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10. 先化简，再求值：$\dfrac{x^2 - y^2}{x^2 + 2xy + y^2} ÷ \dfrac{y^2 - xy}{xy + x^2}$，其中$x=2$，$y=-3$。
答案
解：原式$=\dfrac{(x+y)(x-y)}{(x+y)^2} · \dfrac{x(x+y)}{-y(x-y)} =-\dfrac{x}{y}$.
当$x=2$，$y=-3$时，原式$=-\dfrac{2}{-3} =\dfrac{2}{3}$.
当$x=2$，$y=-3$时，原式$=-\dfrac{2}{-3} =\dfrac{2}{3}$.
解析
【分析】
这是分式化简求值类题目，解题思路可分三步：第一步，依据分式除法法则，将除法运算转化为乘法运算；第二步，对每个分式的分子、分母分别因式分解（会用到提公因式法、平方差公式、完全平方公式），再约去公因式得到最简分式；第三步，将x、y的取值代入最简分式计算结果，先化简再代值能大幅降低运算量，运算过程中要注意符号变化，避免出错。
【解析】
解：根据分式除法法则，除以一个分式等于乘它的倒数，可得：
原式$=\dfrac{x^2 - y^2}{x^2 + 2xy + y^2} · \dfrac{xy + x^2}{y^2 - xy}$
对各部分因式分解：
$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，$x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$，
$xy+x^2=x(x+y)$，$y^2-xy=y(y-x)=-y(x-y)$
代入后约分：
原式$=\dfrac{(x+y)(x-y)}{(x+y)^2} · \dfrac{x(x+y)}{-y(x-y)} =-\dfrac{x}{y}$
将$x=2$，$y=-3$代入最简式：
原式$=-\dfrac{2}{-3} =\dfrac{2}{3}$
【答案】
$\dfrac{2}{3}$
【知识点】
分式乘除运算，因式分解，代数式求值
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题核心是先把除法转化为乘法，再通过因式分解、约分得到最简分式后再代值计算，运算时要注意提取负号后的符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
这是分式化简求值类题目，解题思路可分三步：第一步，依据分式除法法则，将除法运算转化为乘法运算；第二步，对每个分式的分子、分母分别因式分解（会用到提公因式法、平方差公式、完全平方公式），再约去公因式得到最简分式；第三步，将x、y的取值代入最简分式计算结果，先化简再代值能大幅降低运算量，运算过程中要注意符号变化，避免出错。
【解析】
解：根据分式除法法则，除以一个分式等于乘它的倒数，可得：
原式$=\dfrac{x^2 - y^2}{x^2 + 2xy + y^2} · \dfrac{xy + x^2}{y^2 - xy}$
对各部分因式分解：
$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，$x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$，
$xy+x^2=x(x+y)$，$y^2-xy=y(y-x)=-y(x-y)$
代入后约分：
原式$=\dfrac{(x+y)(x-y)}{(x+y)^2} · \dfrac{x(x+y)}{-y(x-y)} =-\dfrac{x}{y}$
将$x=2$，$y=-3$代入最简式：
原式$=-\dfrac{2}{-3} =\dfrac{2}{3}$
【答案】
$\dfrac{2}{3}$
【知识点】
分式乘除运算，因式分解，代数式求值
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题核心是先把除法转化为乘法，再通过因式分解、约分得到最简分式后再代值计算，运算时要注意提取负号后的符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
11. (1) 计算：$(a+2)(a^2 -2a +4)=\_\_\_\_\_\_$，$(2x+y)(4x^2 -2xy +y^2)=\_\_\_\_\_\_$；
(2) 上面的整式乘法计算结果很简洁，可以从中发现一个新的乘法公式，将这个乘法公式用$a$，$b$表示：______；
(3) 利用所学知识以及（2）所得乘法公式，计算$\dfrac{m^3 +n^3}{m^2 -mn +n^2} ÷ \dfrac{m^2 -n^2}{m^2 -2mn +n^2}$。
(2) 上面的整式乘法计算结果很简洁，可以从中发现一个新的乘法公式，将这个乘法公式用$a$，$b$表示：______；
(3) 利用所学知识以及（2）所得乘法公式，计算$\dfrac{m^3 +n^3}{m^2 -mn +n^2} ÷ \dfrac{m^2 -n^2}{m^2 -2mn +n^2}$。
答案
解：(1) $a^3+8$ $8x^3+y^3$
(2) $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$
(3) $\dfrac{m^3 +n^3}{m^2 -mn +n^2} ÷ \dfrac{m^2 -n^2}{m^2 -2mn +n^2}$
$=\dfrac{(m+n)(m^2 -mn +n^2)}{m^2 -mn +n^2} · \dfrac{(m-n)^2}{(m+n)(m-n)}$
$=m-n$.
(2) $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$
(3) $\dfrac{m^3 +n^3}{m^2 -mn +n^2} ÷ \dfrac{m^2 -n^2}{m^2 -2mn +n^2}$
$=\dfrac{(m+n)(m^2 -mn +n^2)}{m^2 -mn +n^2} · \dfrac{(m-n)^2}{(m+n)(m-n)}$
$=m-n$.
