件.根据题意,得$y=(50-x)(30+2x)=-2x^2+70x+1\ 500$.即y与x之间的函数表达式为$y=-2x^2+70x+1\ 500$.
(2)令$y=2\ 100$,则$-2x^2+70x+1\ 500=2\ 100$,解得$x_1=15$,$x_2=20$.$\because$ 为尽可能让利于顾客,$\therefore x=20$.答:当每件吉祥物玩具降价20元时,商场销售这种吉祥物玩具日盈利可达到2 100元.

15. (10分)(2024·河南中考)从地面竖直向上发射的物体离地面的高度$h$(m)满足关系式$h=-5t^2 + v_0t$，其中$t$(s)是物体运动的时间，$v_0$(m/s)是物体被发射时的速度. 社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球.
(1)小球被发射后s时离地面的高度最大(用含$v_0$的式子表示).
(2)若小球离地面的最大高度为20 m，求小球被发射时的速度.
(3)按(2)中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同. 小明说：“这两次间隔的时间为3 s.”已知实验楼高15 m，请判断他的说法是否正确，并说明理由.

(1)$\frac{v_0}{10}$ 解析:$h=-5t^2+v_0t=-5(t-\frac{v_0}{10})^2+\frac{v_0^2}{20}$,$\therefore$ 当$t=\frac{v_0}{10}$时,h最大.故答案为$\frac{v_0}{10}$.
(2)根据题意,得当$t=\frac{v_0}{10}$时,$h=20$,$\therefore -5×(\frac{v_0}{10})^2 +v_0×\frac{v_0}{10}=20$,$\therefore v_0=20(\ \mathrm{m/s}\ )$(负值舍去).
(3)小明的说法不正确.理由如下:由(2)得$h=-5t^2+20t$,当$h=15$时,$15=-5t^2+20t$,解方程,得$t_1=1$,$t_2=3$,$\therefore$ 两次间隔的时间为$3-1=2(\ \mathrm{s}\ )$,$\therefore$ 小明的说法不正确.