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7. 对于非零的两个数$a,b$,规定$a\oplus b=am-bn$.若$3\oplus(-5)=15,4\oplus(-7)=28$,则$(-1)\oplus2$的值为（
A.$-13$
B.$13$
C.$2$
D.$-2$
A
）A.$-13$
B.$13$
C.$2$
D.$-2$
答案
7.A
解析
【分析】
首先理解题目给出的新运算规则：$a\oplus b=am-bn$，我们需要先求出参数$m$、$n$的值，才能计算$(-1)\oplus2$。解题思路分三步：第一步，将已知的两个运算结果按照新运算规则转化为关于$m$、$n$的二元一次方程组；第二步，用加减消元法解方程组得到$m$、$n$的具体值；第三步，将$a=-1$、$b=2$和求得的$m$、$n$代入新运算公式，计算最终结果。
【解析】
根据新运算$a\oplus b=am-bn$，结合已知条件列方程组：
1. 由$3\oplus(-5)=15$可得：$3m - (-5)n =15$，即$3m+5n=15$ ①
2. 由$4\oplus(-7)=28$可得：$4m - (-7)n =28$，即$4m+7n=28$ ②
用加减消元法解方程组：
①$×4$得：$12m+20n=60$ ③
②$×3$得：$12m+21n=84$ ④
④$-$③得：$n=24$
把$n=24$代入①得：$3m +5×24=15$，解得$3m=-105$，即$m=-35$
计算$(-1)\oplus2$：
按照规则，$(-1)\oplus2=(-1)× m - 2× n$，代入$m=-35$、$n=24$得：
$(-1)×(-35) - 2×24=35-48=-13$
【答案】
A
【知识点】
新定义运算；解二元一次方程组；代数式求值
【点评】
本题结合新定义运算考查二元一次方程组的应用，解题关键是准确理解新运算规则，正确将已知条件转化为方程组，计算过程中要注意符号的处理，属于常规基础题型，熟练掌握消元法解方程组即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
首先理解题目给出的新运算规则：$a\oplus b=am-bn$，我们需要先求出参数$m$、$n$的值，才能计算$(-1)\oplus2$。解题思路分三步：第一步，将已知的两个运算结果按照新运算规则转化为关于$m$、$n$的二元一次方程组；第二步，用加减消元法解方程组得到$m$、$n$的具体值；第三步，将$a=-1$、$b=2$和求得的$m$、$n$代入新运算公式，计算最终结果。
【解析】
根据新运算$a\oplus b=am-bn$，结合已知条件列方程组：
1. 由$3\oplus(-5)=15$可得：$3m - (-5)n =15$，即$3m+5n=15$ ①
2. 由$4\oplus(-7)=28$可得：$4m - (-7)n =28$，即$4m+7n=28$ ②
用加减消元法解方程组：
①$×4$得：$12m+20n=60$ ③
②$×3$得：$12m+21n=84$ ④
④$-$③得：$n=24$
把$n=24$代入①得：$3m +5×24=15$，解得$3m=-105$，即$m=-35$
计算$(-1)\oplus2$：
按照规则，$(-1)\oplus2=(-1)× m - 2× n$，代入$m=-35$、$n=24$得：
$(-1)×(-35) - 2×24=35-48=-13$
【答案】
A
【知识点】
新定义运算；解二元一次方程组；代数式求值
【点评】
本题结合新定义运算考查二元一次方程组的应用，解题关键是准确理解新运算规则，正确将已知条件转化为方程组，计算过程中要注意符号的处理，属于常规基础题型，熟练掌握消元法解方程组即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
8. 根据下图提供的信息，可知一件上衣的价格是
40
元，一条短裤的价格是20
元. 答案
8.40 20
解析
【分析】
我们可以先从图中提取两个等量关系：①1件上衣的价格+1条短裤的价格=60元；②1件上衣的价格+2条短裤的价格=80元。可以通过对比两个等量关系，发现第二个组合比第一个组合多了1条短裤，总价格多了20元，就能直接求出短裤的价格，也可以通过设未知数建立二元一次方程组，用消元法求解。
【解析】
方法一：对比两组商品
右边组合比左边组合多1条短裤，总价多了$80-60=20$元，因此一条短裤的价格是20元。
再代入左边组合的总价，一件上衣的价格为$60-20=40$元。
方法二：列二元一次方程组求解
