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11[2025 驻马店期末]对于任意有理数 $a$，$b$，现用“☆”定义一种运算：$a☆b = a^2 - b^2$，根据这个定义，代数式 $(x + y)☆y$可以化简为 (
A.$xy + y^2$
B.$xy - y^2$
C.$x^2 + 2xy$
D.$x^2$
C
)A.$xy + y^2$
B.$xy - y^2$
C.$x^2 + 2xy$
D.$x^2$
答案
11 C $(x + y)☆y=(x + y)^{2}-y^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}-y^{2}=x^{2}+2xy$。
12[2024 南京雨花台中学期中]若 $a$，$b$分别是长方形的长和宽，$(a + b)^2 = 20$，$(a - b)^2 = 4$，则这个长方形的面积是 (
A.3
B.4
C.5
D.6
B
)A.3
B.4
C.5
D.6
答案
12 B $(a + b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}=20$，$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}=4$，两式相减，得$4ab = 16$，所以$ab = 4$，所以这个长方形的面积是$ab = 4$。
13[2025 邯郸月考]关于式子 $3001^2 - 6002 + 1$的说法如下，则判断正确的是 (
①该式子可以写成 $(3001 + 1)^2$；②该式子能被 9 整除。
A.①，②均对
B.只有①对
C.只有②对
D.①，②均错
C
)①该式子可以写成 $(3001 + 1)^2$；②该式子能被 9 整除。
A.①，②均对
B.只有①对
C.只有②对
D.①，②均错
答案
13 C $3001^{2}-6002 + 1=(3001 - 1)^{2}=3000^{2}=9000000$，所以该式子可以写成$(3001 - 1)^{2}$，且能被9整除。
14[2025 西安未央区期末]如图，一块直径为 $a + b$的圆形钢板，从中挖去直径分别为 $a$与 $b$的两个圆，则剩下的钢板的面积为
$\frac{π ab}{2}$
。答案
14 $\frac{π ab}{2}$ 由题意，得剩下的钢板的面积为$(\frac{a + b}{2})^{2}π-(\frac{a}{2})^{2}π-(\frac{b}{2})^{2}π=\frac{π}{4}(a^{2}+2ab+b^{2}-a^{2}-b^{2})=\frac{π ab}{2}$。
15计算：
(1) $(-\frac{1}{2}a + 2b)^2 - 4a(\frac{1}{16}a - \frac{1}{2}b)$；
(2) $(x + y)^2 - 2y(2x + y) - (x - y)^2$。
(1) $(-\frac{1}{2}a + 2b)^2 - 4a(\frac{1}{16}a - \frac{1}{2}b)$；
(2) $(x + y)^2 - 2y(2x + y) - (x - y)^2$。
答案
15 解：(1)$(-\frac{1}{2}a + 2b)^{2}-4a(\frac{1}{16}a-\frac{1}{2}b)$
$=\frac{1}{4}a^{2}-2ab+4b^{2}-(\frac{1}{4}a^{2}-2ab)$
$=\frac{1}{4}a^{2}-2ab+4b^{2}-\frac{1}{4}a^{2}+2ab$
$=4b^{2}$。
(2)$(x + y)^{2}-2y(2x + y)-(x - y)^{2}$
$=x^{2}+2xy+y^{2}-4xy-2y^{2}-x^{2}+2xy-y^{2}$
$=-2y^{2}$。
$=\frac{1}{4}a^{2}-2ab+4b^{2}-(\frac{1}{4}a^{2}-2ab)$
$=\frac{1}{4}a^{2}-2ab+4b^{2}-\frac{1}{4}a^{2}+2ab$
$=4b^{2}$。
(2)$(x + y)^{2}-2y(2x + y)-(x - y)^{2}$
$=x^{2}+2xy+y^{2}-4xy-2y^{2}-x^{2}+2xy-y^{2}$
$=-2y^{2}$。
16[教材 P25T8 变式]利用完全平方公式简便计算：$101^2 + 99^2$。
答案
16 解：$101^{2}+99^{2}$
$=(100 + 1)^{2}+(100 - 1)^{2}$
$=10000 + 200 + 1 + 10000 - 200 + 1$
$=20002$。
$=(100 + 1)^{2}+(100 - 1)^{2}$
$=10000 + 200 + 1 + 10000 - 200 + 1$
$=20002$。
17[教材 P25T13 变式]要说明 $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$成立，三位同学分别提供了一种思路，请根据他们的思路写出推理过程。
(1) 小刚：可以根据乘方的意义来说明等式成立。
(2) 小王：可以将其转化为两数和的平方来说明等式成立。
(3) 小丽：可以构造图形，通过计算面积来说明等式成立。
(1) 小刚：可以根据乘方的意义来说明等式成立。
(2) 小王：可以将其转化为两数和的平方来说明等式成立。
(3) 小丽：可以构造图形，通过计算面积来说明等式成立。
答案
17 解：(1)小刚：$(a + b + c)^{2}=(a + b + c)(a + b + c)=a^{2}+ab+ac+ab+b^{2}+bc+ac+bc+c^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ac$。
(2)小王：$(a + b + c)^{2}=[(a + b)+c]^{2}=(a + b)^{2}+2(a + b)c+c^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab+2ac+2bc+c^{2}$。
(3)小丽：如图，$(a + b + c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc$。
18[推理能力][2024 扬州江都区期末改编]设 $a_1$，$a_2$，…，$a_{2024}$是从 1，0，-1 这三个数中取值的一列数，若 $a_1 + a_2 + ··· + a_{2024} = 69$，$(a_1 + 1)^2 + (a_2 + 1)^2 + ··· + (a_{2024} + 1)^2 = 4003$，则 $a_1$，$a_2$，…，$a_{2024}$中值为 0 的个数为
183
。答案
18 183 因为$(a_{1}+1)^{2}+(a_{2}+1)^{2}+···+(a_{2024}+1)^{2}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+···+a_{2024}^{2}+2(a_{1}+a_{2}+···+a_{2024})+2024=4003$，$a_{1}+a_{2}+···+a_{2024}=69$，所以$a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+···+a_{2024}^{2}=4003-2024-2×69=1841$，又因为$a_{1}$，$a_{2}$，$···$，$a_{2024}$是从1，0，-1这三个数中取值的一列数，所以$a_{1}$，$a_{2}$，$···$，$a_{2024}$中值为1或-1的个数之和为1841，所以$a_{1}$，$a_{2}$，$···$，$a_{2024}$中值为0的个数为$2024 - 1841 = 183$。
