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21（6分）某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只.现计划用132米这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？
答案
21. 设用$x$米布料做衣身,用$y$米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套,
根据题意,列方程组,得$\begin{cases} x+y=132, \\ \dfrac{3}{2}x×2=\dfrac{5}{2}y, \end{cases}$
解方程组,得$\begin{cases} x=60, \\ y=72. \end{cases}$
故用60米布料做衣身,用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.
归纳总结 本题属于二元一次方程组中的配套问题,生产中的配套问题很多,如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、衣身与衣袖的配套等.各种配套都有数量比例,依次设未知数,用未知数可把它们之间的数量关系表示出来,从而得到方程组,使问题得以解决,确定等量关系是解题的关键.
根据题意,列方程组,得$\begin{cases} x+y=132, \\ \dfrac{3}{2}x×2=\dfrac{5}{2}y, \end{cases}$
解方程组,得$\begin{cases} x=60, \\ y=72. \end{cases}$
故用60米布料做衣身,用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.
归纳总结 本题属于二元一次方程组中的配套问题,生产中的配套问题很多,如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、衣身与衣袖的配套等.各种配套都有数量比例,依次设未知数,用未知数可把它们之间的数量关系表示出来,从而得到方程组,使问题得以解决,确定等量关系是解题的关键.
22 (8分)如图,已知点$A(0,4),C(-2,0)$在直线$l:y=kx+b$上,$l$和函数$y=-4x+a$的图象交于点$B$,点$B$的横坐标是1.
(1)求直线$l$的表达式;
(2)求关于$x,y$的方程组$\begin{cases} y=kx+b, \\ y=-4x+a \end{cases}$的解及$a$的值;
(3)若点$A$关于$x$轴的对称点为$P$,求$△ PBC$的面积.
(1)求直线$l$的表达式;
(2)求关于$x,y$的方程组$\begin{cases} y=kx+b, \\ y=-4x+a \end{cases}$的解及$a$的值;
(3)若点$A$关于$x$轴的对称点为$P$,求$△ PBC$的面积.
答案
22.(1)由于点$A,C$在直线$l$上,
$\therefore\begin{cases} b=4, \\ -2k+b=0, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=2, \\ b=4, \end{cases}$
$\therefore$直线$l$的表达式为$y=2x+4$.
(2)由于点$B$在直线$l$上,当$x=1$时,$y=2+4=6$,
$\therefore$点$B$的坐标为$(1,6)$.
$\because$点$B$是直线$l$与直线$y=-4x+a$的交点,
$\therefore$关于$x,y$的方程组$\begin{cases} y=kx+b, \\ y=-4x+a \end{cases}$的解为$\begin{cases} x=1, \\ y=6. \end{cases}$
把$x=1,y=6$代入$y=-4x+a$中,得$a=10$.
(3)$\because$点$A$与点$P$关于$x$轴对称,$\therefore$点$P(0,-4)$,
$\therefore AP=4+4=8$,
$\therefore S_{△ PBC}=S_{△ PAB}+S_{△ PAC}=\dfrac{1}{2}×8×1+\dfrac{1}{2}×8×2=4+8=12.$
$\therefore\begin{cases} b=4, \\ -2k+b=0, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=2, \\ b=4, \end{cases}$
$\therefore$直线$l$的表达式为$y=2x+4$.
(2)由于点$B$在直线$l$上,当$x=1$时,$y=2+4=6$,
$\therefore$点$B$的坐标为$(1,6)$.
$\because$点$B$是直线$l$与直线$y=-4x+a$的交点,
$\therefore$关于$x,y$的方程组$\begin{cases} y=kx+b, \\ y=-4x+a \end{cases}$的解为$\begin{cases} x=1, \\ y=6. \end{cases}$
把$x=1,y=6$代入$y=-4x+a$中,得$a=10$.
