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4. 老师设计了接力游戏，甲、乙、丙、丁四名同学用合作的方式完成分式计算，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成计算。过程如图18.2-1所示，接力中，自己负责的一步出现错误的同学是（
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
B
）。A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
B
解析
【分析】
要判断接力中谁的步骤出错，需按照分式乘除的运算法则逐人核对计算步骤：首先分式除法要转化为乘法（除以一个分式等于乘以该分式的倒数），其次互为相反数的因式变形要注意符号变化，再结合因式分解、约分的规则检查，即可找到出错的同学。
【解析】
我们依次检查每名同学的计算：
1. 检查甲的步骤：原式为$\frac{x^2-2x}{x-1} ÷ \frac{x^2}{1-x}$，根据分式除法法则，除以$\frac{x^2}{1-x}$等于乘以它的倒数$\frac{1-x}{x^2}$，因此甲得到的$\frac{x^2-2x}{x-1} · \frac{1-x}{x^2}$计算正确。
2. 检查乙的步骤：甲传递的式子中第二个分式的分子是$1-x$，$1-x=-(x-1)$，变形时需要添加负号，但乙直接将$1-x$替换为$x-1$，遗漏了负号，因此乙的步骤错误。
后续丙对$x^2-2x$因式分解为$x(x-2)$的变形正确，丁对丙的式子约分计算也正确，二者是基于乙的错误式子做的正确运算，因此出错的是乙。
【答案】
B
【知识点】
分式乘除运算、因式分解、分式约分
【点评】
本题重点考查分式乘除的运算细节，互为相反数的因式变形漏写符号是分式运算中非常典型的易错点，熟练掌握运算法则、注意细节即可避免这类错误。
【难度系数】
0.7
要判断接力中谁的步骤出错，需按照分式乘除的运算法则逐人核对计算步骤：首先分式除法要转化为乘法（除以一个分式等于乘以该分式的倒数），其次互为相反数的因式变形要注意符号变化，再结合因式分解、约分的规则检查，即可找到出错的同学。
【解析】
我们依次检查每名同学的计算：
1. 检查甲的步骤：原式为$\frac{x^2-2x}{x-1} ÷ \frac{x^2}{1-x}$，根据分式除法法则，除以$\frac{x^2}{1-x}$等于乘以它的倒数$\frac{1-x}{x^2}$，因此甲得到的$\frac{x^2-2x}{x-1} · \frac{1-x}{x^2}$计算正确。
2. 检查乙的步骤：甲传递的式子中第二个分式的分子是$1-x$，$1-x=-(x-1)$，变形时需要添加负号，但乙直接将$1-x$替换为$x-1$，遗漏了负号，因此乙的步骤错误。
后续丙对$x^2-2x$因式分解为$x(x-2)$的变形正确，丁对丙的式子约分计算也正确，二者是基于乙的错误式子做的正确运算，因此出错的是乙。
【答案】
B
【知识点】
分式乘除运算、因式分解、分式约分
【点评】
本题重点考查分式乘除的运算细节，互为相反数的因式变形漏写符号是分式运算中非常典型的易错点，熟练掌握运算法则、注意细节即可避免这类错误。
【难度系数】
0.7
5. 计算：(1) $\dfrac{1}{a+b} ÷ (a+b)=$
$\dfrac{1}{(a+b)^2}$
；(2) $\dfrac{a+2}{a-2} · \dfrac{1}{a^2+2a}=$ $\dfrac{1}{a^2-2a}$
。答案
(1) $\dfrac{1}{(a+b)^2}$；(2) $\dfrac{1}{a^2-2a}$
解析
【分析】
本题考查分式的乘除运算，解题思路如下：
1. 分式除法运算规则：除以一个不为0的整式，等价于乘以这个整式的倒数，先把除法转化为乘法再计算；
2. 分式乘法运算时，先对分子、分母中能因式分解的多项式因式分解，再约去公因式，最后将分子、分母分别相乘得到最简结果。
第(1)题先将除法转化为乘法，再按分式乘法法则计算即可；第(2)题先对第二个分式的分母提公因式因式分解，再约分后计算即可。
【解析】
(1) 先将除法转化为乘法：
$\dfrac{1}{a+b} ÷ (a+b) = \dfrac{1}{a+b} × \dfrac{1}{a+b}$
根据分式乘法法则，分子相乘作分子，分母相乘作分母：
原式$= \dfrac{1 × 1}{(a+b)(a+b)} = \dfrac{1}{(a+b)^2}$
(2) 先对分母$a^2+2a$提公因式因式分解，得$a^2+2a = a(a+2)$，代入原式：
$\dfrac{a+2}{a-2} · \dfrac{1}{a^2+2a} = \dfrac{a+2}{a-2} · \dfrac{1}{a(a+2)}$
约去分子、分母的公因式$a+2$（分式有意义前提下$a+2≠0$）：
