典例1 如图，$A$是一次函数$y = \frac{1}{2}x$的图像上一点，过点$A$作$x$轴的垂线$l$，$B$是$l$上一点（点$B$在点$A$的上方），在$AB$的右侧以$AB$为斜边作等腰直角三角形$ABC$，函数$y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$的图像过点$B$，$C$。若$\triangle OAB$的面积为$6$，求$\triangle ABC$的面积。

微专题(二)　一次函数与反比例函数中的面积问题
典例1 如图，过点C作CD⊥y轴于点D，交AB于点E.∵AB⊥x轴，∴CD⊥AB. ∵△ABC是等腰直角三角形，∴易得BE = AE = CE. 设AB = 2a(a＞0)，则BE = AE = CE = a. 设点A的坐标为$(x,\frac{1}{2}x)$，则点B的坐标为$(x,\frac{1}{2}x + 2a)$，点C的坐标为$(x + a,\frac{1}{2}x + a)$. ∵点B，C在函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图像上，∴$x(\frac{1}{2}x + 2a)=(x + a)(\frac{1}{2}x + a)$，解得x = 2a. ∵$S_{\triangle OAB}=\frac{1}{2}AB\cdot DE=\frac{1}{2}\times2a\times x = 6$，∴ax = 6.∴$2a^{2}=6$，即$a^{2}=3$. ∴$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CE=\frac{1}{2}\times2a\times a = a^{2}=3$.

典例2 如图，在平面直角坐标系中，一次函数$y = kx + b$的图像经过点$A(0, - 4)$，$B(2,0)$，交反比例函数$y = \frac{m}{x}(x ＞ 0)$的图像于点$C(3,a)$，点$P$在反比例函数的图像上，横坐标为$n(0 ＜ n ＜ 3)$，$PQ // y$轴交直线$AB$于点$Q$，$D$是$y$轴上任意一点，连接$PD$，$QD$。求：
（1）一次函数和反比例函数的表达式；
（2）$\triangle DPQ$面积的最大值。

典例2 (1) ∵点A(0，-4)，B(2，0)在一次函数y = kx + b的图像上，∴$\begin{cases}b = - 4\\2k + b = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 2\\b = - 4\end{cases}$. ∴一次函数的表达式为y = 2x - 4. 在y = 2x - 4中，当x = 3时，y = 2. ∴点C的坐标为(3，2). ∵点C在反比例函数$y=\frac{m}{x}(x＞0)$的图像上，∴m = 6.∴反比例函数的表达式为$y=\frac{6}{x}$. (2) ∵点P在反比例函数的图像上，点Q在一次函数的图像上，∴点P的坐标为$(n,\frac{6}{n})$，点Q的坐标为(n，2n - 4). ∵0 ＜ n ＜ 3，∴$PQ=\frac{6}{n}-(2n - 4)$.∴$S_{\triangle DPQ}=\frac{1}{2}n[\frac{6}{n}-(2n - 4)]=-n^{2}+2n + 3=-(n - 1)^{2}+4$. ∵-1 ＜ 0，∴当n = 1时，$S_{\triangle DPQ}$最大，最大值为4. ∴△DPQ面积的最大值为4.