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1.“市长杯”青少年校园足球联赛的比赛规则是:胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分.某校足球队在第一轮比赛中赛了9场,只负了2场,共得17分.那么该队胜了几场,平了几场? 设该队胜了$x$场,平了$y$场,根据题意可列方程组为 (
A.$\begin{cases} x+y=7, \\ 3x+y=17 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x+y=9, \\ 3x+y=17 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x+y=7, \\ x+3y=17 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x+y=9, \\ x+3y=17 \end{cases}$
A
)A.$\begin{cases} x+y=7, \\ 3x+y=17 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x+y=9, \\ 3x+y=17 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x+y=7, \\ x+3y=17 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x+y=9, \\ x+3y=17 \end{cases}$
答案
1.A
解析
【分析】
解这道题的关键是从题目中找到两个对应的等量关系来列方程组。首先找场数的等量关系：总比赛场数为9场，其中负了2场，因此胜场数和平场数的和等于总场数减去负场数；再找得分的等量关系：胜一场得3分，平一场得1分，负场不得分，总得分是17分，因此胜场总得分加平场总得分等于17分，将两个等量关系用设定的未知数x、y表示，就能得到对应的方程组，再匹配选项即可。
【解析】
第一步，根据场数关系列方程：已知总比赛9场，负了2场，胜场为x场，平场为y场，因此胜场和平场的总场数为$9-2=7$场，可得方程：$x+y=7$。
第二步，根据得分关系列方程：胜一场得3分，胜场总得分是$3x$分；平一场得1分，平场总得分是$y$分，总得分17分，可得方程：$3x+y=17$。
联立两个方程得到方程组$\begin{cases} x+y=7 \\ 3x+y=17 \end{cases}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的应用；比赛积分问题
【点评】
本题属于基础的实际应用类题目，解题核心是准确提取题干中的总场数、总得分两个等量关系，注意计算胜、平场数总和时要扣除负场数，只要找准等量关系就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解这道题的关键是从题目中找到两个对应的等量关系来列方程组。首先找场数的等量关系：总比赛场数为9场，其中负了2场，因此胜场数和平场数的和等于总场数减去负场数；再找得分的等量关系：胜一场得3分，平一场得1分，负场不得分，总得分是17分，因此胜场总得分加平场总得分等于17分，将两个等量关系用设定的未知数x、y表示，就能得到对应的方程组，再匹配选项即可。
【解析】
第一步，根据场数关系列方程：已知总比赛9场，负了2场，胜场为x场，平场为y场，因此胜场和平场的总场数为$9-2=7$场，可得方程：$x+y=7$。
第二步，根据得分关系列方程：胜一场得3分，胜场总得分是$3x$分；平一场得1分，平场总得分是$y$分，总得分17分，可得方程：$3x+y=17$。
联立两个方程得到方程组$\begin{cases} x+y=7 \\ 3x+y=17 \end{cases}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的应用；比赛积分问题
【点评】
本题属于基础的实际应用类题目，解题核心是准确提取题干中的总场数、总得分两个等量关系，注意计算胜、平场数总和时要扣除负场数，只要找准等量关系就能快速解题。
【难度系数】
0.8
2.“珍爱生命，拒绝毒品”，学校举行的2024年禁毒知识竞赛共有60道题.小浩同学答对了x道题，答错了y道题（不答视为答错），且答对题数比答错题数的7倍还多4道，那么$x=$
53
，$y=$7
.答案
2. 53 7
解析
【分析】
解题时首先从题目中提取两个等量关系：一是竞赛总题数为60道，即答对题数+答错题数=60；二是答对题数比答错题数的7倍还多4道，即答对题数=7×答错题数+4。根据这两个等量关系列出关于x、y的二元一次方程组，再用代入消元法求解即可得到结果。
【解析】
解：根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + y = 60 \\x = 7y + 4\end{cases}$
将$x=7y+4$代入$x+y=60$，可得：
$7y + 4 + y = 60$
合并同类项得：$8y + 4 = 60$
移项计算得：$8y = 56$
解得：$y = 7$
将$y=7$代入$x+y=60$，得$x=60-7=53$。