原式$= \dfrac{1}{a-2} · \dfrac{1}{a} = \dfrac{1}{a(a-2)} = \dfrac{1}{a^2-2a}$
【答案】
(1) $\dfrac{1}{(a+b)^2}$；(2) $\dfrac{1}{a^2-2a}$
【知识点】
分式乘除运算、提公因式法因式分解、分式约分
【点评】
本题属于分式乘除的基础常规题，核心考查分式乘除的运算规则和约分技巧，运算时注意先统一为乘法运算，有公因式的优先因式分解再约分，可降低出错概率。
【难度系数】
0.8
本题考查分式的乘除运算，解题思路如下：
1. 分式除法运算规则：除以一个不为0的整式，等价于乘以这个整式的倒数，先把除法转化为乘法再计算；
2. 分式乘法运算时，先对分子、分母中能因式分解的多项式因式分解，再约去公因式，最后将分子、分母分别相乘得到最简结果。
第(1)题先将除法转化为乘法，再按分式乘法法则计算即可；第(2)题先对第二个分式的分母提公因式因式分解，再约分后计算即可。
【解析】
(1) 先将除法转化为乘法：
$\dfrac{1}{a+b} ÷ (a+b) = \dfrac{1}{a+b} × \dfrac{1}{a+b}$
根据分式乘法法则，分子相乘作分子，分母相乘作分母：
原式$= \dfrac{1 × 1}{(a+b)(a+b)} = \dfrac{1}{(a+b)^2}$
(2) 先对分母$a^2+2a$提公因式因式分解，得$a^2+2a = a(a+2)$，代入原式：
$\dfrac{a+2}{a-2} · \dfrac{1}{a^2+2a} = \dfrac{a+2}{a-2} · \dfrac{1}{a(a+2)}$
约去分子、分母的公因式$a+2$（分式有意义前提下$a+2≠0$）：
原式$= \dfrac{1}{a-2} · \dfrac{1}{a} = \dfrac{1}{a(a-2)} = \dfrac{1}{a^2-2a}$
【答案】
(1) $\dfrac{1}{(a+b)^2}$；(2) $\dfrac{1}{a^2-2a}$
【知识点】
分式乘除运算、提公因式法因式分解、分式约分
【点评】
本题属于分式乘除的基础常规题，核心考查分式乘除的运算规则和约分技巧，运算时注意先统一为乘法运算，有公因式的优先因式分解再约分，可降低出错概率。
【难度系数】
0.8
6. 计算：(1) $(xy - x^2) ÷ \dfrac{x - y}{xy} = \_\_\_\_\_\_$；
(2) $\dfrac{2a(x - y)}{9b} · \dfrac{3b^3}{a^2(y - x)^2} = \_\_\_\_\_\_$。
(2) $\dfrac{2a(x - y)}{9b} · \dfrac{3b^3}{a^2(y - x)^2} = \_\_\_\_\_\_$。
答案
(1) $-x^2y$；(2) $\dfrac{2b^2}{3a(x-y)}$
解析
【分析】
分式乘除运算的核心思路是先将除法转化为乘法，再对分子、分母中的多项式因式分解，最后约去公因式得到最简结果。第(1)题先对被除式因式分解，同时把除法改为乘除式的倒数，再约分计算；第(2)题先利用$(y-x)^2=(x-y)^2$统一相同因式的形式，再分别对系数、相同字母、相同因式约分即可。
【解析】
(1) 先对被除式因式分解：$xy-x^2=x(y-x)=-x(x-y)$，再将除法转化为乘法：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-x(x-y) · \frac{xy}{x-y} \\&=-x · xy \\&=-x^2y\end{aligned}$
(2) 先变形得$(y-x)^2=(x-y)^2$，再约分计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{2a(x-y)}{9b} · \frac{3b^3}{a^2(x-y)^2} \\&=\frac{2a(x-y) · 3b^3}{9b · a^2(x-y)^2} \\&=\frac{2b^2}{3a(x-y)}\end{aligned}$
【答案】
(1) $-x^2y$；(2) $\dfrac{2b^2}{3a(x-y)}$
【知识点】
分式乘除运算、因式分解、分式约分
【点评】
本题属于分式乘除的基础运算题，解题时要注意先将除法统一为乘法，再对分子分母因式分解后约分，计算时需注意符号处理，以及$(y-x)^2$与$(x-y)^2$这类相同因式的变形，避免符号或约分错误。
【难度系数】
0.85
分式乘除运算的核心思路是先将除法转化为乘法，再对分子、分母中的多项式因式分解，最后约去公因式得到最简结果。第(1)题先对被除式因式分解，同时把除法改为乘除式的倒数，再约分计算；第(2)题先利用$(y-x)^2=(x-y)^2$统一相同因式的形式，再分别对系数、相同字母、相同因式约分即可。
【解析】
