10[2025 河北中考]如图,四边形$ABCD$的对角线$AC,BD$相交于点$E,AC = AD,∠ ACB =∠ ADB$,点$F$在$ED$上,$∠ BAF = ∠ EAD$。
(1)试说明:$△ ABC≌△ AFD$。
(2)若$BE = FE$,试说明:$AC⊥ BD$。

10 解:(1)因为AC,BD相交于点E,∠ACB=∠ADB,点F在ED上,所以∠ACB=∠ADF。因为∠BAF=∠EAD,所以∠BAF - ∠CAF=∠EAD - ∠CAF,所以∠BAC=∠FAD。在△ABC和△AFD中,$\{\begin{array}{l} ∠BAC=∠FAD,\\ AC=AD,\\ ∠ACB=∠ADF,\end{array} $所以△ABC≌△AFD(ASA)。
(2)由(1)得△ABC≌△AFD,所以AB=AF,△ABF是等腰三角形。因为BE=FE,即点E是BF的中点,所以AC⊥BF,即AC⊥BD。

11[新考法][2024 威海中考]感悟 如图 1,在$△ ABE$中,点$C,D$在边$BE$上,$AB = AE,BC = DE$。试说明:$∠ BAC = ∠ EAD$。
应用 (1)如图 2,用直尺和圆规在直线$BC$上取点$D$、点$E$(点$D$在点$E$的左侧),使得$∠ EAD = ∠ BAC$,且$DE = BC$(不写作法,保留作图痕迹);
(2)如图 3,用直尺和圆规在直线$AC$上取一点$D$,在直线$BC$上取一点$E$,使得$∠ CDE = ∠ BAC$,且$DE = AB$(不写作法,保留作图痕迹)。

11 解:感悟 过点A作AH⊥BE于点H。因为AB=AE,BC=DE,所以∠BAH=∠EAH,∠CAH=∠DAH,所以∠BAC=∠EAD。
应用 (1)如图1,点D,E即为所求。
(2)如图2,点D,E即为所求。

12[2024 大理州期末]在$△ ABC$中,$AB = AC$,点$D$是$BC$上一点,连接$AD$,以$AD$为边向右作$△ ADE$,使得$AD = AE,∠ DAE = ∠ BAC$,连接$CE$。
(1)如图 1,当点$D$在$BC$边上时,
①若$∠ BAC = 40^{\circ}$,则$∠ DCE =\_\_\_\_\_\_^{\circ}$;
②若$∠ BAC = 80^{\circ}$,则$∠ DCE =\_\_\_\_\_\_^{\circ}$;
③观察以上结果,猜想$∠ BAC$与$∠ DCE$的数量关系,并说明理由。
(2)当点$D$在$BC$的延长线上时,请判断$∠ BAC$与$∠ DCE$的数量关系,并说明理由。

12 解:(1)①140
②100
③∠BAC+∠DCE=180°。理由如下:因为∠BAC=∠DAE,所以∠BAC - ∠DAC=∠DAE - ∠DAC,即∠BAD=∠CAE。在△ABD和△ACE中,$\{\begin{array}{l} AB=AC,\\ ∠BAD=∠CAE,\\ AD=AE,\end{array} $所以△ABD≌△ACE(SAS),所以∠B=∠ACE,所以∠BAC+∠DCE=∠BAC+∠BCA+∠ACE=∠BAC+∠BCA+∠B=180°。
(2)当点D在BC的延长线上时,∠BAC=∠DCE。理由如下:如图,因为∠BAC=∠DAE,所以∠BAC+∠1=∠DAE+∠1,即∠BAD=∠CAE。在△ABD和△ACE中,$\{\begin{array}{l} AB=AC,\\ ∠BAD=∠CAE,\\ AD=AE,\end{array} $所以△ABD≌△ACE(SAS),所以∠B=∠2。因为∠BAC+∠B+∠3=180°,∠DCE+∠2+∠3=180°,所以∠BAC=∠DCE。