设一件上衣的价格为$x$元，一条短裤的价格为$y$元，根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + y = 60 \quad \mathrm{①} \\x + 2y = 80 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
用②式减去①式，得：
$(x+2y)-(x+y)=80-60$
解得$y=20$
将$y=20$代入①式，得$x+20=60$，解得$x=40$。
【答案】
40；20
【知识点】
二元一次方程组的应用；加减消元法解方程组
【点评】
本题结合实际购物场景，考查信息提取能力和方程求解能力，解题的关键是找准两组商品的数量差异和价格差异，也可通过建立方程组快速求解，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
我们可以先从图中提取两个等量关系：①1件上衣的价格+1条短裤的价格=60元；②1件上衣的价格+2条短裤的价格=80元。可以通过对比两个等量关系，发现第二个组合比第一个组合多了1条短裤，总价格多了20元，就能直接求出短裤的价格，也可以通过设未知数建立二元一次方程组，用消元法求解。
【解析】
方法一：对比两组商品
右边组合比左边组合多1条短裤，总价多了$80-60=20$元，因此一条短裤的价格是20元。
再代入左边组合的总价，一件上衣的价格为$60-20=40$元。
方法二：列二元一次方程组求解
设一件上衣的价格为$x$元，一条短裤的价格为$y$元，根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + y = 60 \quad \mathrm{①} \\x + 2y = 80 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
用②式减去①式，得：
$(x+2y)-(x+y)=80-60$
解得$y=20$
将$y=20$代入①式，得$x+20=60$，解得$x=40$。
【答案】
40；20
【知识点】
二元一次方程组的应用；加减消元法解方程组
【点评】
本题结合实际购物场景，考查信息提取能力和方程求解能力，解题的关键是找准两组商品的数量差异和价格差异，也可通过建立方程组快速求解，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
9. 解下列方程组：
(1) $\begin{cases}25x + 37y = 87, ① \\37x + 25y = 99; ②\end{cases}$
(2) $\begin{cases}2024x - 2025y = 2023, ① \\2023x - 2022y = 2024. ②\end{cases}$
(1) $\begin{cases}25x + 37y = 87, ① \\37x + 25y = 99; ②\end{cases}$
(2) $\begin{cases}2024x - 2025y = 2023, ① \\2023x - 2022y = 2024. ②\end{cases}$
答案
9.解:(1)①$+$②,得$62x+62y=186.\quad x+y=3.$ ③ ③$×25$,得$25x+25y=75.$ ④ ①$-$④,得$12y=12.\quad y=1.$把$y=1$代入③,得$x+1=3.\quad x=2.$所以$\begin{cases} x=2,\\y=1; \end{cases}$(2)①$-$②,得$x-3y=-1.$ ③ ①$+$②,得$4\ 047x-4\ 047y=4\ 047.$ ④ ④$÷4\ 047$,得$x-y=1.$ ⑤ ⑤$-$③,得$2y=2.\quad y=1.$把$y=1$代入⑤,得$x-1=1.\quad x=2.$所以$\begin{cases} x=2,\\y=1. \end{cases}$
解析
【分析】
这两个二元一次方程组的系数具有明显特殊性：(1)中两个方程x、y的系数互换，(2)中两个方程x、y的系数和、差存在规律，无需用常规代入消元或硬算消元，可先通过整体相加、相减得到形式更简单的方程（如x+y=a、x-y=b类），再进一步消元求解，能大幅简化计算，避免大数运算出错。解题时先观察系数特征，优先做加减运算简化方程，再用消元法求解即可。
【解析】
(1) ①$+$②，得$62x+62y=186$，化简得$x+y=3$ ③
③$×25$，得$25x+25y=75$ ④
①$-$④，得$12y=12$，解得$y=1$
把$y=1$代入③，得$x+1=3$，解得$x=2$
