典例3 如图，在$\triangle ABC$和$\triangle ADE$中，$\angle BAC=\angle DAE = 54^{\circ}$，$AB = AC$，$AD = AE$，连接 $BD$，$CE$ 交于点 $F$，连接 $AF$，则$\angle AFE$的度数是______________.

典例3如图,过点A作AM⊥BD,AN⊥CE,垂足分别为M,N.∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD=∠CAE.在△BAD和△CAE中,
{AB=AC，
∠BAD=∠CAE，
AD=AE，
∴△BAD≌△CAE.∴BD=CE,S△BAD=S△CAE,∠ABD=∠ACE.∵AM⊥BD,AN⊥CE,∴1/2BD·AM=1/2CE·AN.∴AM=AN.∴FA平分∠MFN.∴∠AFE=1/2∠MFN.∵在四边形ABFE中,∠ABD+∠BAC+∠CAD+∠DAE+∠AEC+∠MFN=360°,∴∠ACE+∠BAC+∠CAD+∠DAE+∠AEC+∠MFN=360°.∵在△ACE中,∠ACE+∠CAD+∠DAE+∠AEC=180°,∴∠MFN=360°−180°−∠BAC=180°−54°=126°.∴∠AFE=1/2∠MFN=63°.
　　　　　　　　

典例4 如图，在等腰直角三角形 $ABC$ 中，$\angle BAC = 90^{\circ}$，且$\angle ADB = 45^{\circ}$，$BD = 4$，$CD=\sqrt{41}$，求 $AD$ 的长.

典例4如图,分别过点D,A作BD,AD的垂线，两条垂线交于点D',连接BD',则∠D'DB=∠DAD'=90°.∵∠ADB=45°,∴∠ADD'=45°.∴易得△ADD'是等腰直角三角形.∴AD=AD'.∵△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,∴AC=AB,∠BAC=∠DAD'.∴∠BAC+∠DAB=∠DAD'+∠DAB,即∠DAC=∠D'AB.∴△ADC≌△AD'B.∴CD=BD'=√41.在Rt△BDD'中,由勾股定理，得DD'=√(BD'² - BD²)=√((√41)² - 4²)=5.∴AD=DD'·cos∠ADD'=5√2/2.
　　　　　　

典例5 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ABC = 90^{\circ}$，$AB = BC = 4$，$D$ 是 $BC$ 的中点，$E$ 是平面内一个动点，$BE = 1$，以 $E$ 为直角顶点，$EC$ 为直角边在 $EC$ 的上方作等腰直角三角形 $CEF$. 当$\angle ADF$的度数最大时，$DF$ 的长为 （ ）

A. $\sqrt{22}$
B. $3\sqrt{2}$
C. $4\sqrt{2}-1$
D. $\sqrt{22}-\sqrt{2}$

典例5如图,连接AF.由题意可知,△ABC和△CEF均为等腰直角三角形,∴易得AC=√2BC,CF=√2CE,∠BCE=45°−∠ACE、∠ACF=45°−∠ACE.∴BC/AC=√2/2=CE/CF,∠BCE=∠ACF.∴△BCE∽△ACF.∴BE/AF=BC/AC=√2/2.∵BE=1,∴AF=√2.∴点F在以点A为圆心，AF长为半径的圆上运动.以点A为圆心,AF长为半径画圆,过点D作⊙A的切线DF',DF'',连接AF',AF''.易知当DF与⊙A相切于点F时，∠ADF的度数最大,即为∠ADF'和∠ADF''的度数,此时DF=DF'=DF''.在Rt△ADB中,AB=4,BD=1/2BC=2,∴根据勾股定理,得AD²=AB²+BD²=4²+2²=20.在Rt△ADF'中,根据勾股定理,得DF'=√(AD² - AF'²)=√(20 - (√2)²)=3√2.∴当∠ADF的度数最大时,DF的长为3√2.故选B.
　　 　　　

典例6 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$\angle ABC=\angle D = 90^{\circ}$，$AB = BC = 3\sqrt{5}$，$CD = 3$，$AC$ 是对角线，以 $CD$ 为边向四边形内部作正方形 $CDEF$，连接 $BF$，求 $BF$ 的长.

典例6如图,连接CE.∵∠ABC=90°,AB=BC=3√5,∴AC=√(AB²+BC²)=3√10,∠ACB=45°.∵∠D=90°,CD=3,∴AD=√(AC² - CD²)=√((3√10)² - 3²)=9.∵四边形CDEF是正方形,∴CF=DE=CD=3,∠DCF=90°,∠ECF=45°.∴CE=√(DE²+CD²)=3√2,AE=AD−DE=6,∠ACB=∠ECF.∴∠ACB−∠ACF=∠ECF−∠ACF,即∠BCF=∠ACE.∵BC/AC=CF/CE=√2/2,∴△BCF∽△ACE.∴BF/AE=BC/AC=√2/2.∴BF=√2/2×6=3√2.