解析
【分析】
(1) 按照多项式乘多项式的运算法则，将第一个多项式的每一项分别乘第二个多项式的每一项，再合并同类项即可得到计算结果；
(2) 观察(1)中两个乘法算式的结构和结果，总结共同规律：左边为两个数的和乘两个数的平方和减去两数乘积的形式，右边为两数的立方和，据此用含a、b的式子写出通用公式即可；
(3) 进行分式乘除运算时，先将除法转化为乘法（除以一个分式等于乘这个分式的倒数），再利用(2)中得到的立方和公式、平方差公式、完全平方公式对各多项式因式分解，最后约去分子分母的公因式即可得到化简结果。
【解析】
(1) 计算第一个式子：
$(a+2)(a^2 -2a +4)=a· a^2 +a· (-2a)+a·4 +2· a^2 +2·(-2a)+2·4=a^3-2a^2+4a+2a^2-4a+8=a^3+8$
计算第二个式子：
$(2x+y)(4x^2 -2xy +y^2)=2x·4x^2 +2x·(-2xy)+2x· y^2 +y·4x^2 +y·(-2xy)+y· y^2=8x^3-4x^2y+2xy^2+4x^2y-2xy^2+y^3=8x^3+y^3$
(2) 观察上述两个等式，归纳可得乘法公式：$(a+b)(a^2 -ab +b^2)=a^3 +b^3$
(3) 计算分式：
$\dfrac{m^3 +n^3}{m^2 -mn +n^2} ÷ \dfrac{m^2 -n^2}{m^2 -2mn +n^2}$
首先将除法转化为乘法：
$=\dfrac{m^3 +n^3}{m^2 -mn +n^2} · \dfrac{m^2 -2mn +n^2}{m^2 -n^2}$
对各多项式因式分解：$m^3+n^3=(m+n)(m^2-mn+n^2)$，$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$，$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，代入得：
$=\dfrac{(m+n)(m^2 -mn +n^2)}{m^2 -mn +n^2} · \dfrac{(m-n)^2}{(m+n)(m-n)}$
约去分子分母的公因式（默认各分母不为0，分式有意义），得：
$=m-n$
【答案】
(1) $a^3+8$，$8x^3+y^3$；(2) $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$；(3) $m-n$
【知识点】
多项式乘法运算，立方和公式，分式乘除运算
【点评】
本题兼顾基础运算和规律探究，既考查了整式乘法、分式运算的基本能力，也考查了规律归纳、公式迁移应用的能力，解题时要准确识别各类乘法公式的结构特征，分式约分时要注意隐含的分母不为0的条件。
【难度系数】
0.7
(1) 按照多项式乘多项式的运算法则，将第一个多项式的每一项分别乘第二个多项式的每一项，再合并同类项即可得到计算结果；
(2) 观察(1)中两个乘法算式的结构和结果，总结共同规律：左边为两个数的和乘两个数的平方和减去两数乘积的形式，右边为两数的立方和，据此用含a、b的式子写出通用公式即可；
(3) 进行分式乘除运算时，先将除法转化为乘法（除以一个分式等于乘这个分式的倒数），再利用(2)中得到的立方和公式、平方差公式、完全平方公式对各多项式因式分解，最后约去分子分母的公因式即可得到化简结果。
【解析】
(1) 计算第一个式子：
$(a+2)(a^2 -2a +4)=a· a^2 +a· (-2a)+a·4 +2· a^2 +2·(-2a)+2·4=a^3-2a^2+4a+2a^2-4a+8=a^3+8$
计算第二个式子：
$(2x+y)(4x^2 -2xy +y^2)=2x·4x^2 +2x·(-2xy)+2x· y^2 +y·4x^2 +y·(-2xy)+y· y^2=8x^3-4x^2y+2xy^2+4x^2y-2xy^2+y^3=8x^3+y^3$
(2) 观察上述两个等式，归纳可得乘法公式：$(a+b)(a^2 -ab +b^2)=a^3 +b^3$
(3) 计算分式：
$\dfrac{m^3 +n^3}{m^2 -mn +n^2} ÷ \dfrac{m^2 -n^2}{m^2 -2mn +n^2}$
首先将除法转化为乘法：
$=\dfrac{m^3 +n^3}{m^2 -mn +n^2} · \dfrac{m^2 -2mn +n^2}{m^2 -n^2}$
对各多项式因式分解：$m^3+n^3=(m+n)(m^2-mn+n^2)$，$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$，$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，代入得：
$=\dfrac{(m+n)(m^2 -mn +n^2)}{m^2 -mn +n^2} · \dfrac{(m-n)^2}{(m+n)(m-n)}$
约去分子分母的公因式（默认各分母不为0，分式有意义），得：
$=m-n$
【答案】
(1) $a^3+8$，$8x^3+y^3$；(2) $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$；(3) $m-n$
【知识点】
多项式乘法运算，立方和公式，分式乘除运算
【点评】
本题兼顾基础运算和规律探究，既考查了整式乘法、分式运算的基本能力，也考查了规律归纳、公式迁移应用的能力，解题时要准确识别各类乘法公式的结构特征，分式约分时要注意隐含的分母不为0的条件。
【难度系数】
0.7
