12. 如图,在四边形$ABCD$中,$AB=BC=BD$.
(1)若$∠ ABC=100°$,则$∠ ADC=\_\_\_\_\_\_°$;
(2)连接$AC$,若$∠ DCA=20°$,则$∠ ABD=\_\_\_\_\_\_°$.

12. (1)130 (2)40

【分析】
(1) 由已知$AB=BD=BC$，可得$△ ABD$和$△ BCD$均为等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等的性质，将$∠ ADC$拆分为$∠ ADB+∠ BDC$，结合三角形内角和定理，把两个底角的和转化为与$∠ ABC$相关的式子，代入数值计算即可。
(2) 连接$AC$后$△ ABC$也是等腰三角形，设$∠ ABD=α$，$∠ DBC=β$，分别表示出$∠ BCD$和$∠ BCA$，结合$∠ BCD=∠ BCA+∠ DCA$的角度关系，列等式化简即可求出$∠ ABD$的度数。
【解析】
(1) $\because AB=BD$，$\therefore △ ABD$是等腰三角形，$∠ BAD=∠ ADB$，
根据三角形内角和定理，$∠ ADB=\frac{180°-∠ ABD}{2}$，
同理，$\because BD=BC$，$\therefore △ BCD$是等腰三角形，$∠ BCD=∠ BDC$，
$\therefore ∠ BDC=\frac{180°-∠ CBD}{2}$，
$\therefore ∠ ADC=∠ ADB+∠ BDC=\frac{180°-∠ ABD}{2}+\frac{180°-∠ CBD}{2}=\frac{360°-(∠ ABD+∠ CBD)}{2}$，
$\because ∠ ABD+∠ CBD=∠ ABC=100°$，
代入得：$∠ ADC=\frac{360°-100°}{2}=130°$。
(2) 设$∠ ABD=α$，$∠ DBC=β$，则$∠ ABC=α+β$，
$\because AB=BC$，$\therefore △ ABC$是等腰三角形，$∠ BCA=\frac{180°-(α+β)}{2}$，
$\because BD=BC$，$\therefore △ BCD$是等腰三角形，$∠ BCD=\frac{180°-β}{2}$，
又$\because ∠ BCD=∠ BCA+∠ DCA$，且$∠ DCA=20°$，
代入得：$\frac{180°-β}{2}=\frac{180°-α-β}{2}+20°$，
等式两边同乘2得：$180°-β=180°-α-β+40°$，
化简得：$α=40°$，即$∠ ABD=40°$。
【答案】
(1)130；(2)40
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；角度和差计算
【点评】
本题重点考查等腰三角形性质和三角形内角和的应用，解题核心是合理拆分角度，也可通过设未知数建立角度关系化简求解，能有效锻炼学生的角度转化和逻辑推导能力。
【难度系数】
0.65

三、解答题(共40分)
13.(12分)如图所示,下面的图形是轴对称图形,请找出每个图形的对称轴的条数,并在各图上画出其对称轴.

13. 解:从左起的几个图形的对称轴的条数依次是 1,2,3,4 条,其各自的对称轴如图所示.

【分析】
解题时先回忆轴对称图形及对称轴的定义：沿某条直线对折后，直线两旁的部分能完全重合的图形是轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。接下来逐个分析四个图形：①第一个车标图形，仅沿过中心的竖直直线对折能完全重合，对应1条对称轴；②第二个中国结图形，沿过中心的竖直、水平直线对折都能重合，对应2条对称轴；③第三个车标图形，沿过中心且指向每个尖角的直线对折都能重合，共3条对称轴；④第四个图形，沿竖直、水平、两条对角线方向的过中心直线对折都能重合，共4条对称轴。最后按照找到的对称轴位置画出即可。
【解析】
解：根据轴对称图形对称轴的定义判断：
1. 左数第一个图形：仅存在1条过中心的竖直对称轴，沿该直线折叠后图形两侧完全重合，对称轴共1条；
2. 左数第二个图形：存在过中心的竖直、水平2条对称轴，沿两条直线折叠后图形两侧均可重合，对称轴共2条；
3. 左数第三个图形：存在3条过圆心、分别指向三个尖角的对称轴，沿每条直线折叠后图形两侧均可重合，对称轴共3条；
4. 左数第四个图形：存在过中心的竖直、水平、两条对角线方向共4条对称轴，沿每条直线折叠后图形两侧均可重合，对称轴共4条。
对称轴绘制如下：