(1) 先对被除式因式分解：$xy-x^2=x(y-x)=-x(x-y)$，再将除法转化为乘法：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-x(x-y) · \frac{xy}{x-y} \\&=-x · xy \\&=-x^2y\end{aligned}$
(2) 先变形得$(y-x)^2=(x-y)^2$，再约分计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{2a(x-y)}{9b} · \frac{3b^3}{a^2(x-y)^2} \\&=\frac{2a(x-y) · 3b^3}{9b · a^2(x-y)^2} \\&=\frac{2b^2}{3a(x-y)}\end{aligned}$
【答案】
(1) $-x^2y$；(2) $\dfrac{2b^2}{3a(x-y)}$
【知识点】
分式乘除运算、因式分解、分式约分
【点评】
本题属于分式乘除的基础运算题，解题时要注意先将除法统一为乘法，再对分子分母因式分解后约分，计算时需注意符号处理，以及$(y-x)^2$与$(x-y)^2$这类相同因式的变形，避免符号或约分错误。
【难度系数】
0.85
7. 若$\frac{(\quad)}{a+b} ÷ \frac{a}{a^2 - b^2}$的运算结果是整式，则“（
$2a^2$
）”内的式子可能是$2a^2$
.（写一个即可）答案
$2a^2$（答案不唯一）
解析
【分析】
解决这道题首先要利用分式除法法则把除法运算转化为乘法运算，再通过因式分解对式子约分，化简后根据结果为整式的要求，推断括号内式子需要满足的特征：化简后分母只剩a，所以括号内的式子只要含有因式a，就能约掉分母得到整式，据此写出符合要求的式子即可。
【解析】
第一步：根据分式除法运算法则，将除法转化为乘法：
$\frac{(\quad)}{a+b} ÷ \frac{a}{a^2 - b^2} = \frac{(\quad)}{a+b} × \frac{a^2 - b^2}{a}$
第二步：利用平方差公式分解因式$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，代入后约分化简：
原式$= \frac{(\quad)}{a+b} × \frac{(a+b)(a-b)}{a} = \frac{(\quad) · (a-b)}{a}$
第三步：要使结果为整式，需括号内的式子含有因式$a$，例如取括号内的式子为$2a^2$，代入验证：
$\frac{2a^2 · (a-b)}{a} = 2a(a-b) = 2a^2 - 2ab$，结果是整式，符合要求。
【答案】
$2a^2$（答案不唯一）
【知识点】
分式的乘除运算；平方差公式因式分解；整式的概念
【点评】
本题属于开放性基础题，需要先对原式进行化简，再根据整式的定义反推未知部分的特征，只要写出的式子是含有因式a的整式都符合要求，解题时先化简再分析条件会更简单。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要利用分式除法法则把除法运算转化为乘法运算，再通过因式分解对式子约分，化简后根据结果为整式的要求，推断括号内式子需要满足的特征：化简后分母只剩a，所以括号内的式子只要含有因式a，就能约掉分母得到整式，据此写出符合要求的式子即可。
【解析】
第一步：根据分式除法运算法则，将除法转化为乘法：
$\frac{(\quad)}{a+b} ÷ \frac{a}{a^2 - b^2} = \frac{(\quad)}{a+b} × \frac{a^2 - b^2}{a}$
第二步：利用平方差公式分解因式$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，代入后约分化简：
原式$= \frac{(\quad)}{a+b} × \frac{(a+b)(a-b)}{a} = \frac{(\quad) · (a-b)}{a}$
第三步：要使结果为整式，需括号内的式子含有因式$a$，例如取括号内的式子为$2a^2$，代入验证：
$\frac{2a^2 · (a-b)}{a} = 2a(a-b) = 2a^2 - 2ab$，结果是整式，符合要求。
【答案】
$2a^2$（答案不唯一）
【知识点】
分式的乘除运算；平方差公式因式分解；整式的概念
【点评】
本题属于开放性基础题，需要先对原式进行化简，再根据整式的定义反推未知部分的特征，只要写出的式子是含有因式a的整式都符合要求，解题时先化简再分析条件会更简单。
【难度系数】
0.7
8. 计算：
(1) $\frac{x^2}{-2y} · \frac{-6xy^2}{x^4}$；
(3) $\frac{x+4}{x^2 -2x +1} ÷ \frac{x^2 +4x}{(x-1)^2}$；
(1) $\frac{x^2}{-2y} · \frac{-6xy^2}{x^4}$；
(3) $\frac{x+4}{x^2 -2x +1} ÷ \frac{x^2 +4x}{(x-1)^2}$；
答案
解：(1) 原式$=\dfrac{3y}{x}$.