【答案】
53；7
【知识点】
二元一次方程组的应用；代入消元法解方程组
【点评】
本题是基础的实际应用题，核心是准确梳理题目中的数量关系，找到对应的等量关系列方程组，求解时注意计算准确性即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先从题目中提取两个等量关系：一是竞赛总题数为60道，即答对题数+答错题数=60；二是答对题数比答错题数的7倍还多4道，即答对题数=7×答错题数+4。根据这两个等量关系列出关于x、y的二元一次方程组，再用代入消元法求解即可得到结果。
【解析】
解：根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + y = 60 \\x = 7y + 4\end{cases}$
将$x=7y+4$代入$x+y=60$，可得：
$7y + 4 + y = 60$
合并同类项得：$8y + 4 = 60$
移项计算得：$8y = 56$
解得：$y = 7$
将$y=7$代入$x+y=60$，得$x=60-7=53$。
【答案】
53；7
【知识点】
二元一次方程组的应用；代入消元法解方程组
【点评】
本题是基础的实际应用题，核心是准确梳理题目中的数量关系，找到对应的等量关系列方程组，求解时注意计算准确性即可。
【难度系数】
0.8
3.某足球甲A联赛共22轮，即每个队需参赛22场，胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分.若冠军队积43分，并知道他们胜的场数比负的场数多10场，试问该冠军队胜、平、负各多少场？
答案
3. 解:设冠军队胜x场,平y场,则负(x-10)场.根据题意,得
$\begin{cases} x+y+(x-10)=22,\\ 3x+y=43. \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=11,\\ y=10. \end{cases}$
$x-10=11-10=1.$答:该冠军队胜11场,平10场,负1场.
$\begin{cases} x+y+(x-10)=22,\\ 3x+y=43. \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=11,\\ y=10. \end{cases}$
$x-10=11-10=1.$答:该冠军队胜11场,平10场,负1场.
解析
【分析】
这是一道比赛积分类的实际应用题，解题时先梳理已知条件：总比赛22场，胜、平、负的积分规则，胜场比负场多10场，总积分为43分。我们可以通过设未知数建立方程组求解：首先利用“胜的场数比负的场数多10场”的条件，将负场数用胜场数表示，减少未知量数量；再找到两个核心等量关系：①胜场数+平场数+负场数=总场数22；②胜场总积分+平场总积分=总积分43，据此列方程组求解，最后验证结果符合实际意义即可。
【解析】
解：设冠军队胜x场，平y场，则负的场数为$(x-10)$场。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} x+y+(x-10)=22\\ 3x+y=43 \end{cases}$
化简第一个方程得：$2x+y=32$ ③
用第二个方程减去③：$(3x+y)-(2x+y)=43-32$，解得$x=11$
将$x=11$代入$3x+y=43$，得$3×11+y=43$，解得$y=10$
则负的场数为：$x-10=11-10=1$
经检验，所得场数均为非负整数，符合实际要求。
答：该冠军队胜11场，平10场，负1场。
【答案】
胜11场，平10场，负1场
【知识点】
二元一次方程组的应用，比赛积分问题
【点评】
本题属于基础的方程应用类题型，解题核心是准确梳理题干中的等量关系，合理设未知数简化计算，同时要注意实际问题中解的合理性，场数不能为负数或小数。
【难度系数】
0.75
这是一道比赛积分类的实际应用题，解题时先梳理已知条件：总比赛22场，胜、平、负的积分规则，胜场比负场多10场，总积分为43分。我们可以通过设未知数建立方程组求解：首先利用“胜的场数比负的场数多10场”的条件，将负场数用胜场数表示，减少未知量数量；再找到两个核心等量关系：①胜场数+平场数+负场数=总场数22；②胜场总积分+平场总积分=总积分43，据此列方程组求解，最后验证结果符合实际意义即可。
【解析】
解：设冠军队胜x场，平y场，则负的场数为$(x-10)$场。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} x+y+(x-10)=22\\ 3x+y=43 \end{cases}$
化简第一个方程得：$2x+y=32$ ③
用第二个方程减去③：$(3x+y)-(2x+y)=43-32$，解得$x=11$
将$x=11$代入$3x+y=43$，得$3×11+y=43$，解得$y=10$
则负的场数为：$x-10=11-10=1$
经检验，所得场数均为非负整数，符合实际要求。
答：该冠军队胜11场，平10场，负1场。
【答案】
胜11场，平10场，负1场
【知识点】
二元一次方程组的应用，比赛积分问题
【点评】
本题属于基础的方程应用类题型，解题核心是准确梳理题干中的等量关系，合理设未知数简化计算，同时要注意实际问题中解的合理性，场数不能为负数或小数。
