1[2024 北京房山区期中]下列整式乘法中,能运用完全平方公式进行计算的是 ()

A.$(m + n)(-m + n)$
B.$(m + n)(-n + m)$
C.$(m + n)(-m - n)$
D.$(-m + n)(-m - n)$

1 C

2根据完全平方公式填空：
(1) $(x + 1)^2 = ($$)^2 + 2×($$)×($$) + ($$)^2 = $；
(2) $(-x + 1)^2 = ($$)^2 + 2×($$)×($$) + ($$)^2 = $；
(3) $(-2a - b)^2 = ($$)^2 + 2×($$)×($$) + ($$)^2 = $。

2 (1)x x 1 1 $x^{2}+2x+1$；(2)$-x$ $-x$ 1 1 $x^{2}-2x+1$；(3)$-2a$ $-2a$ $-b$ $-b$ $4a^{2}+4ab+b^{2}$

3(1)分别在图 1、图 2 的相应位置写出各部分的面积；


(2)根据总面积与各部分面积之间的关系，写出两个等式。由图 1 写出的等式是 $(a + b)^2 =$，由图 2 写出的等式是 $(a - b)^2 =$。

3 解：(1)如图1、图2所示。


(2)$a^{2}+2ab+b^{2}$ $a^{2}-2ab+b^{2}$

4[2025 岳阳岳阳楼区月考]给出下列运算：
① $(3x + y)^2 = 9x^2 + y^2$；② $(a - 2b)^2 = a^2 - 4b^2$；
③ $(-x - y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$；④ $(x - \frac{1}{2})^2 = x^2 - 2x + \frac{1}{4}$。其中运算错误的有 ()

A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

4 C ①$(3x+y)^{2}=9x^{2}+6xy+y^{2}$，故①运算错误；②$(a - 2b)^{2}=a^{2}-4ab+4b^{2}$，故②运算错误；④$(x-\frac{1}{2})^{2}=x^{2}-x+\frac{1}{4}$，故④运算错误。故运算错误的有①②④，共3个。

5[教材 P21T2 变式][2025 温州期中]若 $x^2 + 4x - 3 = 0$，则 $(x + 2)^2$的值为 ()

A.4
B.5
C.7
D.9

5 C 因为$x^{2}+4x-3=0$，所以$x^{2}+4x=3$，所以$(x + 2)^{2}=x^{2}+4x+4=3+4=7$。

6[2025 佛山南海区期中]若 $(2a + b)^2 = (2a - b)^2 + A$，则 $A$等于 ()

A.$4ab$
B.$6ab$
C.$8ab$
D.$12ab$

6 C 由$(2a + b)^{2}=(2a - b)^{2}+A$，得$4a^{2}+4ab+b^{2}=4a^{2}-4ab+b^{2}+A$，所以$A = 8ab$。

7若 $(x + a)^2 = x^2 - 10x + b$，则 $a$，$b$的值分别为 ()

A.2，4
B.5，-25
C.-5，25
D.-2，25

7 C 因为$(x + a)^{2}=x^{2}+2ax+a^{2}=x^{2}-10x+b$，所以$2a=-10$，$a^{2}=b$，所以$a=-5$，$b = 25$。

8[2025 揭阳榕城区期末]已知 $a - b = 1$，$a^2 + b^2 = 25$，则 $ab$的值为 ()

A.13
B.26
C.12
D.24

8 C 因为$a - b = 1$，所以$(a - b)^{2}=1$，所以$a^{2}-2ab+b^{2}=1$，又因为$a^{2}+b^{2}=25$，所以$-2ab + 25 = 1$，所以$ab = 12$。

9[教材 P21T1 变式]计算：
(1) $(\frac{1}{2}a - b)^2$；
(2) $(-\frac{1}{3}a + 2b)^2$；
(3) $(-2a - 3)^2 + (3a - 2)^2$。

9 解：(1)$(\frac{1}{2}a - b)^{2}$
$=(\frac{1}{2}a)^{2}-2×\frac{1}{2}a×b+b^{2}$
$=\frac{1}{4}a^{2}-ab+b^{2}$。
(2)$(-\frac{1}{3}a + 2b)^{2}$
$=(2b-\frac{1}{3}a)^{2}$
$=(2b)^{2}-2×2b×\frac{1}{3}a+(\frac{1}{3}a)^{2}$
$=4b^{2}-\frac{4}{3}ab+\frac{1}{9}a^{2}$。
(3)$(-2a - 3)^{2}+(3a - 2)^{2}$
$=(2a + 3)^{2}+(3a - 2)^{2}$
$=4a^{2}+12a + 9 + 9a^{2}-12a + 4$
$=13a^{2}+13$。
归纳总结
运用完全平方公式的技巧
(1)求二项式的平方时，当所给二项式中两项的符号相同时，一般选用“和”的完全平方公式；当二项式中两项的符号相反时，一般选用“差”的完全平方公式；(2)将$(-\frac{1}{3}a + 2b)^{2}$先转化为$(2b-\frac{1}{3}a)^{2}$或$(\frac{1}{3}a - 2b)^{2}$，便于运用完全平方公式计算，这是一个常用的技巧；(3)遇到$(-2a - 3)^{2}$的形式时，可先转化为$(2a + 3)^{2}$的形式，再用“和”的完全平方公式进行计算。

10[2025 乐山中考]先化简，再求值：$(x + 3)^2 + 3x(x - 2)$，其中 $x = \frac{1}{2}$。

10 解：$(x + 3)^{2}+3x(x - 2)$
$=x^{2}+6x + 9 + 3x^{2}-6x$
$=4x^{2}+9$。
当$x=\frac{1}{2}$时，原式$=4×(\frac{1}{2})^{2}+9=10$。