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例1 某市政府计划两年内将该市人均住房面积由$20\ \mathrm{m}^2$提高到$28.8\ \mathrm{m}^2$，设每年人均住房面积的增长率为$x$，则所列方程正确的是()
A.$20(1+x)^2=28.8$
B.$20(1-x)^2=28.8$
C.$20(1+x)=28.8$
D.$20+20(1+x)+20(1+x)^2=28.8$
【思路导析】第一年提高到$20+20x$，第二年提高到$20+20x+(20+20x)x=20(1+x)^2$。
【请你解答】.
A.$20(1+x)^2=28.8$
B.$20(1-x)^2=28.8$
C.$20(1+x)=28.8$
D.$20+20(1+x)+20(1+x)^2=28.8$
【思路导析】第一年提高到$20+20x$，第二年提高到$20+20x+(20+20x)x=20(1+x)^2$。
【请你解答】.
答案
A
解析
【分析】
本题考查平均增长率问题的方程列法，解题思路如下：首先明确平均增长率问题的基本等量关系：若初始量为a，平均增长率为x，增长n次后的量为$a(1+x)^n$。本题初始人均住房面积是$20\ \mathrm{m}^2$，增长次数为2次，最终目标面积是$28.8\ \mathrm{m}^2$，代入等量关系即可列出方程，再匹配选项即可。
【解析】
已知初始人均住房面积为$20\ \mathrm{m}^2$，每年人均住房面积增长率为x：
1. 第一年结束时的人均住房面积为初始面积乘(1+增长率)，即$20(1+x)\ \mathrm{m}^2$；
2. 第二年在第一年的面积基础上继续增长x，因此第二年结束时的人均住房面积为第一年面积乘(1+增长率)，即$20(1+x) × (1+x) = 20(1+x)^2\ \mathrm{m}^2$；
3. 结合两年后面积为$28.8\ \mathrm{m}^2$，可列方程：$20(1+x)^2=28.8$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的应用；增长率问题
【点评】
本题是增长率类基础应用题，解题核心是掌握平均增长率的计算公式，明确增长次数和增长前后的对应量，即可快速列出正确方程。
【难度系数】
0.9
本题考查平均增长率问题的方程列法，解题思路如下：首先明确平均增长率问题的基本等量关系：若初始量为a，平均增长率为x，增长n次后的量为$a(1+x)^n$。本题初始人均住房面积是$20\ \mathrm{m}^2$，增长次数为2次，最终目标面积是$28.8\ \mathrm{m}^2$，代入等量关系即可列出方程，再匹配选项即可。
【解析】
已知初始人均住房面积为$20\ \mathrm{m}^2$，每年人均住房面积增长率为x：
1. 第一年结束时的人均住房面积为初始面积乘(1+增长率)，即$20(1+x)\ \mathrm{m}^2$；
2. 第二年在第一年的面积基础上继续增长x，因此第二年结束时的人均住房面积为第一年面积乘(1+增长率)，即$20(1+x) × (1+x) = 20(1+x)^2\ \mathrm{m}^2$；
3. 结合两年后面积为$28.8\ \mathrm{m}^2$，可列方程：$20(1+x)^2=28.8$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的应用；增长率问题
【点评】
本题是增长率类基础应用题，解题核心是掌握平均增长率的计算公式，明确增长次数和增长前后的对应量，即可快速列出正确方程。
【难度系数】
0.9
例2 秋冬换季时节甲流高发，某社区发现一例甲流患者，经过两轮传播后，总感染人数达到36人.设每一轮传播中每个患者平均传染x人，则可列方程为()
A.$1+x+x^2=36$
B.$1+x+x(x+1)=36$
C.$1+x+(1+x)^2=36$
D.$1+x+(2x)^2=36$
【思路导析】开始有1例患者，经过第一轮传染后有$(x+1)$人患甲流，则第二轮传染了$x(x+1)$人，再将所有患者人数相加即可.
【请你解答】.
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
典例探究 生活中的增长率问题
A.$1+x+x^2=36$
B.$1+x+x(x+1)=36$
C.$1+x+(1+x)^2=36$
D.$1+x+(2x)^2=36$
【思路导析】开始有1例患者，经过第一轮传染后有$(x+1)$人患甲流，则第二轮传染了$x(x+1)$人，再将所有患者人数相加即可.
【请你解答】.