【难度系数】
0.75
4.小刚去距县城28 km的旅游景点游玩，先乘车，后步行，全程共用了1 h.已知汽车的速度为每小时36 km，步行的速度为每小时4 km，则小刚乘车路程和步行路程分别是 （
A.26 km,2 km
B.27 km,1 km
C.25 km,3 km
D.24 km,4 km
B
）A.26 km,2 km
B.27 km,1 km
C.25 km,3 km
D.24 km,4 km
答案
4.B
解析
【分析】
本题属于行程类应用题，解题核心是利用“路程=速度×时间”的基本公式，抓住两个等量关系：①乘车路程+步行路程=总路程28km；②乘车时间+步行时间=总用时1h。我们可以直接设乘车路程为未知数，用总路程表示出步行路程，再分别除以对应速度得到两段行程的时间，相加等于总时间列方程求解即可。
【解析】
解：设小刚乘车的路程为$ x $ km，则步行的路程为$ (28 - x) $ km。
根据全程总用时1小时列方程：
$\frac{x}{36} + \frac{28 - x}{4} = 1$
两边同时乘36去分母得：
$ x + 9(28 - x) = 36 $
展开括号：
$ x + 252 - 9x = 36 $
移项、合并同类项：
$ -8x = -216 $
系数化为1得：
$ x = 27 $
则步行路程为 $ 28 - 27 = 1 $（km）
即乘车路程27km，步行路程1km。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的应用，行程问题公式
【点评】
本题是典型的行程类应用题，解题关键是找准时间或路程的等量关系建立方程，计算过程简单，掌握行程基础公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
本题属于行程类应用题，解题核心是利用“路程=速度×时间”的基本公式，抓住两个等量关系：①乘车路程+步行路程=总路程28km；②乘车时间+步行时间=总用时1h。我们可以直接设乘车路程为未知数，用总路程表示出步行路程，再分别除以对应速度得到两段行程的时间，相加等于总时间列方程求解即可。
【解析】
解：设小刚乘车的路程为$ x $ km，则步行的路程为$ (28 - x) $ km。
根据全程总用时1小时列方程：
$\frac{x}{36} + \frac{28 - x}{4} = 1$
两边同时乘36去分母得：
$ x + 9(28 - x) = 36 $
展开括号：
$ x + 252 - 9x = 36 $
移项、合并同类项：
$ -8x = -216 $
系数化为1得：
$ x = 27 $
则步行路程为 $ 28 - 27 = 1 $（km）
即乘车路程27km，步行路程1km。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的应用，行程问题公式
【点评】
本题是典型的行程类应用题，解题关键是找准时间或路程的等量关系建立方程，计算过程简单，掌握行程基础公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
5. 一条船顺水行驶 36 km 和逆水行驶 24 km的时间都是 3 h,则这条船在静水中的速度为
10 km/h
.答案
5. 10 km/h
解析
【分析】
这是流水行船类的行程问题，解题时先明确核心关系：顺水速度=船在静水中的速度+水流速度，逆水速度=船在静水中的速度-水流速度。首先根据“速度=路程÷时间”分别算出顺水行驶速度和逆水行驶速度，再结合两个速度和静水速度的关系，就能求出静水速度。
【解析】
首先计算顺水行驶速度：
$v_{顺}=\frac{s_{顺}}{t}=\frac{36\ \mathrm{km}}{3\ \mathrm{h}}=12\ \mathrm{km/h}$
再计算逆水行驶速度：
$v_{逆}=\frac{s_{逆}}{t}=\frac{24\ \mathrm{km}}{3\ \mathrm{h}}=8\ \mathrm{km/h}$
设船在静水中的速度为$v$，水流速度为$v_{水}$，根据流水行船速度关系可得：
$\begin{cases}v + v_{水}=12 \\v - v_{水}=8 \end{cases}$
将两个方程左右两边分别相加，得$2v=20$，解得$v=10\ \mathrm{km/h}$。
【答案】
10 km/h
【知识点】
流水行船速度关系；行程问题基本公式
【点评】
本题属于基础类行程问题，解题关键是熟练掌握流水行船中不同行驶状态下的速度关系，结合行程问题的速度、路程、时间三者的基本公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
这是流水行船类的行程问题，解题时先明确核心关系：顺水速度=船在静水中的速度+水流速度，逆水速度=船在静水中的速度-水流速度。首先根据“速度=路程÷时间”分别算出顺水行驶速度和逆水行驶速度，再结合两个速度和静水速度的关系，就能求出静水速度。
【解析】
首先计算顺水行驶速度：
$v_{顺}=\frac{s_{顺}}{t}=\frac{36\ \mathrm{km}}{3\ \mathrm{h}}=12\ \mathrm{km/h}$
再计算逆水行驶速度：
