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6. 如图，AB是$\odot O$的直径，弦CD与AB相交于点P，$∠ AOD=70°$，$∠ APD=60°$. 求$∠ BDC$的度数.
答案
$25°$
解析
【分析】
解题可按以下思路推导：首先，回忆圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，已知圆心角∠AOD的度数，可先求出它所对弧AD对应的圆周角∠ABD的度数；其次，观察∠APD的位置，它是△BPD的外角，根据三角形外角的性质，外角等于与它不相邻的两个内角之和，即∠APD=∠ABD+∠BDC；最后将已知角度代入关系式，即可求出∠BDC的度数。
【解析】
解：
∵ 同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，弧AD所对的圆心角为∠AOD=70°，
∴ 弧AD所对的圆周角$∠ ABD=\frac{1}{2}∠ AOD=\frac{1}{2}×70°=35°$。
∵ ∠APD是△BPD的外角，根据三角形外角性质可得：
$∠ APD=∠ ABD+∠ BDC$，
已知$∠ APD=60°$，代入得：
$∠ BDC=∠ APD-∠ ABD=60°-35°=25°$。
【答案】
$25°$
【知识点】
圆周角定理；三角形外角性质
【点评】
本题是圆的基础性质与三角形性质的综合应用题，解题核心是找准同弧对应的圆心角和圆周角的数量关系，再结合外角性质建立角度等式求解，是圆章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
解题可按以下思路推导：首先，回忆圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，已知圆心角∠AOD的度数，可先求出它所对弧AD对应的圆周角∠ABD的度数；其次，观察∠APD的位置，它是△BPD的外角，根据三角形外角的性质，外角等于与它不相邻的两个内角之和，即∠APD=∠ABD+∠BDC；最后将已知角度代入关系式，即可求出∠BDC的度数。
【解析】
解：
∵ 同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，弧AD所对的圆心角为∠AOD=70°，
∴ 弧AD所对的圆周角$∠ ABD=\frac{1}{2}∠ AOD=\frac{1}{2}×70°=35°$。
∵ ∠APD是△BPD的外角，根据三角形外角性质可得：
$∠ APD=∠ ABD+∠ BDC$，
已知$∠ APD=60°$，代入得：
$∠ BDC=∠ APD-∠ ABD=60°-35°=25°$。
【答案】
$25°$
【知识点】
圆周角定理；三角形外角性质
【点评】
本题是圆的基础性质与三角形性质的综合应用题，解题核心是找准同弧对应的圆心角和圆周角的数量关系，再结合外角性质建立角度等式求解，是圆章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
7. 如图, 在 $Rt△ AOB$ 中, $∠ AOB=90°$, 以 $OA$ 为半径的圆交 $AB$ 于点 $C$. 已知 $OA=5$, $OB=12$, 求 $BC$ 的长.
答案
$\dfrac{119}{13}$
解析
【分析】
解题思路如下：首先，已知Rt△AOB的两条直角边长度，可先通过勾股定理求出斜边AB的长度；要求BC的长，由于C是AB与圆的交点，可先求弦AC的长度，再用AB减去AC得到BC。求AC时，利用垂径定理，过圆心O作AC的垂线，垂足为AC的中点，结合等面积法求出斜边上的高，再用勾股定理求出AC的一半，进而得到AC的长度，最终算出BC。
【解析】
1. 求斜边AB的长度：
在$Rt△ AOB$中，$∠ AOB=90°$，$OA=5$，$OB=12$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13$。
2. 作辅助线求弦AC的长度：
过点$O$作$OD⊥ AB$于点$D$，根据垂径定理，$D$是$AC$的中点，即$AC=2AD$。
3. 用等面积法求$OD$的长度：
$△ AOB$的面积可表示为$\frac{1}{2}· OA· OB$，也可表示为$\frac{1}{2}· AB· OD$，因此：
$OA· OB=AB· OD$，代入数值得$5×12=13× OD$，解得$OD=\frac{60}{13}$。
4. 求$AD$的长度：
在$Rt△ AOD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{OA^2-OD^2}=\sqrt{5^2-(\frac{60}{13})^2}=\sqrt{\frac{625}{169}}=\frac{25}{13}$。
因此$AC=2AD=2×\frac{25}{13}=\frac{50}{13}$。
5. 计算$BC$的长度：
$BC=AB-AC=13-\frac{50}{13}=\frac{169-50}{13}=\frac{119}{13}$。
【答案】
$\dfrac{119}{13}$
【知识点】
勾股定理，垂径定理，等面积法