【答案】
13. 解:从左起的几个图形的对称轴的条数依次是 1,2,3,4 条,其各自的对称轴如图所示.
【知识点】
轴对称图形；对称轴识别；对称轴画法
【点评】
本题是轴对称相关的基础题，核心是紧扣对称轴的定义进行判断，解题时可以通过模拟对折的方式避免漏数、错数对称轴，这类题目也是轴对称章节的常考题型。
【难度系数】
0.8

14.(14分)如图,在四边形ABCD中,M,N分别是CD,BC的中点,且AM⊥CD,AN⊥BC,连接BD.
(1)求证:∠BAD=2∠MAN;(7分)
(2)若∠MAN=70°,∠DBC=40°,∠BCD=110°,求∠ADC的度数.(7分)

14. (1)证明:连接 AC.
∵M 是 CD 的中点,$AM⊥CD$,
∴AM 垂直平分线段 CD,
∴$∠CAM=∠DAM$. 同理可得$∠CAN=∠BAN$,
∴$∠CAN+∠CAM=\frac{1}{2}∠BAD$,即$∠BAD=2∠MAN$.
(2)解:
∵$∠BCD=110°$,$∠DBC=40°$,
∴$∠BDC=180°-∠DBC-∠BCD=30°$. 由题意,可得,AM,AN 分别垂直平分 CD,BC,
∴$AB=AC$,$AD=AC$,
∴$AB=AD$,
∴$∠ADB=∠ABD$,
∵$∠BAD = 2∠MAN = 140°$
∴$∠ADB=20°$,
∴$∠ADC=∠ADB+∠BDC=50°$.

【分析】
(1)要证明∠BAD=2∠MAN，已知AM⊥CD且M是CD中点，AN⊥BC且N是BC中点，符合线段垂直平分线的特征，因此优先考虑连接AC。根据垂直平分线性质可得AD=AC、AB=AC，结合等腰三角形三线合一的性质，可推出AM平分∠CAD，AN平分∠BAC，通过角的和差关系即可证明结论。
(2)第二问可先利用第一问的结论求出∠BAD的度数，再在△BCD中用内角和定理求出∠BDC的度数；再根据垂直平分线性质得到AB=AD，即△ABD为等腰三角形，结合∠BAD的度数求出∠ADB的度数，最后将∠ADB与∠BDC相加即可得到∠ADC的度数。
【解析】
(1)证明：连接AC。
∵M是CD的中点，$AM⊥CD$，
∴AM垂直平分线段CD，
∴$AD=AC$，根据等腰三角形三线合一，得$∠CAM=∠DAM$。
同理，N是BC的中点，$AN⊥BC$，
∴AN垂直平分线段BC，得$∠CAN=∠BAN$。
∴$∠BAD=∠BAN+∠CAN+∠CAM+∠DAM=2(∠CAN+∠CAM)=2∠MAN$，即$∠BAD=2∠MAN$。
(2)解：在△BCD中，根据三角形内角和为180°，
$∠BDC=180°-∠DBC-∠BCD=180°-40°-110°=30°$。
由(1)可知AM、AN分别垂直平分CD、BC，
∴$AB=AC$，$AD=AC$，
∴$AB=AD$，即△ABD是等腰三角形，$∠ADB=∠ABD$。
又
∵$∠BAD=2∠MAN=2×70°=140°$，
∴$∠ADB=(180°-∠BAD)÷2=(180°-140°)÷2=20°$。
∴$∠ADC=∠ADB+∠BDC=20°+30°=50°$。
【答案】
(1)证明成立；(2)$∠ADC=50°$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题核心是正确添加辅助线AC，利用线段垂直平分线的性质实现边和角的等量转化，同时第一问的结论可直接作为第二问的解题条件，降低了解题难度，主要考查学生的逻辑推理能力和几何知识综合应用能力。
【难度系数】
0.65