$v_{逆}=\frac{s_{逆}}{t}=\frac{24\ \mathrm{km}}{3\ \mathrm{h}}=8\ \mathrm{km/h}$
设船在静水中的速度为$v$，水流速度为$v_{水}$，根据流水行船速度关系可得：
$\begin{cases}v + v_{水}=12 \\v - v_{水}=8 \end{cases}$
将两个方程左右两边分别相加，得$2v=20$，解得$v=10\ \mathrm{km/h}$。
【答案】
10 km/h
【知识点】
流水行船速度关系；行程问题基本公式
【点评】
本题属于基础类行程问题，解题关键是熟练掌握流水行船中不同行驶状态下的速度关系，结合行程问题的速度、路程、时间三者的基本公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
6. 甲、乙两地相距240 km，前一段路为国道，后一段路为高速公路.一辆车从甲地出发，在国道上以平均60 km/h的速度行驶，在高速公路上以平均100 km/h的速度行驶.经过3 h后到达乙地，求国道和高速公路的长度.
答案
6. 解:设国道的长度为x km,高速公路的长度为y km.根据题意,得
$\begin{cases} x+y=240,\\ \dfrac{x}{60}+\dfrac{y}{100}=3. \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=90,\\ y=150. \end{cases}$
答:国道的长度为90 km,高速公路的长度为150 km.
$\begin{cases} x+y=240,\\ \dfrac{x}{60}+\dfrac{y}{100}=3. \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=90,\\ y=150. \end{cases}$
答:国道的长度为90 km,高速公路的长度为150 km.
解析
【分析】
这是一道行程类应用题，存在两个未知量：国道长度、高速公路长度，可通过找两个等量关系列二元一次方程组求解。第一个等量关系为总路程：国道长度+高速公路长度=甲乙两地总距离240km；第二个等量关系为总行驶时间：国道行驶时间（国道长度÷国道行驶速度）+高速公路行驶时间（高速公路长度÷高速行驶速度）=总用时3h。找到等量关系后设出未知量，代入列方程组再求解即可得到结果。
【解析】
解：设国道的长度为$x$ km，高速公路的长度为$y$ km。
根据总路程的等量关系可得：
$x+y=240$ ①
根据总时间的等量关系（$\mathrm{时间}=\mathrm{路程}÷\mathrm{速度}$）可得：
$\dfrac{x}{60}+\dfrac{y}{100}=3$ ②
解方程组：给②式左右两边同时乘300去分母，得$5x+3y=900$ ③
给①式左右两边同时乘3，得$3x+3y=720$ ④
用③式减去④式，得$2x=180$，解得$x=90$
将$x=90$代入①式，得$90+y=240$，解得$y=150$
因此方程组的解为$\begin{cases} x=90\\ y=150 \end{cases}$
【答案】
国道的长度为90 km，高速公路的长度为150 km。
【知识点】
二元一次方程组的应用，行程问题公式
【点评】
本题是典型的行程类二元一次方程组应用题，解题核心是准确抓住路程、时间两类等量关系，熟练掌握列方程组解应用题的基本步骤即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
这是一道行程类应用题，存在两个未知量：国道长度、高速公路长度，可通过找两个等量关系列二元一次方程组求解。第一个等量关系为总路程：国道长度+高速公路长度=甲乙两地总距离240km；第二个等量关系为总行驶时间：国道行驶时间（国道长度÷国道行驶速度）+高速公路行驶时间（高速公路长度÷高速行驶速度）=总用时3h。找到等量关系后设出未知量，代入列方程组再求解即可得到结果。
【解析】
解：设国道的长度为$x$ km，高速公路的长度为$y$ km。
根据总路程的等量关系可得：
$x+y=240$ ①
根据总时间的等量关系（$\mathrm{时间}=\mathrm{路程}÷\mathrm{速度}$）可得：
$\dfrac{x}{60}+\dfrac{y}{100}=3$ ②
解方程组：给②式左右两边同时乘300去分母，得$5x+3y=900$ ③
给①式左右两边同时乘3，得$3x+3y=720$ ④
用③式减去④式，得$2x=180$，解得$x=90$
将$x=90$代入①式，得$90+y=240$，解得$y=150$
因此方程组的解为$\begin{cases} x=90\\ y=150 \end{cases}$
【答案】
国道的长度为90 km，高速公路的长度为150 km。
【知识点】
二元一次方程组的应用，行程问题公式
【点评】
本题是典型的行程类二元一次方程组应用题，解题核心是准确抓住路程、时间两类等量关系，熟练掌握列方程组解应用题的基本步骤即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
7.已知甲地到乙地的航线长1 200 km，一架飞机从甲地逆风飞往乙地需要2.5 h，从乙地顺风飞往甲地需要2 h.假设飞机保持匀速，风速的大小和方向不变，求飞机的速度和风速.
