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1[2025 无锡惠山区期中]下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是(
A.$(x + y)(y - x)$
B.$(-a + b)(a - b)$
C.$(x + 2)(2 + x)$
D.$(x - 2)(x + 1)$
A
)A.$(x + y)(y - x)$
B.$(-a + b)(a - b)$
C.$(x + 2)(2 + x)$
D.$(x - 2)(x + 1)$
答案
1 A
策略点拨
平方差公式$(a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}$的特点
(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的$a$和$b$可以表示具体的数或单项式，也可以是多项式。
策略点拨
平方差公式$(a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}$的特点
(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的$a$和$b$可以表示具体的数或单项式，也可以是多项式。
2[2025 南京一中月考]计算$(a + 5)(a - 5)$的结果是(
A.$a^{2} - 10$
B.$10 - a^{2}$
C.$25 - a^{2}$
D.$a^{2} - 25$
D
)A.$a^{2} - 10$
B.$10 - a^{2}$
C.$25 - a^{2}$
D.$a^{2} - 25$
答案
2 D
变式 1 [2025 周口月考]计算$(-3a - 1)(3a - 1)$的结果是(
A.$3a^{2} - 1$
B.$-6a^{2} - 1$
C.$9a^{2} - 1$
D.$1 - 9a^{2}$
D
)A.$3a^{2} - 1$
B.$-6a^{2} - 1$
C.$9a^{2} - 1$
D.$1 - 9a^{2}$
答案
变式1 D $(-3a - 1)(3a - 1) = (-1 - 3a)(-1 + 3a) = (-1)^{2} - (3a)^{2} = 1 - 9a^{2}$。
变式 2 [2024 惠州翠竹学校模拟]$(-3a - 4b)(-3a + 4b)$的计算结果为(
A.$16b^{2} - 9a^{2}$
B.$-16b^{2} + 9a^{2}$
C.$16b^{2} + 9a^{2}$
D.$-16b^{2} - 9a^{2}$
B
)A.$16b^{2} - 9a^{2}$
B.$-16b^{2} + 9a^{2}$
C.$16b^{2} + 9a^{2}$
D.$-16b^{2} - 9a^{2}$
答案
变式2 B $(-3a - 4b)(-3a + 4b) = (-3a)^{2} - (4b)^{2} = 9a^{2} - 16b^{2}$。
3 [2024 宁波六校期中联考]下列式子正确的是(
A.$(\frac{1}{2}a + 3)(\frac{1}{2}a - 3) = \frac{1}{4}a^{2} - 9$
B.$(2a^{2} - b)(2a^{2} + b) = 4a^{2} - b^{2}$
C.$(1 - \frac{1}{3}m)(\frac{1}{3}m + 1) = \frac{1}{9}m^{2} - 1$
D.$(ab + c)(ab - c) = ab^{2} - c^{2}$
A
)A.$(\frac{1}{2}a + 3)(\frac{1}{2}a - 3) = \frac{1}{4}a^{2} - 9$
B.$(2a^{2} - b)(2a^{2} + b) = 4a^{2} - b^{2}$
C.$(1 - \frac{1}{3}m)(\frac{1}{3}m + 1) = \frac{1}{9}m^{2} - 1$
D.$(ab + c)(ab - c) = ab^{2} - c^{2}$
答案
3 A B项，$(2a^{2} - b)(2a^{2} + b) = 4a^{4} - b^{2}$，不合题意；C项，$(1 - \frac{1}{3}m)(\frac{1}{3}m + 1) = 1 - \frac{1}{9}m^{2}$，不合题意；D项，$(ab + c)(ab - c) = a^{2}b^{2} - c^{2}$，不合题意。
解题通法
运用平方差公式计算的步骤
(1)确定两个二项式中相同的项与互为相反数的项；(2)转化为这两数和与这两数差的乘积的形式；(3)套用平方差公式进行计算。
解题通法
运用平方差公式计算的步骤
(1)确定两个二项式中相同的项与互为相反数的项；(2)转化为这两数和与这两数差的乘积的形式；(3)套用平方差公式进行计算。
4 [2024 合肥包河区期中改编]如果$(3m + 2)(3m - 2) = 77$，那么$m^{2}$的值为
9
。答案
4 9 因为$(3m + 2)(3m - 2) = 77$，所以$9m^{2} - 4 = 77$，所以$9m^{2} = 77 + 4$，即$9m^{2} = 81$，所以$m^{2} = 9$。
5 [2024 郴州月考]计算：$(a - 2b)(a^{2} + 4b^{2})(a + 2b)$。
答案
5 解：$(a - 2b)(a^{2} + 4b^{2})(a + 2b)$
$= (a - 2b)(a + 2b)(a^{2} + 4b^{2})$
$= (a^{2} - 4b^{2})(a^{2} + 4b^{2})$
$= a^{4} - 16b^{4}$。
