二、填空题(每小题3分，共24分)

9. 如果a、b都是实数，那么a + b = b + a，这个事件是________事件. (填“随机”“不可能”或“必然”)

必然

10. (2023·恩施中考改编)县林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示：

根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为________. (精确到0.1)

0.9

11. 若方程$\frac{a}{x - 3} - \frac{1}{3 - x} = 2$有增根，则a = ________.

-1

12. 已知点A(1,m)，B(2,n)，C(-2,3)在反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图像上，则m、n的大小关系是________.

m＜n

13. 比较大小：$\sqrt{2} + \sqrt{3}$________$\sqrt{10}$. (填“＞”“ = ”或“＜”)

＜ 解析:($\sqrt{2}+\sqrt{3}$)² = 2 + 3 + 2$\sqrt{6}$ = 5 + 2$\sqrt{6}$，($\sqrt{10}$)² = 10，∵(2$\sqrt{6}$)² = 24＜25，∴2$\sqrt{6}$＜5，∴5 + 2$\sqrt{6}$＜10，即$\sqrt{2}+\sqrt{3}$＜$\sqrt{10}$.

14. 已知等式$\sqrt{\frac{7 - x}{x + 2}} = \frac{\sqrt{7 - x}}{\sqrt{x + 2}}$成立，则$\sqrt{x^{2} + 6x + 9} + \sqrt{81 - 18x + x^{2}}$ = ________.

14 解析:由题意得$\begin{cases}7 - x\geq0 \\ x + 2＞0\end{cases}$，解得 - 2 ＜ x ≤ 7，∴原式 = $\sqrt{(x + 3)²}+\sqrt{(x - 9)²}$ = x + 3 + 9 - x = 12.

15. (青岛中考)如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF. 若AD = 4 cm，则CF的长为________ cm.

(6 - 2$\sqrt{5}$) 解析:设BF = x cm，则FG = x cm，CF = (4 - x)cm. 在Rt△ADE中，利用勾股定理可得AE = 2$\sqrt{5}$ cm. 根据折叠的性质可知AG = AB = 4 cm，所以GE = (2$\sqrt{5}$ - 4)cm. 在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF² = (2$\sqrt{5}$ - 4)² + x²，在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF² = (4 - x)² + 2²，所以(2$\sqrt{5}$ - 4)² + x² = (4 - x)² + 2²，解得x = 2$\sqrt{5}$ - 2，则CF = 4 - (2$\sqrt{5}$ - 2) = (6 - 2$\sqrt{5}$)cm.

16. (2024·南通校级月考)已知菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点A(5,0)，OB = 4$\sqrt{5}$，点P是对角线OB上的一个动点，D(0,1)，当CP + DP最短时，点P的坐标为________.

($\frac{10}{7}$，$\frac{5}{7}$) 解析:如图，连接AC、AD，分别交OB于点G、P，连接CP，作BK⊥OA于点K. ∵四边形OABC是菱形，∴AC⊥OB，GC = AG，AB = OA = 5，OG = BG = $\frac{1}{2}OB$ = 2$\sqrt{5}$. ∵A、C关于直线OB对称，∴PC + PD = PA + PD = DA，∴此时PC + PD最短. 在Rt△AOG中，AG = $\sqrt{OA² - OG²}$ = $\sqrt{5² - (2$\sqrt{5}$)²}$ = $\sqrt{5}$，∴AC = 2$\sqrt{5}$. ∵OA·BK = $\frac{1}{2}AC\cdot OB$，∴BK = 4. 在Rt△AKB中，AK = $\sqrt{AB² - BK²}$ = $\sqrt{5² - 4²}$ = 3，∴点B的坐标为(8，4). 用待定系数法可求得直线OB的表达式为y = $\frac{1}{2}x$，直线AD的表达式为y = -$\frac{1}{5}x + 1$，由$\begin{cases}y = \frac{1}{2}x \\ y = -\frac{1}{5}x + 1\end{cases}$解得$\begin{cases}x = \frac{10}{7} \\ y = \frac{5}{7}\end{cases}$，∴点P的坐标为($\frac{10}{7}$，$\frac{5}{7}$).

三、解答题(共72分)

17. (6分)计算：
(1)$\sqrt{48} \div \sqrt{3} - \sqrt{\frac{1}{2}} \times \sqrt{12} + \sqrt{24}$；
(2)(1 - $\sqrt{5}$)($\sqrt{5} + 1$) + ($\sqrt{5} - 1$)².

(1)原式 = $\sqrt{16}-\sqrt{6}+2\sqrt{6}$ = 4 + $\sqrt{6}$.
(2)原式 = 1 - 5 + 5 - 2$\sqrt{5}$ + 1 = 2 - 2$\sqrt{5}$.

18. (6分)解方程：
(1)(镇江中考)$\frac{x}{x + 2} = \frac{2}{x - 1} + 1$；
(2)$\frac{3}{x^{2} - 9} - \frac{1}{2x - 6} = \frac{1}{2x + 6}$.

(1)等式两边都乘(x - 1)(x + 2)，得x(x - 1) = 2(x + 2) + (x - 1)(x + 2)，解得x = -$\frac{1}{2}$，检验：当x = -$\frac{1}{2}$时，(x - 1)(x + 2) ≠ 0，∴原分式方程的解为x = -$\frac{1}{2}$.
(2)原方程化为$\frac{3}{(x + 3)(x - 3)}-\frac{1}{2(x - 3)}=\frac{1}{2(x + 3)}$，方程两边都乘2(x + 3)(x - 3)，得6 - (x + 3) = x - 3，解得x = 3，检验：当x = 3时，2(x + 3)(x - 3) = 0，∴x = 3是增根，即原方程无解.

19. (5分)(2023·广元中考)先化简，再求值：$(\frac{3x + y}{x^{2} - y^{2}} + \frac{2x}{y^{2} - x^{2}}) \div \frac{2}{x^{2}y - xy^{2}}$，其中$x = \sqrt{3} + 1$，$y = \sqrt{3}$.

原式 = $\frac{3x + y - 2x}{x² - y²}\cdot\frac{xy(x - y)}{2}=\frac{x + y}{(x + y)(x - y)}\cdot\frac{xy(x - y)}{2}=\frac{xy}{2}$，当x = $\sqrt{3}+1$，y = $\sqrt{3}$时，原式 = $\frac{(\sqrt{3}+1)\times\sqrt{3}}{2}=\frac{3+\sqrt{3}}{2}$.