所以方程组的解为$\begin{cases} x=2\\y=1 \end{cases}$
(2) ①$-$②，得$x-3y=-1$ ③
①$+$②，得$4047x-4047y=4047$ ④
④$÷4047$，得$x-y=1$ ⑤
⑤$-$③，得$2y=2$，解得$y=1$
把$y=1$代入⑤，得$x-1=1$，解得$x=2$
所以方程组的解为$\begin{cases} x=2\\y=1 \end{cases}$
【答案】
(1) $\begin{cases} x=2\\y=1 \end{cases}$；(2) $\begin{cases} x=2\\y=1 \end{cases}$
【知识点】
加减消元法、二元一次方程组求解、整体消元技巧
【点评】
本题是二元一次方程组消元技巧的典型应用，解题核心是先观察系数特征，灵活运用整体加减的方法简化方程，相比常规消元法能有效减少计算量，降低大数运算的出错概率。
【难度系数】
0.7
这两个二元一次方程组的系数具有明显特殊性：(1)中两个方程x、y的系数互换，(2)中两个方程x、y的系数和、差存在规律，无需用常规代入消元或硬算消元，可先通过整体相加、相减得到形式更简单的方程（如x+y=a、x-y=b类），再进一步消元求解，能大幅简化计算，避免大数运算出错。解题时先观察系数特征，优先做加减运算简化方程，再用消元法求解即可。
【解析】
(1) ①$+$②，得$62x+62y=186$，化简得$x+y=3$ ③
③$×25$，得$25x+25y=75$ ④
①$-$④，得$12y=12$，解得$y=1$
把$y=1$代入③，得$x+1=3$，解得$x=2$
所以方程组的解为$\begin{cases} x=2\\y=1 \end{cases}$
(2) ①$-$②，得$x-3y=-1$ ③
①$+$②，得$4047x-4047y=4047$ ④
④$÷4047$，得$x-y=1$ ⑤
⑤$-$③，得$2y=2$，解得$y=1$
把$y=1$代入⑤，得$x-1=1$，解得$x=2$
所以方程组的解为$\begin{cases} x=2\\y=1 \end{cases}$
【答案】
(1) $\begin{cases} x=2\\y=1 \end{cases}$；(2) $\begin{cases} x=2\\y=1 \end{cases}$
【知识点】
加减消元法、二元一次方程组求解、整体消元技巧
【点评】
本题是二元一次方程组消元技巧的典型应用，解题核心是先观察系数特征，灵活运用整体加减的方法简化方程，相比常规消元法能有效减少计算量，降低大数运算的出错概率。
【难度系数】
0.7
10.若关于$x,y$的方程组$\begin{cases}x - 2y = 0,\\2x + ay = 16\end{cases}$有正整数解，求正整数$a$的值。
答案
10.解:$\begin{cases} x-2y=0,① \\2x+ay=16,② \end{cases}$ ②$-$①$×2$,得$ay+4y=16.y=\dfrac{16}{a+4}.$因为关于$x,y$的方程组有正整数解,所以$x=2y$是正整数,$y=\dfrac{16}{a+4}$是正整数,所以$a+4$是$16$的正约数,所以$a+4=1,2,4,8,16.$解得$a=-3,-2,0,4,12.$因为$a$为正整数,所以$a$可取$4,12$,所以正整数$a$的值为$4$或$12.$
解析
【分析】
遇到含参数的二元一次方程组求正整数参数的问题，可按以下思路思考：第一步把参数当作常数，用消元法解方程组，用含参数的式子表示出x和y；第二步根据方程组的解是正整数，可知表示x、y的代数式的值均为正整数，由此推导出参数需要满足的整除条件；第三步结合参数本身是正整数的要求，筛选出符合条件的参数值即可。
【解析】
解：$\begin{cases} x-2y=0,① \\2x+ay=16,② \end{cases}$
②$-$①$×2$，得$ay+4y=16$，整理得$(a+4)y=16$，即$y=\dfrac{16}{a+4}$。
把$y=\dfrac{16}{a+4}$代入①，得$x=2y$。
因为关于$x,y$的方程组有正整数解，所以$x=2y$是正整数，即$y=\dfrac{16}{a+4}$是正整数，因此$a+4$是16的正约数。
16的正约数为1、2、4、8、16，对应解得$a=-3,-2,0,4,12$。
又因为$a$为正整数，所以舍去非正整数的取值，可得$a=4$或$a=12$。
【答案】
正整数$a$的值为$4$或$12$
【知识点】
消元法解二元一次方程组，正整数解的应用，约数的概念
【点评】
本题是含参数二元一次方程组的常考题型，解题核心是将参数视为常数求解方程组，再把正整数解的条件转化为整除问题，解题时需注意题目对参数本身的取值限制，避免出现多解、漏解的问题。