(2) 原式$=\dfrac{x-3}{(x-2)^2} · \dfrac{(x+2)(x-2)}{x-3} =\dfrac{x+2}{x-2}$.
(3) 原式$=\dfrac{x+4}{(x-1)^2} · \dfrac{(x-1)^2}{x(x+4)} =\dfrac{1}{x}$.
(4) 原式$=\dfrac{(a+2)(a-2)}{2ab} · \dfrac{4ab(a+2)}{(a+2)^2} =2a-4$.
(2) 原式$=\dfrac{x-3}{(x-2)^2} · \dfrac{(x+2)(x-2)}{x-3} =\dfrac{x+2}{x-2}$.
(3) 原式$=\dfrac{x+4}{(x-1)^2} · \dfrac{(x-1)^2}{x(x+4)} =\dfrac{1}{x}$.
(4) 原式$=\dfrac{(a+2)(a-2)}{2ab} · \dfrac{4ab(a+2)}{(a+2)^2} =2a-4$.
解析
【分析】
分式乘除运算的解题思路如下：①先统一运算：遇到除法先转化为乘法，即除以一个分式等于乘这个分式的倒数；②因式分解：将分子、分母中能因式分解的多项式分解因式；③约分：约去分子和分母的公因式；④化简得到最简分式或整式，运算过程中要先判断符号，避免符号出错。
【解析】
(1) 先确定符号：负负得正，再按分式乘法规则计算，原式$=\frac{x^2 · 6xy^2}{2y · x^4}$，约去分子分母的公因式$2x^2y$，得$\frac{3y}{x}$。
(2) 先将除法转化为乘法：原式$=\frac{x-3}{x^2-4x+4} · \frac{x^2-4}{x-3}$，对多项式因式分解：$x^2-4x+4=(x-2)^2$，$x^2-4=(x+2)(x-2)$，代入后约去公因式$(x-3)$和$(x-2)$，得$\frac{x+2}{x-2}$。
(3) 先将除法转化为乘法：原式$=\frac{x+4}{x^2-2x+1} · \frac{(x-1)^2}{x^2+4x}$，对多项式因式分解：$x^2-2x+1=(x-1)^2$，$x^2+4x=x(x+4)$，代入后约去公因式$(x+4)$和$(x-1)^2$，得$\frac{1}{x}$。
(4) 先对分子分母的多项式因式分解：$a^2-4=(a+2)(a-2)$，$4a^2b+8ab=4ab(a+2)$，$a^2+4a+4=(a+2)^2$，代入原式得$\frac{(a+2)(a-2)}{2ab} · \frac{4ab(a+2)}{(a+2)^2}$，约去公因式$2ab$和$(a+2)^2$，得$2(a-2)=2a-4$。
【答案】
(1) $\dfrac{3y}{x}$；(2) $\dfrac{x+2}{x-2}$；(3) $\dfrac{1}{x}$；(4) $2a-4$
【知识点】
分式乘除运算，因式分解，约分
【点评】
本题是分式乘除的基础运算题，解题核心是牢记分式乘除的运算规则，运算前先把除法转换为乘法，再对多项式因式分解后约分即可，注意要找全公因式，运算结果必须化为最简形式。
【难度系数】
0.8
分式乘除运算的解题思路如下：①先统一运算：遇到除法先转化为乘法，即除以一个分式等于乘这个分式的倒数；②因式分解：将分子、分母中能因式分解的多项式分解因式；③约分：约去分子和分母的公因式；④化简得到最简分式或整式，运算过程中要先判断符号，避免符号出错。
【解析】
(1) 先确定符号：负负得正，再按分式乘法规则计算，原式$=\frac{x^2 · 6xy^2}{2y · x^4}$，约去分子分母的公因式$2x^2y$，得$\frac{3y}{x}$。
(2) 先将除法转化为乘法：原式$=\frac{x-3}{x^2-4x+4} · \frac{x^2-4}{x-3}$，对多项式因式分解：$x^2-4x+4=(x-2)^2$，$x^2-4=(x+2)(x-2)$，代入后约去公因式$(x-3)$和$(x-2)$，得$\frac{x+2}{x-2}$。