(3)$\because$点$A$与点$P$关于$x$轴对称,$\therefore$点$P(0,-4)$,
$\therefore AP=4+4=8$,
$\therefore S_{△ PBC}=S_{△ PAB}+S_{△ PAC}=\dfrac{1}{2}×8×1+\dfrac{1}{2}×8×2=4+8=12.$
23（8分）若关于$x,y$的方程组$\begin{cases}ax + by = 10, \\mx - ny = 8\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = 1, \\y = 2,\end{cases}$试求关于$x,y$的方程组$\begin{cases}\dfrac{1}{2}a(x + y) + \dfrac{1}{3}b(x - y) = 10, \\\dfrac{1}{2}m(x + y) - \dfrac{1}{3}n(x - y) = 8\end{cases}$的解。
答案
23. 令$h=\dfrac{1}{2}(x+y),t=\dfrac{1}{3}(x-y)$,代入方程组
$\begin{cases} \dfrac{1}{2}a(x+y)+\dfrac{1}{3}b(x-y)=10, \\ \dfrac{1}{2}m(x+y)-\dfrac{1}{3}n(x-y)=8, \end{cases}$
可得关于$h,t$的方程组$\begin{cases} ah+bt=10, \\ mh-nt=8. \end{cases}$
因为关于$x,y$的方程组$\begin{cases} ax+by=10, \\ mx-ny=8 \end{cases}$的解是$\begin{cases} x=1, \\ y=2, \end{cases}$
则关于$h,t$的方程组$\begin{cases} ah+bt=10, \\ mh-nt=8 \end{cases}$的解是$\begin{cases} h=1, \\ t=2, \end{cases}$
则$\begin{cases} \dfrac{1}{2}(x+y)=1, \\ \dfrac{1}{3}(x-y)=2, \end{cases}$化简可得$\begin{cases} x+y=2, \\ x-y=6, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=4, \\ y=-2. \end{cases}$
$\begin{cases} \dfrac{1}{2}a(x+y)+\dfrac{1}{3}b(x-y)=10, \\ \dfrac{1}{2}m(x+y)-\dfrac{1}{3}n(x-y)=8, \end{cases}$
可得关于$h,t$的方程组$\begin{cases} ah+bt=10, \\ mh-nt=8. \end{cases}$
因为关于$x,y$的方程组$\begin{cases} ax+by=10, \\ mx-ny=8 \end{cases}$的解是$\begin{cases} x=1, \\ y=2, \end{cases}$
则关于$h,t$的方程组$\begin{cases} ah+bt=10, \\ mh-nt=8 \end{cases}$的解是$\begin{cases} h=1, \\ t=2, \end{cases}$
则$\begin{cases} \dfrac{1}{2}(x+y)=1, \\ \dfrac{1}{3}(x-y)=2, \end{cases}$化简可得$\begin{cases} x+y=2, \\ x-y=6, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=4, \\ y=-2. \end{cases}$
24（10分）新情境 数学与生活融合 某小区业主安先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项工程.由于工期过长，安先生要求装修公司再派乙工程队与甲工程队共同工作.已知甲工程队单独完成此项工程需要天数恰好比乙工程队单独完成此项工程需要天数的3倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为55天.
(1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天.
(2)甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天可完成此项工程的$\frac{4}{5}$？
(3)甲、乙工程队每天的施工费分别为800元和1000元，安先生装修工程施工完成时费用正好为21 800元，求甲工程队参加工作多少天.
(1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天.
(2)甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天可完成此项工程的$\frac{4}{5}$？
(3)甲、乙工程队每天的施工费分别为800元和1000元，安先生装修工程施工完成时费用正好为21 800元，求甲工程队参加工作多少天.
答案
24.(1)设乙工程队单独完成此项工程需要$x$天,则甲工程队单独完成此项工程需要$(3x-5)$天,
依题意,得$x+(3x-5)=55$,
解得$x=15$,$\therefore 3x-5=3×15-5=40$,
$\therefore$甲、乙两队单独完成此项工程各需要40天、15天.
(2)由(1)可知,甲的工作效率为$\dfrac{1}{40}$,乙的工作效率为$\dfrac{1}{15}$,
设还需要再合作$y$天可完成此项工程的$\dfrac{4}{5}$,
依题意,得$\dfrac{1}{40}×10+(\dfrac{1}{40}+\dfrac{1}{15})y=1×\dfrac{4}{5}$,解得$y=6$,
$\therefore$还要再合作6天可完成此项工程的$\dfrac{4}{5}$.
(3)设甲单独工作$a$天,甲、乙合作工作$b$天,
依题意,得$\begin{cases} 800(a+b)+1000b=21800, \\ \dfrac{1}{40}a+(\dfrac{1}{40}+\dfrac{1}{15})b=1, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=7, \\ b=9, \end{cases}$
$\therefore a+b=16$,即甲工程队参加工作16天.
依题意,得$x+(3x-5)=55$,
解得$x=15$,$\therefore 3x-5=3×15-5=40$,
$\therefore$甲、乙两队单独完成此项工程各需要40天、15天.
(2)由(1)可知,甲的工作效率为$\dfrac{1}{40}$,乙的工作效率为$\dfrac{1}{15}$,
设还需要再合作$y$天可完成此项工程的$\dfrac{4}{5}$,
依题意,得$\dfrac{1}{40}×10+(\dfrac{1}{40}+\dfrac{1}{15})y=1×\dfrac{4}{5}$,解得$y=6$,
$\therefore$还要再合作6天可完成此项工程的$\dfrac{4}{5}$.
(3)设甲单独工作$a$天,甲、乙合作工作$b$天,
依题意,得$\begin{cases} 800(a+b)+1000b=21800, \\ \dfrac{1}{40}a+(\dfrac{1}{40}+\dfrac{1}{15})b=1, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=7, \\ b=9, \end{cases}$
$\therefore a+b=16$,即甲工程队参加工作16天.