$= (a - 2b)(a + 2b)(a^{2} + 4b^{2})$
$= (a^{2} - 4b^{2})(a^{2} + 4b^{2})$
$= a^{4} - 16b^{4}$。
6[2025 南京玄武区四校期中联考]下列各式中能用平方差公式计算的是(
A.$(-x + 2y)(x - 2y)$
B.$(1 - 5m)(5m - 1)$
C.$(3x - 5y)(3x + 5y)$
D.$(3a - \frac{1}{4}b)(-3a + \frac{1}{4}b)$
C
)A.$(-x + 2y)(x - 2y)$
B.$(1 - 5m)(5m - 1)$
C.$(3x - 5y)(3x + 5y)$
D.$(3a - \frac{1}{4}b)(-3a + \frac{1}{4}b)$
答案
6 C
7[2025 成都锦江区期中]若$(a + 3b)(\mathrm{ }) = 9b^{2} - a^{2}$，则括号内应填的代数式是(
A.$-a - 3b$
B.$a + 3b$
C.$-3b + a$
D.$3b - a$
D
)A.$-a - 3b$
B.$a + 3b$
C.$-3b + a$
D.$3b - a$
答案
7 D
8[2024 永州十二中月考]利用平方差公式计算$(a - b + c)(a + b - c)$，以下结果正确的是(
A.$a^{2} - (b + c)^{2}$
B.$(a - b)^{2} - c^{2}$
C.$(a + c)^{2} - b^{2}$
D.$a^{2} - (b - c)^{2}$
D
)A.$a^{2} - (b + c)^{2}$
B.$(a - b)^{2} - c^{2}$
C.$(a + c)^{2} - b^{2}$
D.$a^{2} - (b - c)^{2}$
答案
8 D $(a - b + c)(a + b - c) = [a - (b - c)][a + (b - c)] = a^{2} - (b - c)^{2}$。
9[2025 上海虹口区月考]计算：$(\frac{3}{2}x + y) · (y - \frac{3}{2}x) · (-y^{2} - \frac{9}{4}x^{2})$。
答案
9 解：$(\frac{3}{2}x + y) · (y - \frac{3}{2}x) · (-y^{2} - \frac{9}{4}x^{2})$
$= (y^{2} - \frac{9}{4}x^{2})(-y^{2} - \frac{9}{4}x^{2})$
$= - (y^{2} - \frac{9}{4}x^{2})(y^{2} + \frac{9}{4}x^{2})$
$= - y^{4} + \frac{81}{16}x^{4}$。
$= (y^{2} - \frac{9}{4}x^{2})(-y^{2} - \frac{9}{4}x^{2})$
$= - (y^{2} - \frac{9}{4}x^{2})(y^{2} + \frac{9}{4}x^{2})$
$= - y^{4} + \frac{81}{16}x^{4}$。
10运算能力 计算：
(1)$100^{2} - 99^{2} + 98^{2} - 97^{2} + ··· + 4^{2} - 3^{2} + 2^{2} - 1^{2}$；
(2)$(2 + 1)(2^{2} + 1)(2^{4} + 1)···(2^{32} + 1)$。
(1)$100^{2} - 99^{2} + 98^{2} - 97^{2} + ··· + 4^{2} - 3^{2} + 2^{2} - 1^{2}$；
(2)$(2 + 1)(2^{2} + 1)(2^{4} + 1)···(2^{32} + 1)$。
答案
10 解：(1)$100^{2} - 99^{2} + 98^{2} - 97^{2} + ··· + 4^{2} - 3^{2} + 2^{2} - 1^{2}$
$= (100 + 99) × (100 - 99) + (98 + 97) × (98 - 97) + ··· + (4 + 3) × (4 - 3) + (2 + 1) × (2 - 1)$
$= 100 + 99 + 98 + 97 + ··· + 4 + 3 + 2 + 1$
$= \frac{100 × (100 + 1)}{2}$
$= 5050$。
(2)$(2 + 1)(2^{2} + 1)(2^{4} + 1)···(2^{32} + 1)$
$= (2 - 1)(2 + 1)(2^{2} + 1)(2^{4} + 1)···(2^{32} + 1)$
$= (2^{2} - 1)(2^{2} + 1)(2^{4} + 1)···(2^{32} + 1)$
$= (2^{4} - 1)(2^{4} + 1)···(2^{32} + 1)$
$= 2^{64} - 1$。
$= (100 + 99) × (100 - 99) + (98 + 97) × (98 - 97) + ··· + (4 + 3) × (4 - 3) + (2 + 1) × (2 - 1)$
$= 100 + 99 + 98 + 97 + ··· + 4 + 3 + 2 + 1$
$= \frac{100 × (100 + 1)}{2}$
$= 5050$。
(2)$(2 + 1)(2^{2} + 1)(2^{4} + 1)···(2^{32} + 1)$
$= (2 - 1)(2 + 1)(2^{2} + 1)(2^{4} + 1)···(2^{32} + 1)$
$= (2^{2} - 1)(2^{2} + 1)(2^{4} + 1)···(2^{32} + 1)$
$= (2^{4} - 1)(2^{4} + 1)···(2^{32} + 1)$
$= 2^{64} - 1$。