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
典例探究 生活中的增长率问题
答案
B
解析
【分析】
解决传播类方程问题，首先要理清每一轮的传染源数量：初始有1例患者，第一轮传播时传染源为这1名患者，先算出第一轮结束后的总患者数；第二轮传播的传染源是第一轮结束后的所有患者，再算出第二轮新增的感染人数，最终将初始患者、第一轮新增患者、第二轮新增患者相加等于总感染人数36，就能列出正确方程。
【解析】
解：第一步，初始感染人数为1人；
第二步，第一轮传播：每名患者平均传染x人，因此第一轮新增x名感染者，第一轮传播结束后总共有$1+x$名患者；
第三步，第二轮传播：传染源为第一轮结束后的$1+x$名患者，每人仍传染x人，因此第二轮新增$x(1+x)$名感染者；
第四步，两轮传播后总感染人数为36，因此列方程为$1+x+x(1+x)=36$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
传播问题列方程、一元二次方程实际应用
【点评】
本题是传播类实际应用的基础典型题，解题关键是准确判断每一轮传播的传染源数量，不要混淆新增感染人数和累计总感染人数的关系，理清传播逻辑即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解决传播类方程问题，首先要理清每一轮的传染源数量：初始有1例患者，第一轮传播时传染源为这1名患者，先算出第一轮结束后的总患者数；第二轮传播的传染源是第一轮结束后的所有患者，再算出第二轮新增的感染人数，最终将初始患者、第一轮新增患者、第二轮新增患者相加等于总感染人数36，就能列出正确方程。
【解析】
解：第一步，初始感染人数为1人；
第二步，第一轮传播：每名患者平均传染x人，因此第一轮新增x名感染者，第一轮传播结束后总共有$1+x$名患者；
第三步，第二轮传播：传染源为第一轮结束后的$1+x$名患者，每人仍传染x人，因此第二轮新增$x(1+x)$名感染者；
第四步，两轮传播后总感染人数为36，因此列方程为$1+x+x(1+x)=36$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
传播问题列方程、一元二次方程实际应用
【点评】
本题是传播类实际应用的基础典型题，解题关键是准确判断每一轮传播的传染源数量，不要混淆新增感染人数和累计总感染人数的关系，理清传播逻辑即可快速解题。
【难度系数】
0.7
例3 某公司向银行贷款100万元用于生产新产品，签订的合同上约定两年到期一次性还本付息，利息为本金的6％.该产品投放市场后，由于产品受到消费者的喜欢，两年到期除还清本息外，还盈余38万元.若该公司每年生产利润的增长率相同，求该公司每年生产利润的增长率.
【探究点拨】总金额＝本息和＋盈余38万.
【规范解答】设每年利润的增长率为$ x $，依题意得$ 100(1+x)^2 = 38 + 100(1+6\%) $，
整理得$ 100(1+x)^2 = 144 $，
解得$ x_1 = 0.2 $，$ x_2 = -2.2 $(舍去).
答：该公司每年生产利润的增长率为20％.
【探究点拨】总金额＝本息和＋盈余38万.
【规范解答】设每年利润的增长率为$ x $，依题意得$ 100(1+x)^2 = 38 + 100(1+6\%) $，
整理得$ 100(1+x)^2 = 144 $，
解得$ x_1 = 0.2 $，$ x_2 = -2.2 $(舍去).
答：该公司每年生产利润的增长率为20％.
答案
解：设该公司每年生产利润的增长率为$x$，
依题意得：
$100(1+x)^2 = 38 + 100(1+6\%)$
整理得：
$100(1+x)^2 = 144$
两边同时除以100，得$(1+x)^2=1.44$
直接开平方，得$1+x=\pm1.2$
解得$x_1=0.2$，$x_2=-2.2$。
因为利润增长率为正数，所以$x=-2.2$不符合实际意义，舍去。
答：该公司每年生产利润的增长率为20%。
依题意得：
$100(1+x)^2 = 38 + 100(1+6\%)$
整理得：
$100(1+x)^2 = 144$
两边同时除以100，得$(1+x)^2=1.44$
直接开平方，得$1+x=\pm1.2$
解得$x_1=0.2$，$x_2=-2.2$。
因为利润增长率为正数，所以$x=-2.2$不符合实际意义，舍去。
答：该公司每年生产利润的增长率为20%。
解析
【分析】
本题属于平均增长率类实际应用题，解题思路如下：首先明确核心等量关系：公司两年后的总资金=到期需偿还的本息和+盈余金额。第一步先计算需偿还的本息和：本金100万元，利息为本金的6%，因此本息和为$100×(1+6\%)$，加上盈余38万元即为两年后公司的总资金；第二步结合平均增长率公式，初始本金100万元，年增长率为x时，两年后的总资金可表示为$100(1+x)^2$，据此列一元二次方程求解；最后注意增长率为正数，需舍去不符合实际意义的负根。