【难度系数】
0.6
遇到含参数的二元一次方程组求正整数参数的问题，可按以下思路思考：第一步把参数当作常数，用消元法解方程组，用含参数的式子表示出x和y；第二步根据方程组的解是正整数，可知表示x、y的代数式的值均为正整数，由此推导出参数需要满足的整除条件；第三步结合参数本身是正整数的要求，筛选出符合条件的参数值即可。
【解析】
解：$\begin{cases} x-2y=0,① \\2x+ay=16,② \end{cases}$
②$-$①$×2$，得$ay+4y=16$，整理得$(a+4)y=16$，即$y=\dfrac{16}{a+4}$。
把$y=\dfrac{16}{a+4}$代入①，得$x=2y$。
因为关于$x,y$的方程组有正整数解，所以$x=2y$是正整数，即$y=\dfrac{16}{a+4}$是正整数，因此$a+4$是16的正约数。
16的正约数为1、2、4、8、16，对应解得$a=-3,-2,0,4,12$。
又因为$a$为正整数，所以舍去非正整数的取值，可得$a=4$或$a=12$。
【答案】
正整数$a$的值为$4$或$12$
【知识点】
消元法解二元一次方程组，正整数解的应用，约数的概念
【点评】
本题是含参数二元一次方程组的常考题型，解题核心是将参数视为常数求解方程组，再把正整数解的条件转化为整除问题，解题时需注意题目对参数本身的取值限制，避免出现多解、漏解的问题。
【难度系数】
0.6
11.阅读以下内容：
已知有理数 $ m $，$ n $ 满足 $ m + n = 5 $，且
$\begin{cases}9m + 8n = 11k - 13, \\8m + 9n = 10,\end{cases}$求 $ k $ 的值。
三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：
甲同学：先解关于 $ m $，$ n $ 的方程组 $\begin{cases}9m + 8n = 11k - 13, \\8m + 9n = 10,\end{cases}$ 再求 $ k $ 的值；
乙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求 $ k $ 的值；
丙同学：先解方程组 $\begin{cases}m + n = 5, \\8m + 9n = 10,\end{cases}$ 再求 $ k $ 的值。
(1)试选择其中一名同学的思路，解答此题；
(2)试说明在关于 $ x $，$ y $ 的方程组 $\begin{cases}x + 3y = 4 - a, \\x - 5y = 3a\end{cases}$ 中，不论 $ a $ 取什么有理数，$ x + y $ 的值始终不变。
已知有理数 $ m $，$ n $ 满足 $ m + n = 5 $，且
$\begin{cases}9m + 8n = 11k - 13, \\8m + 9n = 10,\end{cases}$求 $ k $ 的值。
三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：
甲同学：先解关于 $ m $，$ n $ 的方程组 $\begin{cases}9m + 8n = 11k - 13, \\8m + 9n = 10,\end{cases}$ 再求 $ k $ 的值；
乙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求 $ k $ 的值；
丙同学：先解方程组 $\begin{cases}m + n = 5, \\8m + 9n = 10,\end{cases}$ 再求 $ k $ 的值。
(1)试选择其中一名同学的思路，解答此题；
(2)试说明在关于 $ x $，$ y $ 的方程组 $\begin{cases}x + 3y = 4 - a, \\x - 5y = 3a\end{cases}$ 中，不论 $ a $ 取什么有理数，$ x + y $ 的值始终不变。
答案
11.解:(1)选择乙同学的思路.$\begin{cases} 9m+8n=11k-13,① \\8m+9n=10,② \end{cases}$ ①$+$②,得$17(m+n)=11k-3.$因为$m+n=5$,所以$17×5=11k-3$,解得$k=8$;(2)$\begin{cases} x+3y=4-a,① \\x-5y=3a,② \end{cases}$ ①$×3+$②,得$4x+4y=12$,所以$x+y=3$,所以不论$a$取什么有理数,$x+y$的值始终不变.