(3) 先将除法转化为乘法：原式$=\frac{x+4}{x^2-2x+1} · \frac{(x-1)^2}{x^2+4x}$，对多项式因式分解：$x^2-2x+1=(x-1)^2$，$x^2+4x=x(x+4)$，代入后约去公因式$(x+4)$和$(x-1)^2$，得$\frac{1}{x}$。
(4) 先对分子分母的多项式因式分解：$a^2-4=(a+2)(a-2)$，$4a^2b+8ab=4ab(a+2)$，$a^2+4a+4=(a+2)^2$，代入原式得$\frac{(a+2)(a-2)}{2ab} · \frac{4ab(a+2)}{(a+2)^2}$，约去公因式$2ab$和$(a+2)^2$，得$2(a-2)=2a-4$。
【答案】
(1) $\dfrac{3y}{x}$；(2) $\dfrac{x+2}{x-2}$；(3) $\dfrac{1}{x}$；(4) $2a-4$
【知识点】
分式乘除运算，因式分解，约分
【点评】
本题是分式乘除的基础运算题，解题核心是牢记分式乘除的运算规则，运算前先把除法转换为乘法，再对多项式因式分解后约分即可，注意要找全公因式，运算结果必须化为最简形式。
【难度系数】
0.8
9. 定义两种运算：$a△ b=\dfrac{1}{a+b}$，$a*b=\dfrac{b}{a^2 - b^2}$，则$m△ n÷ (m*n)=$
$\dfrac{m-n}{n}$
。答案
$\dfrac{m-n}{n}$
解析
【分析】
解题时首先要准确理解题目给出的两种新运算的规则，第一步先将$m△n$和$m*n$分别按照定义替换为分式形式，第二步将分式除法转化为乘法运算，第三步对多项式因式分解后约分，即可得到最终化简结果，运算过程中要注意保证分式有意义的隐含条件。
【解析】
根据新运算的定义：
$m△n=\dfrac{1}{m+n}$，$m*n=\dfrac{n}{m^2 - n^2}$
代入原式得：
$m△n÷ (m*n)=\dfrac{1}{m+n} ÷ \dfrac{n}{m^2 - n^2}$
根据分式除法法则，除以一个分式等于乘以它的倒数，可得：
原式$=\dfrac{1}{m+n} × \dfrac{m^2 - n^2}{n}$
利用平方差公式因式分解$m^2 - n^2=(m+n)(m-n)$，代入得：
原式$=\dfrac{1}{m+n} × \dfrac{(m+n)(m-n)}{n}$
约去分子分母的公因式$m+n$（$m+n≠0$），得：
原式$=\dfrac{m-n}{n}$
【答案】
$\dfrac{m-n}{n}$
【知识点】
新定义运算，分式乘除运算，因式分解
【点评】
本题将新定义运算与分式运算结合考查，解题核心是正确转化新运算为常规的分式运算，计算时先对多项式因式分解再约分，可有效降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.7
解题时首先要准确理解题目给出的两种新运算的规则，第一步先将$m△n$和$m*n$分别按照定义替换为分式形式，第二步将分式除法转化为乘法运算，第三步对多项式因式分解后约分，即可得到最终化简结果，运算过程中要注意保证分式有意义的隐含条件。
【解析】
根据新运算的定义：
$m△n=\dfrac{1}{m+n}$，$m*n=\dfrac{n}{m^2 - n^2}$
代入原式得：
$m△n÷ (m*n)=\dfrac{1}{m+n} ÷ \dfrac{n}{m^2 - n^2}$
根据分式除法法则，除以一个分式等于乘以它的倒数，可得：
原式$=\dfrac{1}{m+n} × \dfrac{m^2 - n^2}{n}$
利用平方差公式因式分解$m^2 - n^2=(m+n)(m-n)$，代入得：
原式$=\dfrac{1}{m+n} × \dfrac{(m+n)(m-n)}{n}$
约去分子分母的公因式$m+n$（$m+n≠0$），得：
原式$=\dfrac{m-n}{n}$
【答案】
$\dfrac{m-n}{n}$
【知识点】
新定义运算，分式乘除运算，因式分解
【点评】
本题将新定义运算与分式运算结合考查，解题核心是正确转化新运算为常规的分式运算，计算时先对多项式因式分解再约分，可有效降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.7