15.(14分)如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,D为BC的中点,DE⊥AB,垂足为E.
(1)过点B作BF//AC交DE的延长线于点F,连接CF,AD,交于点G.求证:AD⊥CF;(8分)
(2)连接AF,试判断△ACF的形状,并说明理由.(6分)

15. (1)证明:
∵$AC // BF$,$∠ACB=90°$,
∴$∠DBF=90°$,又
∵$△ABC$为等腰直角三角形,
∴$∠FBE=∠DBE=45°$,又
∵$DE⊥AB$,
∴$BF=BD$. 又
∵D 为 BC 的中点,
∴$CD=BD$,
∴$BF=CD$,在$△ACD$与$△CBF$ 中, $\begin{cases} AC=CB, \\ ∠ACD=∠CBF, \\ CD=BF, \end{cases}$
∴$△ACD ≌ △CBF$, ( SAS ),
∴$∠CAD=∠BCF$,
∵$∠ACD=90°$,
∴$∠ACG + ∠BCF = 90°$,
∴$∠CAG+∠ACG = 90°$,
∴$∠AGC= 90°$,
∴$AD ⊥ CF$.
(2)解:$△ACF$是等腰三角形,理由:由(1)知$BD=BF$,$DE⊥AB$,易得$AF=AD$. 又
∵$AD=CF$,
∴$CF=AF$,
∴$△ACF$是等腰三角形.

【分析】
(1) 要证AD⊥CF，需证∠AGC=90°，即∠CAG与∠ACG互余。首先利用AC//BF和等腰直角△ABC的性质，推出∠DBF=90°、∠FBE=∠DBE=45°，结合DE⊥AB可得BF=BD；再由D是BC中点得BF=CD，即可证明△ACD≌△CBF，得到∠CAD=∠BCF，最后通过角的代换推出∠CAG+∠ACG=90°，即可得证AD⊥CF。
(2) 判断△ACF的形状可从边的关系入手：由(1)的全等结论可得AD=CF；再结合DE⊥AB、BD=BF，可知AB垂直平分线段DF，根据垂直平分线的性质得AF=AD，等量代换可得AF=CF，即可判定△ACF为等腰三角形。
【解析】
(1) 证明：
∵$AC // BF$，$∠ACB=90°$，
∴$∠DBF=90°$，
∵$△ABC$为等腰直角三角形，
∴$∠FBE=∠DBE=45°$，
∵$DE⊥AB$，
∴$BF=BD$。
∵D为BC的中点，
∴$CD=BD$，
∴$BF=CD$。
在$△ACD$与$△CBF$中，
$\begin{cases} AC=CB, \\ ∠ACD=∠CBF, \\ CD=BF, \end{cases}$
∴$△ACD ≌ △CBF$（SAS），
∴$∠CAD=∠BCF$，
∵$∠ACD=90°$，
∴$∠ACG + ∠BCF = 90°$，
∴$∠CAG+∠ACG = 90°$，
∴$∠AGC= 90°$，
∴$AD ⊥ CF$。
(2) 解：$△ACF$是等腰三角形，理由如下：
由(1)知$BD=BF$，$DE⊥AB$，易得$AF=AD$。
又
∵$△ACD ≌ △CBF$，
∴$AD=CF$，
∴$CF=AF$，
∴$△ACF$是等腰三角形。
【答案】
(1) AD⊥CF，证明成立；
(2) △ACF是等腰三角形。
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 等腰直角三角形的性质
3. 等腰三角形的判定
【点评】
本题属于三角形综合基础题，解题核心是通过已知条件推导边角相等关系，借助全等三角形实现边角的转化，能够有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7