解析
【分析】
(1) 选择乙同学的思路解题最简便：观察原方程组两个方程中m、n的系数，相加后m和n的系数均为17，可整理出含$m+n$的整体式子，结合已知$m+n=5$直接整体代入，无需单独求解m、n，可快速算出k的值。
(2) 要证明$x+y$的值与a无关，只需通过加减消元法消去方程组中的参数a，推导得出$x+y$为定值即可。
【解析】
(1) 选择乙同学的思路解答：
将原方程组标记为：
$\begin{cases} 9m+8n=11k-13,① \\8m+9n=10,② \end{cases}$
①+②得：$17m+17n=11k-3$，整理为$17(m+n)=11k-3$。
把$m+n=5$代入上式，得$17×5=11k-3$，即$85=11k-3$，
移项计算得$11k=88$，解得$k=8$。
(2) 将待证的方程组标记为：
$\begin{cases} x+3y=4-a,① \\x-5y=3a,② \end{cases}$
①×3得：$3x+9y=12-3a$ ③，
③+②得：$4x+4y=12$，两边同时除以4得$x+y=3$，
因此不论a取什么有理数，$x+y$的值始终为3，保持不变。
【答案】
(1) $k=8$；
(2) 不论a取什么有理数，$x+y$的值始终为3，不变。
【知识点】
加减消元法，整体代入，消参思想
【点评】
本题考查二元一次方程组的灵活解法，解题时优先观察方程系数特征，运用整体思想、加减消元法可减少计算量，提升解题效率，避免不必要的复杂运算。
【难度系数】
0.8
(1) 选择乙同学的思路解题最简便：观察原方程组两个方程中m、n的系数，相加后m和n的系数均为17，可整理出含$m+n$的整体式子，结合已知$m+n=5$直接整体代入，无需单独求解m、n，可快速算出k的值。
(2) 要证明$x+y$的值与a无关，只需通过加减消元法消去方程组中的参数a，推导得出$x+y$为定值即可。
【解析】
(1) 选择乙同学的思路解答：
将原方程组标记为：
$\begin{cases} 9m+8n=11k-13,① \\8m+9n=10,② \end{cases}$
①+②得：$17m+17n=11k-3$，整理为$17(m+n)=11k-3$。
把$m+n=5$代入上式，得$17×5=11k-3$，即$85=11k-3$，
移项计算得$11k=88$，解得$k=8$。
(2) 将待证的方程组标记为：
$\begin{cases} x+3y=4-a,① \\x-5y=3a,② \end{cases}$
①×3得：$3x+9y=12-3a$ ③，
③+②得：$4x+4y=12$，两边同时除以4得$x+y=3$，
因此不论a取什么有理数，$x+y$的值始终为3，保持不变。
【答案】
(1) $k=8$；
(2) 不论a取什么有理数，$x+y$的值始终为3，不变。
【知识点】
加减消元法，整体代入，消参思想
【点评】
本题考查二元一次方程组的灵活解法，解题时优先观察方程系数特征，运用整体思想、加减消元法可减少计算量，提升解题效率，避免不必要的复杂运算。
【难度系数】
0.8
