8如图，已知 CD 经过 ∠BCA 的顶点 C，CA = CB，E，F 是 CD 上的两点。




(1) 如图 1，CD 在 ∠BCA 的内部，∠BCA = 90°，AF ⊥ CD 于点 F，BE ⊥ CD 于点 E。试说明：△CBE ≌ △ACF。
(2) 如图 2，CD 在 ∠BCA 的内部，∠BEC = ∠CFA = ∠α，0° ＜ ∠BCA ＜ 180°，当 ∠α 与 ∠BCA 满足什么条件时，可以使 EF = BE - AF？请说明理由。
(3) 如图 3，CD 在 ∠BCA 的外部，∠BEC = ∠CFA = ∠BCA，请猜想线段 EF，BE，AF 的数量关系，并说明理由。
(4) 如图 4，点 D 在边 AB 上，CA ＞ AB，BD = 2AD，∠BCA = ∠1 = ∠2。若 △CAB 的面积为 15，求 △BCE 与 △ADF 的面积之和。

8. 解：(1)因为AF⊥CD，BE⊥CD，所以∠CFA = ∠BEC = 90°，所以∠CBE + ∠BCE = 90°。因为∠BCA = 90°，所以∠BCE + ∠ACF = 90°，所以∠CBE = ∠ACF。在△CBE和△ACF中，{∠CBE = ∠ACF，∠BEC = ∠CFA，CB = AC}，所以△CBE≌△ACF(AAS)。
(2)当∠α + ∠BCA = 180°时，EF = BE - AF。理由如下：因为∠CBE + ∠BCE = 180° - ∠BEC = 180° - ∠α，∠BCA = 180° - ∠α，所以∠CBE + ∠BCE = ∠BCA。因为∠ACF + ∠BCE = ∠BCA，所以∠CBE = ∠ACF。在△BCE和△CAF中，{∠CBE = ∠ACF，∠BEC = ∠CFA，CB = AC}，所以△BCE≌△CAF(AAS)，所以BE = CF，CE = AF，所以EF = CF - CE = BE - AF。
(3)EF = BE + AF。理由如下：因为∠BEC = ∠CFA = ∠BCA，∠BEC + ∠BCE + ∠CBE = 180°，∠BCE + ∠BCA + ∠ACF = 180°，所以∠CBE = ∠ACF。在△BEC和△CFA中，{∠CBE = ∠ACF，∠BEC = ∠CFA，CB = AC}，所以△BEC≌△CFA(AAS)，所以BE = CF，CE = AF，所以EF = CF + CE = BE + AF。
(4)因为BD = 2AD，△CAB的面积为15，所以S△CDA = $\frac{1}{3}$×15 = 5。因为∠BCA = ∠1，∠1 = 180° - ∠AFC，∠ACF + ∠FAC + ∠AFC = 180°，所以∠BCA = ∠ACF + FAC，所以∠BCE + ∠ACF = ∠ACF + ∠FAC，所以∠BCE = ∠FAC。同理可得，∠CBE = ∠ACF。在△BCE和△CAF中，{∠BCE = ∠CAF，BC = CA，∠CBE = ∠ACF}，所以△BCE≌△CAF(ASA)，所以S△CDA = S△CAF + S△ADF = S△BCE + S△ADF，所以△BCE与△ADF的面积之和是5。