1. (桂林中考)如图,BM 是以 AB 为直径的$\odot O$的切线,B 为切点,BC 平分$∠ABM$,弦 CD 交AB 于点 E,$DE= OE$.
(1)求证:$\triangle ACB$是等腰直角三角形;
(2)求证:$OA^{2}= OE\cdot DC;$
(3)求$tan∠ACD$的值.
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(1)求证:$\triangle ACB$是等腰直角三角形;
(2)求证:$OA^{2}= OE\cdot DC;$
(3)求$tan∠ACD$的值.
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答案
2.【问题学习】小芸在小组学习时问小娟这样一个问题:已知α为锐角,且$sinα= \frac {1}{3}$,求$sin2α$的值.
小娟是这样给小芸解的:构造如图①所示的图形,在$\odot O$中,AB 是直径,点 C 在$\odot O$上,所以$∠ACB= 90^{\circ }$,作$CD⊥AB$于 D.设$∠BAC= α$,则$sinα= \frac {BC}{AB}= \frac {1}{3},BC= x$,则$AB= 3x,…$.
【问题解决】(1)请按照小娟的思路,利用图①求出$sin2α$的值;(写出完整的解答过程)
(2)如图②,已知点 M、N、P 为$\odot O$上的三点,且$∠P= β,sinβ= \frac {3}{5}$,求$sin2β$的值.
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小娟是这样给小芸解的:构造如图①所示的图形,在$\odot O$中,AB 是直径,点 C 在$\odot O$上,所以$∠ACB= 90^{\circ }$,作$CD⊥AB$于 D.设$∠BAC= α$,则$sinα= \frac {BC}{AB}= \frac {1}{3},BC= x$,则$AB= 3x,…$.
【问题解决】(1)请按照小娟的思路,利用图①求出$sin2α$的值;(写出完整的解答过程)
(2)如图②,已知点 M、N、P 为$\odot O$上的三点,且$∠P= β,sinβ= \frac {3}{5}$,求$sin2β$的值.
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3. (2022·扬州中考)如图,AB 为$\odot O$的弦,$OC⊥OA$交 AB 于点 P,交过点 B 的直线于点C,且$CB= CP.$
(1)试判断直线 BC 与$\odot O$的位置关系,并说明理由;
(2)若$sinA= \frac {\sqrt {5}}{5},OA= 8$,求 CB 的长.
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(1)试判断直线 BC 与$\odot O$的位置关系,并说明理由;
(2)若$sinA= \frac {\sqrt {5}}{5},OA= 8$,求 CB 的长.
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4. (镇江中考)如图,$//ogram ABCD$中,$∠ABC$的平分线 BO 交边 AD 于点 O,$OD= 4$,以点 O 为圆心,OD 长为半径作$\odot O$,分别交边 DA、DC 于点M、N.点 E 在边 BC 上,OE 交$\odot O$于点 G,G 为$\widehat {MN}$的中点.
(1)求证:四边形 ABEO 为菱形;
(2)已知$cos∠ABC= \frac {1}{3}$,连接 AE,当 AE 与$\odot O$相切时,求 AB 的长.
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(1)求证:四边形 ABEO 为菱形;
(2)已知$cos∠ABC= \frac {1}{3}$,连接 AE,当 AE 与$\odot O$相切时,求 AB 的长.
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