答案
7. 解:设飞机的速度为x km/h,风速为y km/h.根据题意,得
$\begin{cases} 2.5(x-y)=1\ 200,\\ 2(x+y)=1\ 200. \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=540,\\ y=60. \end{cases}$
答:飞机的速度为540 km/h,风速为60 km/h.
$\begin{cases} 2.5(x-y)=1\ 200,\\ 2(x+y)=1\ 200. \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=540,\\ y=60. \end{cases}$
答:飞机的速度为540 km/h,风速为60 km/h.
解析
【分析】
这是典型的顺风逆风类行程问题，解题思路如下：首先明确未知量为飞机无风时的速度和风速，可设两个未知数；其次牢记速度规律：逆风实际速度=飞机速度-风速，顺风实际速度=飞机速度+风速；再结合“路程=速度×时间”的基本公式，根据往返路程均为1200km的条件，找到两个等量关系列出方程组，最后解方程组即可得到结果。
【解析】
解：设飞机的速度为x km/h，风速为y km/h。
根据逆风行驶的路程等于航线长，列方程：$2.5(x-y)=1200$
根据顺风行驶的路程等于航线长，列方程：$2(x+y)=1200$
联立得方程组：
$\begin{cases} 2.5(x-y)=1200\\ 2(x+y)=1200 \end{cases}$
化简方程组：
第一个方程两边同除以2.5，得$x-y=480$ ①
第二个方程两边同除以2，得$x+y=600$ ②
①+②得$2x=1080$，解得$x=540$
将$x=540$代入②，得$540+y=600$，解得$y=60$
即方程组的解为$\begin{cases} x=540\\ y=60 \end{cases}$
【答案】
飞机的速度为540 km/h，风速为60 km/h。
【知识点】
二元一次方程组的应用；顺风逆风行程问题；加减消元法解方程组
【点评】
本题是行程类应用题的基础典型题，解题关键是准确区分顺风、逆风场景下的实际行驶速度，找准等量关系列方程，该类问题的解题方法可迁移到流水行船等同类型问题中。
【难度系数】
0.8
这是典型的顺风逆风类行程问题，解题思路如下：首先明确未知量为飞机无风时的速度和风速，可设两个未知数；其次牢记速度规律：逆风实际速度=飞机速度-风速，顺风实际速度=飞机速度+风速；再结合“路程=速度×时间”的基本公式，根据往返路程均为1200km的条件，找到两个等量关系列出方程组，最后解方程组即可得到结果。
【解析】
解：设飞机的速度为x km/h，风速为y km/h。
根据逆风行驶的路程等于航线长，列方程：$2.5(x-y)=1200$
根据顺风行驶的路程等于航线长，列方程：$2(x+y)=1200$
联立得方程组：
$\begin{cases} 2.5(x-y)=1200\\ 2(x+y)=1200 \end{cases}$
化简方程组：
第一个方程两边同除以2.5，得$x-y=480$ ①
第二个方程两边同除以2，得$x+y=600$ ②
①+②得$2x=1080$，解得$x=540$
将$x=540$代入②，得$540+y=600$，解得$y=60$
即方程组的解为$\begin{cases} x=540\\ y=60 \end{cases}$
【答案】
飞机的速度为540 km/h，风速为60 km/h。
【知识点】
二元一次方程组的应用；顺风逆风行程问题；加减消元法解方程组
【点评】
本题是行程类应用题的基础典型题，解题关键是准确区分顺风、逆风场景下的实际行驶速度，找准等量关系列方程，该类问题的解题方法可迁移到流水行船等同类型问题中。
【难度系数】
0.8
