7. (2025 四川师大附中外国语学校阶段练) 已知点$P(a-1,6+2a)$,解答下列各题:
(1)若点$P$在$x$轴上,则点$P$的坐标为;
(2)若点$Q(5,8)$,且$PQ// x$轴,则点$P$的坐标为;
(3)若点$P$在第二象限,且它到$x$轴的距离是到$y$轴的距离的2倍,求$a^{2023}+2024$的值.

7. 解:(1) $(-4,0)$；
【解法提示】因为点 $P$ 在 $x$ 轴上,所以 $6+2a=0$,所以 $a=-3$,所以 $a-1=-4$,所以点 $P$ 的坐标为 $(-4,0)$.
(2) $(0,8)$；
【解法提示】因为 $PQ// x$ 轴,所以 $6+2a=8$,所以 $a=1$,所以 $a-1=0$,所以点 $P$ 的坐标为 $(0,8)$.
(3)因为点 $P$ 在第二象限,所以它到 $x$ 轴的距离为 $6+2a$,到 $y$ 轴的距离为 $-(a-1)$,
因为点 $P$ 到 $x$ 轴的距离是到 $y$ 轴的距离的 2 倍,
所以 $6+2a=-(a-1)×2$,
所以 $a=-1$,
所以 $a^{2023}+2024=(-1)^{2023}+2024=2023$.

8. 💡中考新考法·阅读理解题，在平面直角坐标系中，规定某一点到x轴，y轴距离的较小值称为该点的“短距”，若某点到x轴，y轴距离相等，则称该点为“完美点”.
(1)点$M(-3,-4)$的“短距”是；
(2)若点$N(2n-5,1-4n)$是“完美点”，求点$N$的坐标；
(3)若坐标系第三象限内存在一点$P(-6,3a+1)$，且它的“短距”是5，现有一点$Q$，点$Q$的坐标为$(4-2a,-8)$，试说明点$Q$是“完美点”.

8. 解:(1) $3$；
(2)因为点 $N(2n-5,1-4n)$ 是“完美点”,
所以 $|2n-5|=|1-4n|$,
解得 $n=1$ 或 $n=-2$,
所以点 $N$ 的坐标为 $(-3,-3)$ 或 $(-9,9)$；
(3)因为点 $P$ 位于第三象限内,且它的“短距”是 5,
所以 $3a+1=-5$,解得 $a=-2$,
所以 $4-2a=4-2×(-2)=8=|-8|$,
所以点 $Q$ 是“完美点”.

9. 【一题多设问】如图,在平面直角坐标系中,已知$A(-2,-1),B(-4,-3),C(2,-2),△ A'B'C'$与$△ ABC$关于$x$轴对称.
(1)画出$△ A'B'C'$,并写出点$A',B',C'$的坐标；
(2)求$△ AB'C'$的面积；
(3)若$C'M// y$轴,且$△ A'C'M$的面积是$△ A'B'C'$面积的2倍,求点$M$的坐标；
(4)若点$P$在$x$轴上,求$PA+PC$的最小值.

9. 解:(1)画出$△ A'B'C'$如解图所示,
$A'(-2,1),B'(-4,3),C'(2,2)$；
(2)如解图,连接 $AB',AC'$,
则 $S_{△ AB'C'} = 4×6-\frac{1}{2}×2×4-\frac{1}{2}×1×6-\frac{1}{2}×3×4=11$；
(3)根据解图,得 $S_{△ A'B'C'} = 2×6-\frac{1}{2}×2×2-\frac{1}{2}×1×6-\frac{1}{2}×4×1=5$,
所以 $S_{△ A'C'M} = 2S_{△ A'B'C'} = 2×5=10$.
因为 $C'M// y$ 轴,所以设点 $M(2,m)$,
即 $\frac{1}{2}×|2-m|×4=10$,所以 $|2-m|=5$,
解得 $m=-3$ 或 $m=7$,
所以点 $M$ 的坐标为 $(2,-3)$ 或 $(2,7)$；
(4)如解图,连接 $A'C$,
线段 $A'C$ 与 $x$ 轴的交点即为点 $P$,连接 $AP$,
$A'C$ 的长即为 $PA+PC$ 的最小值,$A'C=\sqrt{3^2+4^2}=5$,
即 $PA+PC$ 的最小值为 5.