典例3 如图，在平面直角坐标系中，菱形$AOBC$的一个顶点$O$在坐标原点处，一边$OB$在$x$轴的正半轴上，$\sin \angle AOB = \frac{4}{5}$，反比例函数$y = \frac{12}{x}$在第一象限内的图像经过点$A$，与$BC$交于点$F$，连接$AF$，$OF$，求$\triangle AOF$的面积。

典例3 过点A作AM⊥x轴于点M，则∠AMO = 90°. 设OA = a. ∵$\sin\angle AOB=\frac{4}{5}$，∴$AM = OA\cdot\sin\angle AOB=\frac{4}{5}a$.∴$OM=\sqrt{OA^{2}-AM^{2}}=\frac{3}{5}a$. ∴点A的坐标为$(\frac{3}{5}a,\frac{4}{5}a)$.∵反比例函数$y=\frac{12}{x}$在第一象限内的图像经过点A，∴$\frac{3}{5}a\times\frac{4}{5}a = 12$，解得a = 5或a = -5(不合题意，舍去). ∴AM = 4，OM = 3，OA = 5. ∵四边形AOBC是菱形，∴OB = OA = 5.∴易得$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}S_{菱形AOBC}=\frac{1}{2}OB\cdot AM = 10$.

典例4 如图，曲线$l$是由函数$y = \frac{6}{x}$在第一象限内的图像绕原点$O$按逆时针方向旋转$45^{\circ}$得到的，过点$A( - 4\sqrt{2},4\sqrt{2})$，$B(2\sqrt{2},2\sqrt{2})$的直线与曲线$l$相交于点$M$，$N$，求$\triangle OMN$的面积。

典例4 连接OA，OB. ∵点A的坐标为$(-4\sqrt{2},4\sqrt{2})$，点B的坐标为$(2\sqrt{2},2\sqrt{2})$，∴易得OA⊥OB，OA = 8，OB = 4，∠BOx = 45°. 以OB所在直线为x'轴，OA所在直线为y'轴，建立如图所示的新的平面直角坐标系. 在新的平面直角坐标系中，曲线l对应的函数表达式为$y'=\frac{6}{x'}$，点A的坐标为(0，8)，点B的坐标为(4，0). ∴易得直线AB对应的函数表达式为y' = -2x' + 8. 联立$\begin{cases}y'=-2x'+8\\y'=\frac{6}{x'}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x' = 1\\y' = 6\end{cases}$或$\begin{cases}x' = 3\\y' = 2\end{cases}$. ∴点M的坐标为(1，6)，点N的坐标为(3，2). ∴$S_{\triangle OMN}=S_{\triangle OBM}-S_{\triangle OBN}=\frac{1}{2}\times4\times6-\frac{1}{2}\times4\times2 = 8$.

典例5 如图，在平面直角坐标系中，点$A(m,3n)$，$B(3m,n)$在函数$y = \frac{k}{x}(k ＞ 0,x ＞ 0)$的图像上，过点$A$作$y$轴的垂线，交$OB$的延长线于点$C$，垂足为$D$。若$S_{\triangle OAC} = 8$，求$k$的值。

典例5 如图，过点B作BE⊥y轴于点E. ∵点A的坐标为(m，3n)，点B的坐标为(3m，n)，∴点E的坐标为(0，n)，点D的坐标为(0，3n). 易得BE//CD，∴△OBE∽△OCD. ∴$\frac{BE}{CD}=\frac{OE}{OD}$.∴$\frac{3m}{CD}=\frac{n}{3n}$. ∴CD = 9m. ∵$S_{\triangle OCD}=S_{\triangle AOD}+S_{\triangle OAC}=\frac{1}{2}k + 8$，∴$\frac{1}{2}\times3n\times9m=\frac{1}{2}k + 8$. ∴27mn = k + 16. ∵点A(m，3n)在函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图像上，∴k = 3mn. ∴9k = k + 16.∴k = 2.