【解析】
设该公司每年生产利润的增长率为$x$，
依题意得：
$100(1+x)^2 = 38 + 100(1+6\%)$
整理得：
$100(1+x)^2 = 144$
两边同时除以100，得$(1+x)^2=1.44$
直接开平方，得$1+x=\pm1.2$
解得$x_1=0.2$，$x_2=-2.2$。
因为利润增长率为正数，所以$x=-2.2$不符合实际意义，舍去。
答：该公司每年生产利润的增长率为20%。
【答案】
20%
【知识点】
平均增长率问题；一元二次方程的应用；一元二次方程的解法
【点评】
本题是增长率类的典型基础题，解题核心是找准等量关系列出正确方程，同时要注意结合实际问题的意义对求解出的根进行取舍，掌握平均增长率的通用计算公式即可快速解决这类问题。
【难度系数】
0.75
本题属于平均增长率类实际应用题，解题思路如下：首先明确核心等量关系：公司两年后的总资金=到期需偿还的本息和+盈余金额。第一步先计算需偿还的本息和：本金100万元，利息为本金的6%，因此本息和为$100×(1+6\%)$，加上盈余38万元即为两年后公司的总资金；第二步结合平均增长率公式，初始本金100万元，年增长率为x时，两年后的总资金可表示为$100(1+x)^2$，据此列一元二次方程求解；最后注意增长率为正数，需舍去不符合实际意义的负根。
【解析】
设该公司每年生产利润的增长率为$x$，
依题意得：
$100(1+x)^2 = 38 + 100(1+6\%)$
整理得：
$100(1+x)^2 = 144$
两边同时除以100，得$(1+x)^2=1.44$
直接开平方，得$1+x=\pm1.2$
解得$x_1=0.2$，$x_2=-2.2$。
因为利润增长率为正数，所以$x=-2.2$不符合实际意义，舍去。
答：该公司每年生产利润的增长率为20%。
【答案】
20%
【知识点】
平均增长率问题；一元二次方程的应用；一元二次方程的解法
【点评】
本题是增长率类的典型基础题，解题核心是找准等量关系列出正确方程，同时要注意结合实际问题的意义对求解出的根进行取舍，掌握平均增长率的通用计算公式即可快速解决这类问题。
【难度系数】
0.75
1.有1个人患了流感，经过两轮传染后共有169个人被传染，每轮传染中平均1个人传染了多少个人？
答案
解：设每轮传染中平均1个人传染了x个人。
第一轮传染后，共有$(1+x)$人患流感；
第二轮传染后，新增$x(1+x)$名流感患者，两轮后总患病人数为$1+x+x(1+x)=(1+x)^2$。
根据题意列方程得：
$(1+x)^2=169$
直接开平方，得$1+x=\pm13$
解得$x_1=12$，$x_2=-14$。
因为传染的人数不能为负数，所以$x_2=-14$不符合题意，舍去。
答：每轮传染中平均1个人传染了12个人。
第一轮传染后，共有$(1+x)$人患流感；
第二轮传染后，新增$x(1+x)$名流感患者，两轮后总患病人数为$1+x+x(1+x)=(1+x)^2$。
根据题意列方程得：
$(1+x)^2=169$
直接开平方，得$1+x=\pm13$
解得$x_1=12$，$x_2=-14$。
因为传染的人数不能为负数，所以$x_2=-14$不符合题意，舍去。
答：每轮传染中平均1个人传染了12个人。
解析
【分析】
这是典型的传播类应用题，解题时首先明确每轮传染的基数：最初有1名患者，设每轮平均1人传染x人，第一轮传染后，原有1人共传染x人，因此第一轮结束后总共有(1+x)名患者；第二轮传染时，这(1+x)名患者每人都传染x人，因此第二轮新增x(1+x)名患者，两轮后总患者数为第一轮总人数加第二轮新增人数，整理可得总人数为$(1+x)^2$，再结合两轮后共169人患病的条件列方程求解，最后注意传染人数不可能为负数，需舍去不符合实际意义的解。
【解析】
解：设每轮传染中平均1个人传染了x个人。
第一轮传染后，共有$(1+x)$人患流感；
第二轮传染后，新增$x(1+x)$名流感患者，两轮后总患病人数为$1+x+x(1+x)=(1+x)^2$。
根据题意列方程得：
$(1+x)^2=169$
直接开平方，得$1+x=\pm13$
解得$x_1=12$，$x_2=-14$。
因为传染的人数不能为负数，所以$x_2=-14$不符合题意，舍去。
【答案】
每轮传染中平均1个人传染了12个人。
【知识点】
一元二次方程应用，传播问题，直接开平方法解方程
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的常考题型，解题核心是理清每轮传染前后的患者数量关系，求解方程后要注意结合实际场景对解进行取舍，掌握此类问题的数量规律就能快速解题。
【难度系数】
0.8