【点评】
本题是直角三角形与圆的基础综合题，解题的关键是合理作辅助线，结合垂径定理和等面积法求出未知线段长度，能较好考查对基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先，已知Rt△AOB的两条直角边长度，可先通过勾股定理求出斜边AB的长度；要求BC的长，由于C是AB与圆的交点，可先求弦AC的长度，再用AB减去AC得到BC。求AC时，利用垂径定理，过圆心O作AC的垂线，垂足为AC的中点，结合等面积法求出斜边上的高，再用勾股定理求出AC的一半，进而得到AC的长度，最终算出BC。
【解析】
1. 求斜边AB的长度：
在$Rt△ AOB$中，$∠ AOB=90°$，$OA=5$，$OB=12$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13$。
2. 作辅助线求弦AC的长度：
过点$O$作$OD⊥ AB$于点$D$，根据垂径定理，$D$是$AC$的中点，即$AC=2AD$。
3. 用等面积法求$OD$的长度：
$△ AOB$的面积可表示为$\frac{1}{2}· OA· OB$，也可表示为$\frac{1}{2}· AB· OD$，因此：
$OA· OB=AB· OD$，代入数值得$5×12=13× OD$，解得$OD=\frac{60}{13}$。
4. 求$AD$的长度：
在$Rt△ AOD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{OA^2-OD^2}=\sqrt{5^2-(\frac{60}{13})^2}=\sqrt{\frac{625}{169}}=\frac{25}{13}$。
因此$AC=2AD=2×\frac{25}{13}=\frac{50}{13}$。
5. 计算$BC$的长度：
$BC=AB-AC=13-\frac{50}{13}=\frac{169-50}{13}=\frac{119}{13}$。
【答案】
$\dfrac{119}{13}$
【知识点】
勾股定理，垂径定理，等面积法
【点评】
本题是直角三角形与圆的基础综合题，解题的关键是合理作辅助线，结合垂径定理和等面积法求出未知线段长度，能较好考查对基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
8. 如图，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，$AD$是$\odot O$的直径，作$CE⊥ AD$，垂足为$E$，$CE$的延长线与$AB$交于点$F$. 求证：$∠ ACF=∠ B$.
答案
提示:连接$CD$,则$∠ CDA=∠ B$,易证$∠ ACF=∠ CDA$
解析
【分析】
要证明∠ACF=∠B，可通过圆周角性质和直角三角形余角的性质推导：首先利用“同弧所对的圆周角相等”，找到与∠B相等的圆周角∠CDA，再结合AD是直径得到的直角、CE⊥AD的垂直条件，通过“同角的余角相等”证明∠ACF=∠CDA，最后等量代换即可得证，解题第一步需连接CD构造辅助线。
【解析】
证明：连接CD
∵ AD是$\odot O$的直径
∴ $∠ ACD=90°$（直径所对的圆周角是直角）
∴ $∠ CAD + ∠ CDA=90°$（直角三角形两锐角互余）
∵ $CE⊥ AD$，垂足为E
∴ $∠ AEC=90°$
∴ $∠ CAD + ∠ ACF=90°$（直角三角形两锐角互余）
∴ $∠ ACF=∠ CDA$（同角的余角相等）
又
∵ $∠ CDA$和$∠ B$都是弧AC所对的圆周角
∴ $∠ CDA=∠ B$（同弧所对的圆周角相等）
∴ $∠ ACF=∠ B$（等量代换）
【答案】
$∠ ACF=∠ B$，得证。
【知识点】
圆周角定理；直角三角形的性质；余角的性质
【点评】
本题属于圆的基础证明题，解题关键是合理添加辅助线，构造直径所对的直角圆周角，结合圆周角性质和余角性质即可完成证明，是圆相关性质的常规考法。
【难度系数】
0.7
要证明∠ACF=∠B，可通过圆周角性质和直角三角形余角的性质推导：首先利用“同弧所对的圆周角相等”，找到与∠B相等的圆周角∠CDA，再结合AD是直径得到的直角、CE⊥AD的垂直条件，通过“同角的余角相等”证明∠ACF=∠CDA，最后等量代换即可得证，解题第一步需连接CD构造辅助线。
【解析】
证明：连接CD
∵ AD是$\odot O$的直径
∴ $∠ ACD=90°$（直径所对的圆周角是直角）
∴ $∠ CAD + ∠ CDA=90°$（直角三角形两锐角互余）
∵ $CE⊥ AD$，垂足为E
∴ $∠ AEC=90°$
∴ $∠ CAD + ∠ ACF=90°$（直角三角形两锐角互余）
∴ $∠ ACF=∠ CDA$（同角的余角相等）
又
∵ $∠ CDA$和$∠ B$都是弧AC所对的圆周角
∴ $∠ CDA=∠ B$（同弧所对的圆周角相等）
∴ $∠ ACF=∠ B$（等量代换）
【答案】
$∠ ACF=∠ B$，得证。
【知识点】
圆周角定理；直角三角形的性质；余角的性质
【点评】
本题属于圆的基础证明题，解题关键是合理添加辅助线，构造直径所对的直角圆周角，结合圆周角性质和余角性质即可完成证明，是圆相关性质的常规考法。
【难度系数】
0.7