这是典型的传播类应用题，解题时首先明确每轮传染的基数：最初有1名患者，设每轮平均1人传染x人，第一轮传染后，原有1人共传染x人，因此第一轮结束后总共有(1+x)名患者；第二轮传染时，这(1+x)名患者每人都传染x人，因此第二轮新增x(1+x)名患者，两轮后总患者数为第一轮总人数加第二轮新增人数，整理可得总人数为$(1+x)^2$，再结合两轮后共169人患病的条件列方程求解，最后注意传染人数不可能为负数，需舍去不符合实际意义的解。
【解析】
解：设每轮传染中平均1个人传染了x个人。
第一轮传染后，共有$(1+x)$人患流感；
第二轮传染后，新增$x(1+x)$名流感患者，两轮后总患病人数为$1+x+x(1+x)=(1+x)^2$。
根据题意列方程得：
$(1+x)^2=169$
直接开平方，得$1+x=\pm13$
解得$x_1=12$，$x_2=-14$。
因为传染的人数不能为负数，所以$x_2=-14$不符合题意，舍去。
【答案】
每轮传染中平均1个人传染了12个人。
【知识点】
一元二次方程应用，传播问题，直接开平方法解方程
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的常考题型，解题核心是理清每轮传染前后的患者数量关系，求解方程后要注意结合实际场景对解进行取舍，掌握此类问题的数量规律就能快速解题。
【难度系数】
0.8
2.某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元，假设该产品利润每月的增长率相同，求这个增长率.
答案
解：设这个每月的增长率为x。
根据题意，得
$20(1+x)^2 - 20(1+x) = 4.8$
整理方程，得
$25x^2 +25x -6 = 0$
解得
$x_1=0.2$，$x_2=-1.2$
因为增长率不能为负数，$x=-1.2$不符合题意，舍去。
$\therefore x=0.2=20\%$
答：这个增长率为20%。
根据题意，得
$20(1+x)^2 - 20(1+x) = 4.8$
整理方程，得
$25x^2 +25x -6 = 0$
解得
$x_1=0.2$，$x_2=-1.2$
因为增长率不能为负数，$x=-1.2$不符合题意，舍去。
$\therefore x=0.2=20\%$
答：这个增长率为20%。
解析
【分析】
这是典型的增长率类应用题，解题思路如下：首先明确每月利润的表达规则，设月增长率为x，1月利润为20万元，则2月利润为1月利润乘以(1+增长率)，即$20(1+x)$万元，3月利润为2月利润再乘以(1+增长率)，即$20(1+x)^2$万元。再抓住题干给出的核心等量关系“3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元”，用3月利润减去2月利润等于4.8即可列出方程，求解后注意增长率不能为负数，需要舍去不符合实际意义的根，最终得到正确结果。
【解析】
解：设这个每月的增长率为x。
根据题意，得：
$20(1+x)^2 - 20(1+x) = 4.8$
整理方程，得：
$25x^2 +25x -6 = 0$
解得：$x_1=0.2$，$x_2=-1.2$
因为增长率不能为负数，$x=-1.2$不符合题意，舍去。
$\therefore x=0.2=20\%$
答：这个增长率为20%。
【答案】
20%
【知识点】
1. 一元二次方程应用
2. 增长率问题
3. 方程验根
【点评】
本题属于增长率类基础应用题，解题核心是正确表示不同阶段的对应数值，准确抓住题干中的等量关系列方程，求解后要注意结合实际情况对根进行取舍，排除不符合逻辑的解。
【难度系数】
0.7
这是典型的增长率类应用题，解题思路如下：首先明确每月利润的表达规则，设月增长率为x，1月利润为20万元，则2月利润为1月利润乘以(1+增长率)，即$20(1+x)$万元，3月利润为2月利润再乘以(1+增长率)，即$20(1+x)^2$万元。再抓住题干给出的核心等量关系“3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元”，用3月利润减去2月利润等于4.8即可列出方程，求解后注意增长率不能为负数，需要舍去不符合实际意义的根，最终得到正确结果。
【解析】
解：设这个每月的增长率为x。
根据题意，得：
$20(1+x)^2 - 20(1+x) = 4.8$
整理方程，得：
$25x^2 +25x -6 = 0$
解得：$x_1=0.2$，$x_2=-1.2$
因为增长率不能为负数，$x=-1.2$不符合题意，舍去。
$\therefore x=0.2=20\%$
答：这个增长率为20%。
【答案】
20%
【知识点】
1. 一元二次方程应用
2. 增长率问题
3. 方程验根
【点评】
本题属于增长率类基础应用题，解题核心是正确表示不同阶段的对应数值，准确抓住题干中的等量关系列方程，求解后要注意结合实际情况对根进行取舍，排除不符合逻辑的解。
【难度系数】
0.7
